彈性力學(xué)與有限元法習(xí)題集

2023/2/3slide1彈性力學(xué)與有限元法習(xí)題集與參考答案單麗君大連交通大學(xué)2009年10月2023/2/3slide2第一章第二章第三章第四章第五章參考試卷2023/2/3slide3第一章習(xí)題與答案有限單元法的含義？2.有限單元法的解題思路？答案返回3.有限單元法的優(yōu)點(diǎn)？2023/2/3slide4有限單元法的含義？答：用有限個單元將連續(xù)體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問題的一種數(shù)值方法。連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。2.有限元法的解題思路？答（1）網(wǎng)格劃分；（2）單元分析；（3）整體分析。3.有限元法的優(yōu)點(diǎn)？答（1）物理概念清晰，便于入門；

（2）采用矩陣形式，便于編制計算機(jī)程序；

（3）有較強(qiáng)的靈活性和適用性。返回2023/2/3slide5第二章習(xí)題與答案試說明彈性力學(xué)的基本假設(shè)？2.

彈性力學(xué)平面問題的基本方程有哪三大類？各表征何種關(guān)系？3.虛功原理內(nèi)容？答案返回2023/2/3slide64.工程上具有什么特點(diǎn)的空間問題可以簡化為平面應(yīng)力問題？5.工程上具有什么特點(diǎn)的空間問題可以簡化為平面應(yīng)變問題？6.應(yīng)用幾何方程推導(dǎo)應(yīng)變分量應(yīng)滿足下列變形協(xié)調(diào)方程。答案返回2023/2/3slide77.懸臂梁在三角形分布載荷作用下，可以看成平面應(yīng)力問題，應(yīng)力分量表達(dá)式為，試檢驗(yàn)這些應(yīng)力公式是否滿足變形協(xié)調(diào)方程？，答案返回2023/2/3slide88.下圖示梁作用有分布載荷q(x)，體力忽略不計，已知，其中M（x）為梁的截面彎矩，I為截面慣性矩。試根據(jù)單元體的平衡方程式，求應(yīng)力。答案返回2023/2/3slide9試說明彈性力學(xué)的基本假設(shè)？答（1）假設(shè)物體是線性彈性的；

（2）假設(shè)物體是連續(xù)的；

（3）假設(shè)物體是均勻的，各向同性的；

（4）假設(shè)物體的位移和應(yīng)變是微小的。2.彈性力學(xué)平面問題的基本方程有哪三大類？各表征何種關(guān)系？答：彈性力學(xué)平面問題的基本方程包括平衡方程、幾何方程和物理方程。平衡方程表征：應(yīng)力與外力的關(guān)系。幾何方程表征：應(yīng)變與位移的關(guān)系。物理方程表征：應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系。3.虛功原理?

外力在虛位移上所做的虛功W，恒等于應(yīng)力乘虛應(yīng)變的虛變形功（或虛變形能）。1、2、3.題答案返回2023/2/3slide104.工程上具有什么特點(diǎn)的空間問題可以簡化為平面應(yīng)力問題？答：（1）在幾何外形上，它們都是等厚度的平面薄板；（2）在受力狀態(tài)上，面力都只作用在板邊上，且平行于板面，并且不沿厚度變化，體力也平行于板面，且不沿厚度變化；（3）σz=0，εz≠0。5.工程上具有什么特點(diǎn)的空間問題可以簡化為平面應(yīng)變問題？（1）在幾何形狀上，它們都是一個近似等截面的長柱體，它們的長度要比橫截面的尺寸大得多；（2）在受力情況上，它們都只受有平行于橫截面，且沿縱向長度均布的面力和體力。有的在縱向的兩端還受有約束。（3）εz=0，σz≠04、5.題答案返回2023/2/3slide11由：，，，，，（1）式+（2）式得：即：證畢6.題答案返回2023/2/3slide12答：所以，即應(yīng)力公式滿足相容方程7.題答案返回2023/2/3slide13解：8.題答案返回2023/2/3slide14同理在頂面rp上切向內(nèi)力系的合力：取截面下的物體為分離體返回2023/2/3slide15由剪應(yīng)力互等定理，返回2023/2/3slide16第三章習(xí)題與答案1.為滿足解答收斂性要求，選擇位移模式應(yīng)滿足什么條件？2.彈性體在進(jìn)行單元劃分時，應(yīng)注意什么問題？答案返回2023/2/3slide173.試說明圖示工程實(shí)例的約束如何引進(jìn)整體剛度矩陣？答案返回2023/2/3slide184.計算出圖示單元節(jié)點(diǎn)的編碼方式下的三角形ijm的面積Ｓ△ijm的值。5.試證明:三結(jié)點(diǎn)三角形單元內(nèi)任意一點(diǎn)有：6.“在應(yīng)用有限元求解彈性力學(xué)平面問題時，單元劃分得越小越好”，這句話對嗎？試說明理由。答案返回2023/2/3slide197.試證明平面三角形三結(jié)點(diǎn)單元的位移模式：含有剛體位移狀態(tài)。9.試在圖示的網(wǎng)格劃分圖上標(biāo)上合適的結(jié)點(diǎn)編碼，使其有限元計算時的半帶寬最小，并計算其半帶寬。8.簡述有限元計算結(jié)果如何整理？答案返回2023/2/3slide2010.一平面三角形薄板構(gòu)件，離散為2個單元4個節(jié)點(diǎn)，如圖所示。已知單元①的編碼順序?yàn)椋?，3，4），單元②的編碼順序?yàn)椋?，2，3）。試分別寫出：（１）單元①的剛度矩陣；（2）單元②的剛度矩陣；（３）總剛矩陣的表達(dá)式。①②答案返回2023/2/3slide2111.試用“*”表示非零子塊，用“0”表示零子塊，寫出圖示已劃分單元彈性體的總剛矩陣。12.圖（a）、(b)所示是同一結(jié)構(gòu)的兩種不同的網(wǎng)格劃分方法，試計算兩圖的半帶寬，并說明哪種劃分方法比較合理，為什么？答案返回2023/2/3slide2213.已知某單元，其結(jié)點(diǎn)編號為i，j，m，其坐標(biāo)依次為（2，2）、（6，3）、（5，6），試寫出其形函數(shù)Ni，Nj，Nm

