流體力學(xué)D課件第三章

流體運動學(xué)描述流體運動的方法流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的連續(xù)性方程流體的運動微分方程伯努利方程動量方程流體微團(tuán)的運動分析流體運動時的基本規(guī)律描述流體運動的方法拉格朗日法描述流體運動的方法歐拉法

——由于流體的易變形和易流動性，相對于固體而言，其運動形態(tài)更為復(fù)雜。在研究流體的運動情況時，如果考察的著眼點不同，那么相應(yīng)采取的研究方法也有所不同。描述流體運動的方法§拉格朗日法拉格朗日法：著眼于流體質(zhì)點，力圖描述出每個流體質(zhì)點自始至終的運動過程，即它們的位置隨時間變化的規(guī)律。

——如果知道了所有流體質(zhì)點的運動規(guī)律，那么整個流體對象的運動狀況也就確定了。用拉格朗日法描述流體運動時，運動質(zhì)點的位置坐標(biāo)x、y、z是起始坐標(biāo)a、b、c和時間t的函數(shù)，即彈性力學(xué)中即采用拉格朗日法來描述物體的變形——注意在拉格朗日法中的a、b、c是區(qū)別不同流體質(zhì)點的標(biāo)識，而非變量。描述流體運動的方法在拉格朗日觀點中，質(zhì)點的位置坐標(biāo)x、y、z是時間和質(zhì)點初始標(biāo)號的函數(shù)。拉格朗日描述法中流體質(zhì)點的速度和加速度：固定a、b、c改變t改變a、b、c固定t描述流體運動的方法§歐拉法歐拉法：著眼點不是流體質(zhì)點，而是空間點，力圖描述出空間中每個點處的流體運動隨時間變化的情況。

——如果流經(jīng)每一點的流體運動狀況都知道，那么整個流體對象的運動狀況也就確定了?！⒁庠跉W拉法中的x、y、z是空間中的位置坐標(biāo)，是變量；但對同一質(zhì)點來說它們不是獨立變量，而是時間t的函數(shù)。什么物理量能夠最直觀的反映空間點上流體運動的變化情況？——速度描述流體運動的方法在歐拉觀點中，空間點上流體質(zhì)點的速度ux、uy、uz（當(dāng)然也可以是其它表征流體運動狀況的物理量，如壓強(qiáng)、密度、溫度等）是空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)。歐拉描述法中流體質(zhì)點的加速度：固定x、y、z改變t改變x、y、z固定t遷移加速度局部加速度描述流體運動的方法§兩種方法的對比拉格朗日法歐拉法直接描述結(jié)果全面給出運動軌跡反映時間歷史表達(dá)式復(fù)雜實例：敵機(jī)追蹤間接描述結(jié)果有限給出瞬時參數(shù)反映空間分布表達(dá)式簡單實例：氣象觀測流體力學(xué)最常用：機(jī)翼的空氣動力學(xué)特性兩者可相互轉(zhuǎn)換拉格朗日觀點重要性：定義物理學(xué)基本規(guī)律流體運動的相關(guān)基本概念§恒定流與非恒定流根據(jù)流場中各運動要素是否隨時間變化，可將流體運動分為恒定流和非恒定流兩類。若流場中各運動要素均不隨時間變化，則稱這種流動為恒定流，否則稱之為非恒定流。在恒定流中，一切運動要素都只是空間坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，而與時間t無關(guān)，故有——在實際工程中，當(dāng)非恒定流問題中所關(guān)注的運動要素隨時間變化非常緩慢時，即可將其近似作為恒定流處理。各類穩(wěn)定的自然流動流體運動的相關(guān)基本概念§一元流、二元流與三元流根據(jù)流場中各運動要素與空間坐標(biāo)的關(guān)系，可將流體運動分為一元流、二元流和三元流?！獙嶋H的工程流體力學(xué)問題一般都屬于三元流。然而由于三元流的復(fù)雜性，在數(shù)學(xué)處理上存在相當(dāng)大的困難，人們在研究時常常根據(jù)問題的具體性質(zhì)將其簡化為二元流或一元流處理。一元流管道流動渠道流動二元流三元流流體運動的相關(guān)基本概念在了解流體運動的兩類基本描述方法后，可以此出發(fā)進(jìn)一步探討流體運動的幾何表示，這有助于更直觀形象的分析流體運動。§跡線——在拉格朗日方法中，是通過描述各個流體質(zhì)點運動規(guī)律的途徑來描述整個流體運動。某個流體質(zhì)點在某一時段內(nèi)運動時所描繪出的空間曲線稱為跡線?！E線的概念是和拉格朗日觀點相聯(lián)系的，它是同一流體質(zhì)點運動規(guī)律的幾何表示。流體運動的相關(guān)基本概念當(dāng)流體運動是以歐拉描述的方式給出時此時要得到跡線的方程，必須先將歐拉描述轉(zhuǎn)換為拉格朗日描述，亦即跡線應(yīng)滿足的微分方程組。——其中t是自變量，x、y、z是時間t的函數(shù)，積分后所得的表達(dá)式實質(zhì)上是流體質(zhì)點空間運動曲線（軌跡）的參數(shù)方程。隕石的下墜線流體運動的相關(guān)基本概念§流線許多空間位置上的流體質(zhì)點在同一時刻的速度矢量所描繪的曲線稱為流線?！跉W拉方法中，是通過速度場來描述整個流體的運動。——流線的概念是和歐拉觀點相聯(lián)系的，它是不同流體質(zhì)點速度分布的幾何表示。流線特點：不相交；充滿整個流場；疏密程度反映流速大小。流體運動的相關(guān)基本概念根據(jù)定義，流線上任一點的切線方向即為該點的流速方向，于是相應(yīng)的分量形式為——此即流線應(yīng)滿足的微分方程組，其中x、y、z是相互獨立的空間變量，時間t是參數(shù)，在積分時當(dāng)作常數(shù)處理。機(jī)翼的繞流線示例：課本例題3-1作業(yè)：課后習(xí)題3-11、3-12流體運動的相關(guān)基本概念§跡線和流線的對比跡線流線同一流體質(zhì)點不同時刻描繪軌跡拉格朗日法時間是變量不同流體質(zhì)點同一時刻描繪分布?xì)W拉法時間是參數(shù)恒定流情況下兩者相同流體運動的相關(guān)基本概念§例1歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換（由速度分布求質(zhì)點軌跡）已知：已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為求：在t=0時刻位于點（a,b）的流體質(zhì)點的運動軌跡。解：對某時刻t

