2.平面和平面的垂直

2.平面和平面的垂直9.7直線和平面所成的角與二面角問：教室的墻面和地面相交，他們所成的二面角是什么圖形？一.兩個平面垂直的定義平面角是直角的二面角叫做直二面角相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面αβa二、兩個互相垂直平面的畫法：αβαβ平面α與平面β垂直，記作α⊥β練習：畫互相垂直的兩個平面，兩兩垂直的三個平面βαaAB如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直。三.兩個平面垂直的判定定理：EABCDSO已知：ABCD為正方形，SD⊥平面AC，問：圖中所示的7個平面中，共有多少個平面互相垂直？思考題？1.平面SAD⊥平面ABCD2.平面SBD⊥平面ABCD3.平面SCD⊥平面ABCD4.平面SAD⊥平面SCD5.平面SBC⊥平面SCD6.平面SAB⊥平面SAD7.平面SAC⊥平面SBD例1、在四面體ABCD中，BD=，AB=AD=CB=CD=AC=a，求證：平面ABD⊥平面BCDBACDE如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

兩個平面垂直的性質(zhì)定理：E《數(shù)學(xué)之友》P174B

2小結(jié)：1.兩個平面垂直的定義：

2.兩個平面垂直的判定定理相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直。如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

3.兩個平面垂直的性質(zhì)定理作業(yè)：課本p47

習題9.76，7例1已知：

α⊥β，P∈α，P∈a,a⊥β.

求證：aα.

∩βαaPbc證明：設(shè)α∩β=c，過點P在平面α內(nèi)作直線b⊥c，根據(jù)上面的定理有b⊥β.因為經(jīng)過一點只能有一條直線與平面β垂直，所以直線a應(yīng)與b直線重合.所以aα.

∩

如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)。例1已知：

α⊥β，P∈α，P∈a,a⊥β.

求證：aα.

∩βαaP例2求證：垂直于同一平面的兩平面的交線垂直于這個平面。證法一證法二證法三γαβa已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求證：a⊥γ.例垂直于同一平面的兩平面的交線垂直于這個平面。已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求證：a⊥γ.證法一：γαβabcPMN設(shè)α∩γ=b,β∩γ=c,在γ內(nèi)任取一點P，作PM⊥b于M，PN⊥C于N.因為α⊥γ，β⊥γ，

所以PM⊥α，PN⊥β.

因為α∩β=a，

所以PM⊥a，PN⊥a，

所以a⊥γ.線線垂直線面垂直γαβa已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求證：a⊥γ.證法二：Pb任取P∈a，過點P作b⊥γ.∩∩因為α⊥γ，

所以bα，

因為β⊥γ，

因此bβ，

故α∩

β=b.

由已知α∩

β=a，

所以a與

b重合，所以a⊥γ.同一法γαβa已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求證：a⊥γ.證法三：bcb′c′設(shè)α⊥γ于b，β⊥γ于c.在α內(nèi)作b′⊥b,所以b′⊥γ.同理在β內(nèi)作c′

⊥c,有c′

⊥

γ,所以b′‖c′,∩∩∩又b′β,c′β,

所以b′‖β.又b′

α,α∩β=a,所以b′‖a,故a⊥γ.線線平行線面垂直小結(jié)線線垂直線面垂直面面垂直αβaAB線線平行面面平行AA1

B1

C1BCE思考題