吉林省長春市南關區(qū)東北師大附中2023年高三第三次測評數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為A． B．C． D．2．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．3．如圖所示，網(wǎng)絡紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．2 B． C．6 D．84．曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．15．在平面直角坐標系中，經(jīng)過點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．6．已知命題：任意，都有；命題：，則有．則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)（）的圖象過點，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸8．設為的兩個零點，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．9．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,210．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于11．已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直三棱柱內(nèi)有一個與其各面都相切的球O1，同時在三棱柱外有一個外接球.若,，,則球的表面積為______.14．若,則=______,=______.15．正方形的邊長為2，圓內(nèi)切于正方形，為圓的一條動直徑，點為正方形邊界上任一點，則的取值范圍是______.16．已知，則滿足的的取值范圍為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設點，直線與曲線相交于，，求的值．18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．19．（12分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）設，求證：；（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．20．（12分）已知（）過點，且當時，函數(shù)取得最大值1.（1）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，求函數(shù)的表達式；（2）在（1）的條件下，函數(shù)，求在上的值域.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點，點P(2,1)，求|PA|?|PB|的值.22．（10分）如圖，在矩形中，，，點分別是線段的中點，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點，連結.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由得，分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系，由圖可知，.2、B【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調性判斷即可；【詳解】解：當時，，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對于C，當時，，所以不單調，故排除C；故選：B【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎題.3、A【解析】

先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀，以及四棱錐的高，再由體積公式即可求出結果.【詳解】由三視圖可知，該四棱錐為斜著放置的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，上底為1，下底為2，高為2，四棱錐的高為2，所以該四棱錐的體積為.故選A【點睛】本題主要考查幾何的三視圖，由幾何體的三視圖先還原幾何體，再由體積公式即可求解，屬于?？碱}型.4、A【解析】

根據(jù)題意，求導后結合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得：，即切線斜率，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.5、B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設所求雙曲線的標準方程為k．再把點代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選：B【點睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題．6、B【解析】

先分別判斷命題真假，再由復合命題的真假性，即可得出結論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當,或時，則不成立.則，，均為假.故選:B【點睛】本題考查復合命題的真假性，判斷簡單命題的真假是解題的關鍵，屬于基礎題.7、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質，得出結論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質，需熟記性質與公式，屬于基礎題.8、A【解析】

先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個零點，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是基礎題．9、C【解析】

先求出集合U，再根據(jù)補集的定義求出結果即可．【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【點睛】本題考查集合補集的運算，求解的關鍵是正確求出集合U和熟悉補集的定義，屬于簡單題．10、D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點：平面與平面的位置關系，平面的基本性質及其推論．11、D【解析】

將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題，畫出函數(shù)的圖象，易知直線過定點，故與在時的圖象必有兩個交點，故只需與在時的圖象有兩個交點，再與切線問題相結合，即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可，即，當設切點，則，.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題，曲線的切線問題，注意運用轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于較難的壓軸題.12、A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體，前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐，體積為故答案為A.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調整.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出球O1的半徑，再求出球的半徑，即得球的表面積.【詳解】解：,，,，設球O1的半徑為，由題得，所以棱柱的側棱為.由題得棱柱外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題，考查球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.14、10【解析】

①根據(jù)換底公式計算即可得解；②根據(jù)同底對數(shù)加法法則，結合①的結果即可求解.【詳解】①由題：,則；②由①可得：.故答案為：①1，②0【點睛】此題考查對數(shù)的基本運算，涉及換底公式和同底對數(shù)加法運算，屬于基礎題目.15、【解析】

根據(jù)向量關系表示，只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得：，故答案為：【點睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及基本運算，關鍵在于恰當?shù)貙ο蛄窟M行轉換，便于計算解題.16、【解析】

將f（x）寫成分段函數(shù)形式，分析得f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，f（x）＝x|x|＝，則f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則f（2x﹣1）+f（x）≥0?f（2x﹣1）≥﹣f（x）?f（2x﹣1）≥f（﹣x）?2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范圍為[，+∞）；故答案為：[，+∞）．【點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調性的判定以及應用，注意分析f（x）的奇偶性與單調性．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（為參數(shù)）直接消去參數(shù)，可得直線的普通方程，把兩邊同時乘以，結合，可得曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）把代入，化為關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得．∵，∴，即．∴曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ）把代入，得．設，兩點對應的參數(shù)分別為，則，．不妨設，，∴．【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查參數(shù)方程化普通方程，明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關鍵，是中檔題．18、（1）；（2）見解析【解析】

將函數(shù)解析式化簡即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【詳解】（Ⅰ）由題意得原式的最小正周期為.（Ⅱ），.當，即時，；當，即時，.綜上，得時，取得最小值為0；當時，取得最大值為.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開，輔助角公式，三角函數(shù)的性質等，較為綜合，也是常考題型，需要計算正確，屬于基礎題19、（Ⅰ）函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用二次求導可得，所以在上為增函數(shù)，進而可得函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ）利用導數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進而可證；（Ⅲ）條件等價于對于恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)可得的單調性，即可得到的最小值為，再次構造函數(shù)（a），，利用導數(shù)得其單調區(qū)間，進而求得最大值．【詳解】（Ⅰ）當時，，則，所以，又因為，所以在上為增函數(shù)，因為，所以當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，即函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ），則令，則（1），，所以在區(qū)間上存在唯一零點，設零點為，則，且，當時，，當，，，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，，由，得，所以，由于，，從而；（Ⅲ）因為對于恒成立，即對于恒成立，不妨令，因為，，所以的解為，則當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，所以的最小值為，則，不妨令（a），，則（a），解得，所以當時，（a），（a）為增函數(shù)，當時，（a），（a）為減函數(shù)，所以（a）的最大值為，則的最大值為．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法，意在考查學生等價轉化思想和數(shù)學運算能力，屬于較難題．20、(1)；(2).【解析】

試題分析：(1)由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為，則.(2)整理函數(shù)h(x)的解析式可得：，結合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域為.試題解析：(1)由函數(shù)取得最大值1，可得,函數(shù)過得，，∵，∴，.(2)，，，值域為.21、（1）直線的普通方程，圓的直角坐標方程：.（2）【解析】

（1）直接利用轉換關系的應用，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關系式即可求解.【詳解】（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉換為直角坐標方程為x+y﹣3＝0.圓C的極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ＝3，轉換為直角坐標方程為x2+y2﹣4x﹣3＝0.（2）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓的直角坐標方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，得到，所以|PA|