位于坐標(biāo)點上(x,y)的質(zhì)點，有求解該一階常微分方程組，可得c1

，c2

為積分常數(shù)，由t=0時刻流體質(zhì)點位于可確定流體運動的相關(guān)基本概念§例1歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換（由速度分布求質(zhì)點軌跡）代入前式，可得拉格朗日法表示的流體質(zhì)點軌跡方程為討論：本例說明，雖然題目給出的是速度分布式（歐拉法），即各空間點上速度分量隨時間的變化規(guī)律，但仍可由此求出指定流體質(zhì)點在不同時刻所處的空間位置，即運動軌跡（拉格朗日法）。通過本例可看到這兩種描述方法在數(shù)學(xué)上是如何相互轉(zhuǎn)換的。流體運動的相關(guān)基本概念§例2非恒定流的跡線和流線。求：（1）質(zhì)點A的跡線方程；（2）t=0時刻過原點的流線方程；（3）t=1時刻質(zhì)點A的運動方向。解：此流場屬于非恒定流場。上兩式分別積分可得已知：設(shè)速度場為u=t+1，v=1，t=0時刻流體質(zhì)點A位于原點。（1）由跡線方程式，本例的跡線方程組為t=0時質(zhì)點A位于x=0，y=0處，得c1=c2=0。質(zhì)點A的跡線方程為流體運動的相關(guān)基本概念§例2非恒定流的跡線和流線。消去參數(shù)t可得上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以（-1/2，-1）點為頂點，且通過原點的拋物線（見圖）。（2）由流線微分方程式，本例的流線方程組為積分可得（此處t可當(dāng)作常數(shù)處理）在t=0時刻，流線通過原點，即x=y=0，因此C=0，相應(yīng)的流線方程為上式表明初始時刻過原點的流線是一、三象限的角平分線（見圖）。流體運動的相關(guān)基本概念§例2非恒定流的跡線和流線。（3）為了確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求出此時過質(zhì)點A所在位置的流線方程。由跡線方程式可知，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1處，代入流線方程，有t=1時刻過流體質(zhì)點A所在位置的流線方程為這是一條與流體質(zhì)點A的跡線相切于（3/2，1）點處的斜直線，此時A的運動方向為：沿該直線，x,y增大的方向。討論：本例說明，非恒定流中，跡線與流線明顯不相同。流體運動的相關(guān)基本概念§流束、元流、總流和流管在流場中，過任意指定區(qū)域的所有流線的總和稱為流束。流束可大可小，如果指定區(qū)域取得無限小，這種情況下的流束稱為微元流束，也稱元流；如果指定區(qū)域到達(dá)流場周界，所得流束稱為總流。流束的外表面稱為流管，由于流線不能相交，所以，在各個時刻流體質(zhì)點都只能在流管內(nèi)部或外部流動，而不能穿越。——這四個都是假想的概念，對于直觀理解問題以及理論上處理某些問題有幫助。流體運動的相關(guān)基本概念§過流斷面、流量與平均流速與流束中所有流線正交的截面稱為過流斷面。過流斷面不一定是平面，其形狀與流線的分布情況有關(guān)。