及單元的應(yīng)變矩陣。答案

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2023/2/3slide2314.圖示平面應(yīng)力狀態(tài)的直角三角形單元及其結(jié)點(diǎn)編碼，設(shè)試求：（1）形態(tài)矩陣[N]；（2）幾何矩陣[B]及應(yīng)力轉(zhuǎn)移矩陣[S];（3）單元剛度矩陣[k]e答案

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2023/2/3slide2415.如圖所示單元，在jm邊上作用有線性分布的水平載荷，試求其等效結(jié)點(diǎn)載荷。單元的厚度為1cm。答案

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2023/2/3slide2516.如圖所示單元，在ij邊上作用有均布，載荷密度為q，試單元的等效結(jié)點(diǎn)載荷。單元的厚度為t。答案

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2023/2/3slide2617.如圖所示單元，在ij邊上作用有均布，載荷密度為q，試單元的等效結(jié)點(diǎn)載荷。單元的厚度為t。答案

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2023/2/3slide2718.如圖所示固端梁受集中力P作用，取,按平面應(yīng)力問題計算，求圖示單元的結(jié)點(diǎn)位移。答案

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2023/2/3slide281.答：（1）位移模式應(yīng)包括單元的剛體位移狀態(tài)和常量應(yīng)變狀態(tài)，滿足這個條件的單元為完備單元。（2）位移模式應(yīng)保證相鄰單元在公共邊界處位移是連續(xù)的，這種連續(xù)性稱為協(xié)調(diào)性或相容性；條件（1）是收斂的必要條件，條件（1）+（2）是收斂的充分條件。2.答：（1）單元的大?。褐匾课?、易發(fā)生應(yīng)力集中、應(yīng)力位移變化劇烈部位單元劃小些，次重要部位、應(yīng)力和位移變化比較平緩的部位單元劃大些。（2）單元形狀：應(yīng)力及位移的誤差與單元的最小內(nèi)角正旋成反比。（3）結(jié)構(gòu)厚度和彈性常數(shù)有突變時的單元劃分：把厚度和彈性常數(shù)有突變線作為單元的分界線，不能使突變線穿過單元。1、2題答案返回

2023/2/3slide29答：（1）將整體剛度矩陣[K]中的第1行、第3行、第5行、第6行的主對角線元素改為1，將第1行、第3行、第5行、第6行非對角線元素改為0；（2）為了保持[K]矩陣的對稱性，將第1列、第3列、第5列、第6列非對角線元素改為0；（3）將1、3、5行對應(yīng)的載荷向量改為0。3.題答案返回

2023/2/3slide30解：4.題答案返回

2023/2/3slide31根據(jù)行列式性質(zhì)有：上式第一項(xiàng)為行列式第一列代數(shù)余子式與第二列各元素相乘等于零，第二項(xiàng)為第二列代數(shù)余子式與第二列各元素相乘等于2A，第三項(xiàng)為第三列代數(shù)余子式與第二列各元素相乘等于０。所以，有即：證畢5.題答案返回

2023/2/3slide326.“在應(yīng)用有限元求解彈性力學(xué)平面問題時，單元劃分得越小越好”，這句話對嗎？試說明理由。答：這句話不對。因?yàn)椋瑥睦碚撋险f，單元劃分越小，計算結(jié)果越精確，但在實(shí)際工作中，要根據(jù)工程上對精度的要求，計算機(jī)容量及合理的計算時間，來確定單元的大小。重要部位、易發(fā)生應(yīng)力集中、應(yīng)力位移變化劇烈部位單元劃小些，次重要部位、應(yīng)力和位移變化比較平緩的部位單元劃大些。6.題答案返回

