數(shù)學(xué)建模第一次講座

數(shù)學(xué)建模簡介MathematicalModeling嚴(yán)培勝湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)系

主要內(nèi)容一、數(shù)學(xué)建模的定義二、數(shù)學(xué)建模的方法三、數(shù)學(xué)建模的步驟四、數(shù)學(xué)模型的分類五、怎么樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模六、數(shù)學(xué)建模論文寫法七、全國數(shù)學(xué)建模競賽介紹玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型…~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)…~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征從現(xiàn)實(shí)對象到數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)建模的定義你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米.甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米）。

數(shù)學(xué)建模示例一

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學(xué)問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗造的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實(shí)對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長例二如何預(yù)報人口的增長指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預(yù)測不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0二、數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)三、數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型假設(shè)針對問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想象力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件（Matlab,Excel,SPSS，Lingo）和計算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析(靈敏度分析)模型分析模型檢驗與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對象用現(xiàn)實(shí)對象的信息檢驗得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐四、數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、…數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、…表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)五、怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想象力洞察力判斷力學(xué)習(xí)、分析、評價、改進(jìn)別人作過的模型親自動手，認(rèn)真作幾個實(shí)際題目六、怎樣撰寫數(shù)學(xué)建模的論文1、題目。簡短精練、高度概括、準(zhǔn)確得體、恰如其分2、作者。注明地址（郵編）

3、3、摘要。摘要應(yīng)包括以下內(nèi)容：所研究的問題、建立的模型、求解模型的方法、獲得的基本結(jié)果以及對模型的檢驗或推廣。需要概括、簡練的語言反映這些內(nèi)容，尤其是突出論文的優(yōu)點(diǎn)，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推廣等。4、主要變量及其符號和計量單位說明5、問題分析與重述。不要抄原題，應(yīng)把握住問題的實(shí)質(zhì)，再用較精練的語言敘述問題。6、模型假設(shè)7、分析與建立模型8、模型求解9、模型檢驗10、模型評價與推廣11、參考文獻(xiàn)。作者文獻(xiàn)名地址出版社時間12、附錄1992年由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(CSIAM)組織第一次競賽1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月)七、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽http://全國高校規(guī)模最大的課外科技活動數(shù)學(xué)建模競賽(MathematicalContestinModeling)簡介內(nèi)容賽題：工程技術(shù)、管理科學(xué)中經(jīng)過簡化的實(shí)際問題答卷：一篇包含模型假設(shè)、建立、求解、計算方法設(shè)計和計算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗、模型改進(jìn)等方面的論文形式3名大學(xué)生組隊，在3天內(nèi)完成的通訊比賽可使用任何“死”材料（圖書、計算機(jī)、軟件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊外任何人討論宗旨創(chuàng)新意識團(tuán)隊精神重在參與公平競爭標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰程度年A題B題C題D題2000DNA序列分類鋼管訂購和運(yùn)輸飛越北極空洞探測2001血管的三維重建公交車調(diào)度基金使用計劃公交車調(diào)度2002車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計彩票中的數(shù)學(xué)車燈線光源的計算賽程安排2003SARS的傳播露天礦生產(chǎn)的車輛安排SARS的傳播搶渡長江2004奧運(yùn)會臨時超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計電力市場的輸電阻塞管理飲酒駕車公務(wù)員招聘全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽近11年的題目（本科隊從A,B題中選一題，?？脐爮腃,D題中選一題

2005長江水質(zhì)的評價和預(yù)測DVD在線租賃雨量預(yù)報方法的評價

DVD在線租賃

2006出版社的資源配置艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計

煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制

2007人口預(yù)測問題乘公交，看奧運(yùn)易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計

體能測試時間安排

2008

數(shù)碼相機(jī)定位

高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討

地面搜索

NBA賽程的分析與評價2009制動器試驗臺的控制方法分析

眼科病床的合理安排

衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控

會議籌備2010儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定

2010年上海世博會影響力的定量評估

輸油管的布置

對學(xué)生宿舍設(shè)計方案的評價

美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(MCM)1985年開始舉辦，每年一次(2月)；現(xiàn)稱“國際競賽”1996年起，復(fù)旦、中國科大、華東理工、清華、浙大、國防科大、北大、東南大學(xué)、東華大學(xué)先后榮獲最高獎http:///undergraduate/contests參考書

“數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模”，劉來福等編

“數(shù)學(xué)模型”(第二版)，任善強(qiáng)等編“數(shù)學(xué)建?！?徐全智等編“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗”，趙靜但琦編姜啟源謝金星葉俊編“數(shù)學(xué)模型通常，1公斤面，1公斤