斷面平均流速是一個假想的等效流速，是指在假想的均勻分布流速下，流體流經(jīng)過流斷面的流量與實際情況相等?！^流斷面上各點的運動要素一般是不相同的。元流的情況單位時間內(nèi)通過過流斷面的流體量稱為流量，一般可分為體積流量和質(zhì)量流量?！霐嗝嫫骄魉俸?，有助于在某些情況簡化問題。不是過流斷面的情況流體運動的相關(guān)基本概念§例3流量和平均流速已知：粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作恒定流動時，設(shè)圓截面上的速度分布為拋物線分布。求：這種速度分布下的（1）流量Q的表達(dá)式；（2）截面上平均速度V。解：（1）計算流量時可取dA=2πrdr，拋物線分布的流量為討論：本例說明，拋物線速度分布情況下，截面的平均速度為最大速度的一半。（2）拋物線分布的斷面平均速度為流體運動的相關(guān)基本概念§均勻流與非均勻流、漸變流與急變流根據(jù)位于同一流線中各質(zhì)點的流速是否隨沿程變化，可將流體運動分為均勻流和非均勻流。若流場中同一流線上各質(zhì)點的流速隨沿程保持不變，這種流動稱為均勻流，否則稱為非均勻流?！鶆蛄髦懈髁骶€是彼此平行的直線，過流斷面為平面且其上流速分布沿程不變，無遷移加速度；但不同流線上的流體質(zhì)點速度可以不相同。R實際工程中的流體運動大多為非均勻流。為了便于研究，常常按流線變化的緩急程度，又將非均勻流分為漸變流和急變流。流體運動的相關(guān)基本概念§系統(tǒng)與控制體從理論角度分析研究流體的運動規(guī)律時，要用到系統(tǒng)和控制體的概念。所謂系統(tǒng)，就是包含確定不變的物質(zhì)的集合。在工程流體力學(xué)中，系統(tǒng)就是指由確定的流體質(zhì)點所組成的流體對象。顯然，使用系統(tǒng)作為考察對象，意味著采用拉格朗日方法來研究流體運動。所謂控制體，在工程流體力學(xué)中，是指相對于某個坐標(biāo)系而言，有流體流過的固定不變的空間區(qū)域，控制體的邊界面稱為控制面，它總是封閉的。由此可見，使用控制體作為考察對象，是與歐拉方法相對應(yīng)的研究手段。形狀改變追蹤的流體質(zhì)點不變形狀不變內(nèi)部的流體質(zhì)點改變流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體運動中的數(shù)學(xué)表示。首先，質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式是——在流場中取體積為V，邊長為dx、dy、dz

的微元體為系統(tǒng)，考慮經(jīng)dt

時間后微元體發(fā)生的體積變化?！滩纳喜捎玫氖侨】刂企w的方法推導(dǎo)連續(xù)性方程，為便于對比，本課件采用取系統(tǒng)的方法進(jìn)行推導(dǎo)。流體運動的連續(xù)性方程由于系統(tǒng)左右兩側(cè)面上的流體質(zhì)點存在速度差，dt