2023/2/3slide33答：所以，即應(yīng)力公式滿足相容方程7.題答案返回

2023/2/3slide34答：計算結(jié)果的整理包括兩個方面：（1）各結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移（2）各單元的應(yīng)力分量位移：直接用結(jié)點(diǎn)位移分量畫出結(jié)構(gòu)物的位移圖線。應(yīng)力：采用平均的計算方法，使結(jié)構(gòu)物內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力更接近實(shí)際應(yīng)力。邊界內(nèi)應(yīng)力采用繞結(jié)點(diǎn)平均法和二單元平均法。邊界上的應(yīng)力采用拉格朗日插值公式由結(jié)點(diǎn)內(nèi)的應(yīng)力推算出來。8.題答案返回

2023/2/3slide359.題答案半帶寬：d=(4+1)×2=10答：返回

2023/2/3slide36

（５分）（１）單元①的剛度矩陣（2）單元②的剛度矩陣（3）總體剛度矩陣為10.題答案返回

2023/2/3slide37總剛矩陣:11.題答案返回

2023/2/3slide38答：圖（a）的半帶寬為：d=(相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值+1)×2=（4+1）×2=10

圖（b）的半帶寬為：d=(相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值+1)×2=（3+1）×2=8

圖（b）劃分方法比較合理，因?yàn)樵摲N劃分方法半帶

寬較小，占用的存儲空間小，節(jié)省了計算機(jī)內(nèi)存容量。12.題答案返回

2023/2/3slide3913.題答案解：（1）三角形面積為：返回

2023/2/3slide40（2）形函數(shù)為：（3）應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣：返回

2023/2/3slide41（1）三角形面積為：解：14.題答案

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2023/2/3slide42形函數(shù)為：形態(tài)矩陣為：返回

2023/2/3slide43（2）幾何矩陣為：應(yīng)變轉(zhuǎn)化矩陣為：返回

2023/2/3slide44（3）單元剛度矩陣為：返回

2023/2/3slide45返回

2023/2/3slide46載荷向量：

=

15.題答案解：形函數(shù)的幾何含義得：，，返回

2023/2/3slide47N

返回

2023/2/3slide48形函數(shù)為：形態(tài)矩陣為：16.題答案解：返回

2023/2/3slide49等效結(jié)點(diǎn)載荷為：因?yàn)?，在jm,mi邊界上面力為零，所以，上式的后兩項(xiàng)為零ds=-dy返回

2023/2/3slide50返回

2023/2/3slide51（1）三角形面積為：17.題答案形函數(shù)為：形態(tài)矩陣為：解：返回

2023/2/3slide52等效結(jié)點(diǎn)載荷為：因?yàn)椋趈m,mi邊界上面力為零，所以，上式的后兩項(xiàng)為零在ds=-dy返回

2023/2/3slide53返回

2023/2/3slide54三角形面積為：將Ⅰ單元結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式：解：得：

幾何矩陣為：18.題答案返回

2023/2/3slide55剛度矩陣為：返回

2023/2/3slide56三角形面積為：將Ⅰ單元結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式：得：幾何矩陣為：返回

2023/2/3slide57返回

2023/2/3slide58總剛矩陣為：返回

2023/2/3slide59返回

2023/2/3slide60引入支撐條件：u1=v1=u4=v4=0返回

2023/2/3slide61將代入上式得：返回

2023/2/3slide62消元得：返回

2023/2/3slide63第四章習(xí)題與答案1.什么是軸對稱問題？2.軸對稱問題采用什么坐標(biāo)系？答案

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2023/2/3slide641.什么是有限元軸對稱問題？答：軸對稱問題：物體的幾何形狀、約束情況及所受的外力都對稱于空間的某一根軸，因此在物體中通過該軸的任何平面都是對稱面，所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移也對稱于該軸，這類問題稱為軸對稱問題。通常采用圓柱坐標(biāo)系（r，θ，z），以z軸為對稱軸。四個應(yīng)力分量：，四個應(yīng)變分量：2.答：有限元軸對稱問題采用柱坐標(biāo)系。返回

2023/2/3slide65第五章習(xí)題與答案為什么工程上要采用等參單元對重要零件進(jìn)行有限元分析？2.計算圖示四結(jié)點(diǎn)等參單元上的局部坐標(biāo)系上點(diǎn)，在實(shí)際單元上對應(yīng)的整體坐標(biāo)是多少？

答案

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2023/2/3slide66答：因?yàn)榈葏卧哂芯雀?適用性好的優(yōu)點(diǎn)。用等參單元,可以在局部坐標(biāo)中的規(guī)則單元上進(jìn)行單元分析,然后映射到實(shí)際單元上,單元的幾何特征,載荷分布等自實(shí)際結(jié)構(gòu),充分反映了實(shí)際結(jié)構(gòu)，適應(yīng)曲邊形狀，計算工作是在母單元上進(jìn)行,由于母單元形狀簡單而且規(guī)則,計算精度高。1.題答案