時間后，兩側(cè)面間的距離dx

將發(fā)生改變，改變量為同理有于是略去高階微量，可簡化為流體運動的連續(xù)性方程將dV

代入前述表達(dá)式，有

進(jìn)一步有由此可見，流場中某點的速度分布決定了該點處流體微元的體積變化情況（速度散度=相對體積變化率）。相對體積變化量相對體積變化率流體運動的連續(xù)性方程§微分形式的連續(xù)性方程

上式等價于流體運動的連續(xù)性方程，是任何可能存在的流體運動必須滿足的條件，即質(zhì)量守恒條件。恒定不可壓縮流體簡單情形示例：課本例題3-2物理意義流體運動的連續(xù)性方程§例4不可壓縮流動的連續(xù)性方程已知：不可壓縮平面流動沿x方向的流速分布為求：沿y方向流速分布。解：由不可壓縮流動的連續(xù)性方程，有代入具體的速度分布式，可得討論：本例說明，對于不可壓縮流動，流場中任一點的速度分量不能是任意的，而是受到連續(xù)性方程的的制約。從定性角度來看，流體在流動過程中必須保持連續(xù)，而不能發(fā)生堆疊或撕裂。彈性力學(xué)中的變形協(xié)調(diào)條件§積分形式的連續(xù)性方程

取如圖所示的總流為控制體，應(yīng)用連續(xù)性方程有流體運動的連續(xù)性方程——微分形式的連續(xù)性方程是針對流場中任取的一個微元體建立的，這一結(jié)論自然也適用于總流。元流任意體積流束結(jié)合高斯定理，第二項的體積分可改寫為面積分，有物理意義§恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程對于恒定、不可壓縮總流，前式可簡化為流體運動的連續(xù)性方程因總流控制體的側(cè)表面上無流量（流量沿程不變），則上式可寫成過任意兩個截面的流量相等引入斷面平均流速后，有若沿程有多個流動出、入口時，則相應(yīng)的總流連續(xù)性方程為流體運動的連續(xù)性方程示例：課本例題3-3§例5主動脈弓流動已知：所有管截面均為圓形，d1=2.5cm，d2=1.1cm，d3=0.7cm，d4=0.8cm，d5=2.0cm，平均流量分別為Q1=6L/min，Q3=0.07Q1，Q4=0.04Q1，Q

5=0.78Q1。求：Q2及各管的平均速度。流體運動的連續(xù)性方程§例5主動脈弓流動解：取圖中虛線所示部分為控制體，其上有多個流動出入口，將血液近似為不可壓縮流體，應(yīng)用總流連續(xù)性方程，有可得各管的平均流速為流體微團(tuán)的運動分析流體運動平移轉(zhuǎn)動變形速度相互關(guān)聯(lián)§流體微團(tuán)的運動分析§流場中鄰近兩點的速度關(guān)系前式可寫成矩陣形式，其中F稱為速度梯度矩陣。再將速度梯度矩陣分解為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和，有將其代入前述速度關(guān)系式，整理得流體微團(tuán)的運動分析§速度分解定理——任意矩陣均可作此分解。類比：將函數(shù)分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)之和。取流場中的一個矩形微元（ABCD）為考察對象，其上各點的瞬時速度如圖所示。流體微團(tuán)的運動分析§流體微團(tuán)運動的組成分析——以A為基準(zhǔn)點，分析經(jīng)過dt

時間后流體微元的位置和形狀變化。平移運動：因各點均有相同的速度部分ux、uy，經(jīng)過時間dt

后，流體微團(tuán)ABCD將隨基準(zhǔn)點A平移至A1B1C1D1。流體微團(tuán)的運動分析拉伸變形：線元dx、dy

分別沿x、y方向的局部相對伸長速率。相對面積變化率相對體積變化率（三維）流體微團(tuán)的運動分析剪切變形：線元dx、dy

分別沿y、x方向的局部相對剪切速率。流體微團(tuán)的運動分析同理可得流體微團(tuán)的運動分析——由圖可見，上述剪切變形是非對稱的（兩個方向的剪切速率不一樣），為了和速度分解表達(dá)式中的各項系數(shù)相對應(yīng)，可將其分解為一個對稱剪切變形和一個旋轉(zhuǎn)變形的組合。對稱剪切變形的速率為旋轉(zhuǎn)變形：線元dx、dy

在xOy

平面內(nèi)繞z軸的旋轉(zhuǎn)角速率。該物理量稱為旋度。流體微團(tuán)的運動分析§速度分解表達(dá)式的物理意義平移速率變形速率旋轉(zhuǎn)速率拉伸剪切彈性力學(xué)中的幾何方程流體微元的運動分析§例6拉伸變形與面積擴(kuò)張已知：平面流場的流速分布為，其中k為正常數(shù)。（1）拉伸變形速率、面積擴(kuò)張率；求：（2）設(shè)

k=1，且

t=0時刻單位邊長的正方形流體面

abcd

位于圖中所示位置，求當(dāng)點

a到達(dá)點

a’時流體面a’b’c’d’的位置和形狀。流體微元的運動分析§例7剪切變形與旋轉(zhuǎn)已知：平面流場的流速分布為，其中k為正常數(shù)。試分析該流場的運動學(xué)特征。求：對于這種平行板間流動，由第一章內(nèi)容可知，根據(jù)牛頓粘性定律能夠測定其流體粘度，但這里僅考慮它的運動學(xué)特征。解：兩個方向的拉伸變形、剪切變形速率分別為：旋轉(zhuǎn)角速率為：面積擴(kuò)張率為：流體微團(tuán)的運動分析§有旋流與無旋流若流場中各流體微元均不存在旋轉(zhuǎn)運動，稱這種流動為無旋流，否則稱之為有旋流。在平面無旋流動中，流體微元的旋度處處為零，即應(yīng)滿足示例：課本例題3-12作業(yè)：課后習(xí)題3-15、3-16、3-20、3-37、3-38、3-39流體微元的運動分析§例8剛體旋轉(zhuǎn)流動已知：平面流場的流速分布為，其中k為正常數(shù)。試分析該流場的運動學(xué)特征。求：該問題的物理來源是盛水圓筒繞中心軸作等角速度旋轉(zhuǎn)運動。由第二章內(nèi)容可知，此即為流體的相對靜止?fàn)顟B(tài)，但這里僅考慮它的運動學(xué)特征。解：兩個方向的拉伸變形、剪切變形速率分別為：旋轉(zhuǎn)角速率為：面積擴(kuò)張率為：說明無剪切變形流體微元的運動分析§例9看似“有旋”的無旋流已知：平面流場的流速分布為試分析該流場的運動學(xué)特征。求：該問題的流動特征與前例類似，但流速的分布形式有所不同（與半徑成反比）。解：旋轉(zhuǎn)角速率為：討論：本例說明，判斷流體運動是否有旋，必須看流體微團(tuán)是否存在局部的自轉(zhuǎn)，而不是看它是否繞中心軸作整體圓周運動。換言之，流體的有旋或無旋是局部性質(zhì)的體現(xiàn)。無粘無旋不可壓縮平面流動——前節(jié)在流體微元運動分析的基礎(chǔ)上，將流體運動分為有旋流動和無旋流動兩種類型。理論研究表明，無旋流動只可能在無粘性的理想流體中形成。實際流體都有粘性，嚴(yán)格來講都是有旋流動，但在某些情況下可將其近似為無粘無旋問題處理?！竟?jié)簡要介紹無粘無旋平面流動的基本求解方法?！焖俣葎輰τ谄矫鏌o旋流動，有，由格林公式知，這是使成為某一函數(shù)全微分的充要條件，即相應(yīng)有速度勢函數(shù)無粘無旋不可壓縮平面流動在不可壓縮情形下，流體運動還應(yīng)滿足不可壓縮連續(xù)性方程，將速度勢函數(shù)代入可得——以上分析表明，對不可壓縮無旋平面流動，從速度勢函數(shù)的角度而言，問題歸結(jié)為求解特定邊界條件下的拉普拉斯方程，而這在二階偏微分方程理論中已是研究較多的成熟問題。示例：課本例題3-13§流函數(shù)速度勢函數(shù)是對于無旋平面流動建立的，若直接考察不可壓縮流動，將其連續(xù)性方程的形式改寫為同理可知，這是使成為某一函數(shù)全微分的充要條件，即相應(yīng)有無粘無旋不可壓縮平面流動在無旋情況下，流體運動還應(yīng)滿足旋度為零條件，將流函數(shù)代入可得流函數(shù)——由此可見，對不可壓縮無旋平面流動，從流函數(shù)的角度而言，問題仍然歸結(jié)于求解拉普拉斯方程。無粘無旋不可壓縮平面流動§速度勢和流函數(shù)的對比速度勢無旋流動等勢線方程為，由此得流函數(shù)不可壓縮流動等流函數(shù)線方程，由此得說明等流函數(shù)線處處與流速方向重合，它就是流線。說明等勢線處處與流速方向垂直，它是過流斷面線。無粘無旋不可壓縮平面流動由此可知，流場中的等勢線與等流速線處處正交，它們構(gòu)成的正交網(wǎng)格稱為流網(wǎng)。在流函數(shù)值不同的兩條流線間作任意曲線AB，并在AB上任取微元弧線段ds（其法向量為n），則通過ds

的單寬流量為從而有物理意義無粘無旋不可壓縮平面流動§均流全流場以等速（U）做平行直線流動速度分布勢函數(shù)流函數(shù)無粘無旋不可壓縮平面流動§點源和點匯點源：流體從一點均勻的流向各方。點匯：流體從各方均勻的流入一點。速度分布速度勢流函數(shù)示例：課本例題3-14——其中的常數(shù)k稱為平面點源（點匯）強(qiáng)度，可由流量確定。無粘無旋不可壓縮平面流動§平面勢流的疊加——速度勢和流函數(shù)應(yīng)滿足的拉普拉斯方程是線性微分方程，故也滿足疊加原理。對于較復(fù)雜的平面流動，可將其看作基本簡單流動的組合。示例：課本例題3-15將均勻直線流動和點源流動進(jìn)行疊加，疊加后的流動為即在無窮遠(yuǎn)處，通過駐點的兩條流線趨于平行。無粘無旋不可壓縮平面流動首先找出流速為零的點（駐點）即圖中的A

點。簡單分析上式可發(fā)現(xiàn)——由于流線互不相交，因此過駐點的兩條流線相當(dāng)于將流場分為互不影響的內(nèi)外的兩部分，只關(guān)注外部流動時，可將駐點流線以內(nèi)的部分設(shè)想為固體區(qū)域，通常稱為半體。

均勻直線流和點源的疊加相當(dāng)于半體的繞流，疊加后的速度勢和流函數(shù)就是半體繞流的解。其次考慮通過駐點的流線，方程為理想流體的運動微分方程——理想流體是忽略粘性的流體，因此，作用在其上的表面力與靜止流體一樣，只有法向力而無切向力。只是在建立理想流體的運動微分方程時，相比于靜力平衡方程，還需計及因加速度而產(chǎn)生的慣性力，其它都完全類似。靜止運動注意量綱注意方向理想流體的運動微分方程§理想流體的運動微分方程將加速度項展開為歐拉法表達(dá)式，有——理想流體的運動微分方程又稱歐拉運動微分方程，它只適用于理想流體。對于實際流體，需進(jìn)一步考慮切應(yīng)力的作用，因其推導(dǎo)過程較為復(fù)雜，本課程不作要求?！鞖W拉運動微分方程的特殊形式歐拉運動微分方程和連續(xù)性方程，是反映理想流體運動規(guī)律的基本方程。由于它們是四個微分方程構(gòu)成的一階非線性偏微分方程組，很難求出統(tǒng)一的通解，至今只找到了幾種特殊情況下的特解。本課程僅介紹其中最常見的伯努利積分，它是在下述四個限定條件下，上述方程組的積分結(jié)果。理想流體的運動微分方程恒定流不可壓縮質(zhì)量力有勢沿流線積分§伯努利積分對歐拉運動微分方程作一定的變形理想流體的運動微分方程質(zhì)量力有勢dW恒定流dp不可壓縮流體沿流線§理想流體沿流線的伯努利方程對于質(zhì)量力僅有重力的恒定不可壓縮流體，將重力勢函數(shù)帶入伯努利積分，整理得考慮流場中兩個不同的位置點時，有伯努利方程物理意義幾何意義——伯努利方程是能量守恒定律在工程流體力學(xué)中的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它形式簡單、意義明確，在工程流體力學(xué)中有著廣泛應(yīng)用?！觳匠痰乃W(xué)意義伯努利方程§實際流體沿流線的伯努利方程實際流體具有粘性，在流動過程中不可避免的會產(chǎn)生粘性切應(yīng)力作功帶來的能量損失，因此實際流體的流動機(jī)械能將沿程減少。速度水頭——壓強(qiáng)水頭——位置水頭——總水頭——測壓管水頭同樣根據(jù)能量守恒，可得實際流體沿流線的伯努利方程為由此可見，實際流體的總水頭線是沿程下降的。伯努利方程相應(yīng)的，實際流體總水頭線和測壓管水頭線的下降快慢程度可用水力坡度來表示實際總水頭線伯努利方程§例10平托測速管用液位差Δh

表示的流速u。求：解：設(shè)流動符合不可壓縮理想流體的恒定流動條件。對A、O兩點應(yīng)用理想流體沿流線的伯努利方程已知：設(shè)皮托管正前方的流速保持為u，靜壓強(qiáng)為p，流體密度為ρ，U形管中液體密度為ρm

?？紤]到O點為駐點，流速為零，且兩點位置差可忽略。分析A、B點及1至6點的壓強(qiáng)關(guān)系，可得示例：課本例題3-4已知：圖示一敞口水箱，小孔與液面的垂直距離為h，設(shè)流動過程中水箱水位不變。伯努利方程§例11恒定水位小孔出流孔口出流速度u。求：解：設(shè)流動符合不可壓縮理想流體的恒定流動條件。從自由液面上任選點1

到小孔出流點2，列伯努利方程液面的速度可近似取為零，u1=0，液面和孔口外均為大氣壓強(qiáng)，p1=p2=0（相對壓強(qiáng)），于是可得托里切利公式伯努利方程§例12三角堰流量計已知：設(shè)三角堰孔口角為α，定常流動時上游水面距角尖的淹深保持為h

求：三角堰流量Q

的表達(dá)式。取z

軸從自由面垂直向下解：由前例結(jié)果（托里切利公式），有流量§實際流體恒定總流的努利方程伯努利方程將沿流線的伯努利方程在過流斷面上積分，得到單位時間內(nèi)通過兩過流斷面的能量關(guān)系——前面得到的是實際流體沿流線（即元流）的伯努利方程，如何將這一結(jié)果推廣至總流？斷面一上的總能量損失的總能量斷面二上的總能量動能積分：由于過流斷面上的流速分布一般較為復(fù)雜，難以確定，在工程實際中為了方便，一般使用斷面平均流速來代替計算。伯努利方程水頭損失積分：水頭損失積分是單位時間內(nèi)總流由過流斷面一至過流斷面二的能量損失，也可用平均值來近似代替。動能修正系數(shù)勢能積分：為了確定勢能積分，需確定過流斷面上各點的壓強(qiáng)分布規(guī)律，為此，取沿流線法線方向（過流斷面方向）的微元體進(jìn)行考察。沿流線法線列運動微分方程伯努利方程曲率半徑上式沿流線法向（即在過流斷面上）積分，有伯努利方程當(dāng)流線趨于直線時，——以上結(jié)果說明，對于漸變流，過流斷面上的測壓管水頭分布接近于常數(shù)，等同于靜壓強(qiáng)情形。在總流中選取漸變流作為過流斷面，計算勢能積分，可得——上式說明，在將沿流線的伯努利方程推廣到總流情形時，必須選取漸變流作為過流斷面。將前述三類能量積分匯總，并注意到恒定流時總流流量不變，，整理后得總流伯努利方程的應(yīng)用要點伯努利方程不可壓縮恒定流動質(zhì)量力只有重力過流斷面取漸變流，但之間可為急變流基準(zhǔn)面過流斷面計算點伯努利方程§例13文丘里流量計已知：文丘里流量計如圖所示。求：管內(nèi)流量Q

。設(shè)流動符合不可壓縮無粘性流體定常流動條件。截面為A1、A2，平均速度為V1、V2，流體密度為ρ。解：整理可得取由沿總流的伯努利方程示例：課本例題3-7伯努利方程由于A1、A2截面上為漸變流，截面上的壓強(qiáng)分布規(guī)律與U形管內(nèi)靜止流體相同。設(shè)U形管內(nèi)液體的密度為ρm，液位差為Δh，由壓強(qiáng)公式可得將上兩式代入前式，并利用等壓面關(guān)系式p3=p5及高度關(guān)系，有伯努利方程由連續(xù)性方程結(jié)合前述結(jié)果，整理后可得入口段的平均速度為其中k稱為流速系數(shù)，文丘利管的流量公式為討論：當(dāng)ρ、ρm確定后,Q與Δh

的關(guān)系僅取決于文丘里管的面積比A1/A2，且與管子的傾斜角θ無關(guān)。A1、A2截面之間存在收縮段急變流并不影響應(yīng)用伯努利方程。示例：課本例題3-5、3-6、3-8作業(yè)：課后習(xí)題3-22、3-24、3-27或動量方程——動量定理是物理學(xué)中的基本原理之一，自然也適用于流體。流體對象的動量定理反映了流體運動過程中動量變化與其上作用力之間的關(guān)系，因此，可以用它來方便的解決急變流中流體與邊界面之間的相互作用力問題。傳統(tǒng)意義上的動量方程是針對系統(tǒng)，即采用拉格朗日觀點建立的。在工程流體力學(xué)中常采用歐拉法研究問題，因此需結(jié)合控制體及控制面的概念，將拉格朗日型動量方程轉(zhuǎn)換為歐拉型動量方程。系統(tǒng)：流體質(zhì)點速度控制體：流場速度動量方程在流場中選擇一個控制體，選定后其形狀、體積、位置相對于坐標(biāo)系均保持不變。設(shè)t時刻流體系統(tǒng)與控制體V重合，系統(tǒng)此時的動量可表示為其次，經(jīng)過Δt

時間，系統(tǒng)從虛線位置運動到實線位置，形狀、體積也有所改變，其動量不能簡單表示為——應(yīng)結(jié)合控制體和控制面作進(jìn)一步具體分析。動量方程對t+Δt

時刻的流體系統(tǒng)作具體分析，其動量可表示為三部分的組合：

t+Δt

時刻控制體V中所有流體質(zhì)點的動量

減去原非流體系統(tǒng)經(jīng)控制面A1

流入的動量（即圖中I部分）——第二、三部分實際上反映的是流體質(zhì)點經(jīng)控制體邊界（即控制面）流入、流出造成的動量改變。

加上原流體系統(tǒng)經(jīng)控制面A2

流出的動量（即圖中II部分）動量方程整理前述結(jié)果，可得由此得流體系統(tǒng)的動量定理為流入為內(nèi)法向局部、遷移導(dǎo)數(shù)流出為外法向§恒定不可壓縮總流的動量方程動量方程取總流為控制體時，總流當(dāng)中只有兩過流斷面A1、A2

上有動量交換。此外，當(dāng)流動為恒定不可壓縮時，流體動量方程可進(jìn)一步簡化為引入斷面平均流速后，有流入為負(fù)流出為正修正系數(shù)進(jìn)一步簡化得動量方程

恒定不可壓縮總流動量方程的應(yīng)用要點動量方程是矢量方程，需進(jìn)行投影計算作投影計算時應(yīng)特別注意各項的正負(fù)號出入口的流速關(guān)系可用連續(xù)性方程確定沿程有多個流動出入口時同樣適用示例：課本例題3-9、3-10、3-11作業(yè)：課后習(xí)題3-29、3-32、3-34動量方程沿程有多個流動出、入口的情形注意事項：控制體和坐標(biāo)系的選取式中各速度常取出入口的平均速度動量方程中的負(fù)號是固定的，各速度投影分量的正負(fù)號則與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)式中的合力包括所有外力（易忽視壓強(qiáng)作用力）為質(zhì)量流量動量方程§例14主動脈弓流動已知：圖示主動脈弓流動，條件及所取控制體均與例5相同，設(shè)血液密度為ρ=1055kg/m3。解：建立坐標(biāo)系oxy如圖所示。求：從控制體凈流出的動量流量。凈流出控制體的動量流量在x、y方向的分量分別為動量方程§例15收縮噴管受力分析已知：如右下圖所示的噴管流動。解：取如右上圖所示的控制體。求：固定噴管所需的作用力。再應(yīng)用動量方程，可得忽略重力，應(yīng)用連續(xù)性方程應(yīng)用伯努利方程，取噴管為控制體水流為控制體動量方程§例16彎曲噴管受力分析已知：設(shè)固定的收縮管的前半部向下彎曲，偏轉(zhuǎn)角為