利息理論第二章

E-mail:cxdzlh@163.comTel:49936260利息理論第二章利息度量本金(資金的現(xiàn)值）：初始投資的資本的金額。累積值（資金的終值）：過一定時期后收到的總金額。利息：累積值與本金之間的金額差值。一、累積函數(shù)與實際利率

1.1累積函數(shù)－－指期初的1元本金在時刻t的累積值，是度量利率和利息基本的工具。累積函數(shù)的性質(zhì)：

1.2實際利率－－指1元本金在某個時刻末賺取的利息，一般用i表示。用累積函數(shù)表示實際利率，則有

實際利率也可表示成為某個時期賺取的利息金額與期初的本金金額之比。二、單利

單利－－是指在期初投資的本金，在每一個時期中都得到完全相同的利息金額，即利息為常數(shù)，則把這種類型的利息產(chǎn)生方式稱為單利。

當(dāng)t為整數(shù)時，單利條件下的累積函數(shù)為：問題：單利率是否就為實際利率？

結(jié)論：這是一個關(guān)于時間t的單調(diào)遞減的函數(shù)，并且隨著t的增大，實際利率將減小．問題：為什么在每一個時期中所獲得的利息金額相等，但實際利率卻越來越來小呢？問題：若t為大于零的任意實數(shù)，單利該如何計算？結(jié)論：單利條件下累積函數(shù)的變化律為一常數(shù)．三、復(fù)利

復(fù)利－－指前期賺取的利息在后期會賺取附加利息,即“利滾利”．當(dāng)t為整數(shù)時，復(fù)利條件下的累積函數(shù)為：結(jié)論：復(fù)利利率等于實際利率．

結(jié)論：若單利率＝復(fù)利利率，則當(dāng)0<t<1時，單利>復(fù)利;而當(dāng)t>1時，單利<復(fù)利．

復(fù)利與單利的區(qū)別：

1、若利率水平為一常數(shù)，單利條件下的實際利率為時間的遞減函數(shù)；而復(fù)利條件下與時間無關(guān)。單利復(fù)利

2、在初始本金一定的條件下單利在相等的時間區(qū)間內(nèi)有相等的利息，而復(fù)利在相等的時間區(qū)間內(nèi)有相等的增長率。例4100元的初始投資，以9％計息．結(jié)論：在復(fù)利下，增長相對比率為常數(shù)．即期利率與遠(yuǎn)期利率

即期利率－指從當(dāng)前時點開始計算的未來一定期限的利率水平。

注:即期利率即為零息債劵（到期一次性支付本息）的到期收益率．

遠(yuǎn)期利率－指未來兩個時點之間的利率水平，是由一系列即期利率所確定的。注意：上式只適用于每年結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的情形貼現(xiàn)函數(shù)與實際貼現(xiàn)率注1貼現(xiàn)過程與累積過程是互逆的．注2在實際貼現(xiàn)率定義中的“利息金額”有時也被稱作“貼現(xiàn)金額”．問題：如果希望在時期t后獲得1元的累積值，期初的本金應(yīng)為多少？單利的貼現(xiàn)函數(shù)為：復(fù)利的貼現(xiàn)函數(shù)為：實際貼現(xiàn)率實際貼現(xiàn)率是指一定時期內(nèi)的利息與期末累積值的比率．推廣：任何時間段內(nèi)的貼現(xiàn)率dn

注：實際利率大于實際貼現(xiàn)率．實際貼現(xiàn)率和實際利率的一些重要關(guān)系：用實際貼現(xiàn)率表現(xiàn)的利率復(fù)利的貼現(xiàn)函數(shù)為：累積函數(shù)為：將(1)式變形：

例2已知某項投資在一年中能得到的利息金額為336元，而等價的貼現(xiàn)金額為300元，求本金額。設(shè)本金為P單貼現(xiàn)率假設(shè)單貼現(xiàn)率為d,則期末的1元在期初的現(xiàn)值為：結(jié)論:當(dāng)貼現(xiàn)期不足1年時,單貼現(xiàn)產(chǎn)生的現(xiàn)值大于復(fù)貼現(xiàn)產(chǎn)生的現(xiàn)值;當(dāng)貼現(xiàn)期超過1年時,單貼現(xiàn)產(chǎn)生的現(xiàn)值小于復(fù)貼現(xiàn)產(chǎn)生的現(xiàn)值.1、如果用利率計算累積值和現(xiàn)值：2、如果用貼現(xiàn)率計算累積值和現(xiàn)值：六、名義利率與名義貼現(xiàn)率6.1名義利率－－是指在一個度量時期內(nèi)分多次結(jié)轉(zhuǎn)利息的利率。例如：假設(shè)銀行的貸款利率為12％，借款人如果從銀行借得期限為1年，金額為100元貸款，那么一年的利息金額為12元。銀行要求借款人在年末支付12元利息或者要求借款人在每個季度末支付全年的利息的1／4。注：年名義利率必須與一年所包含的小區(qū)間（一個月，一季度等）的個數(shù)相聯(lián)系，否則無意義。例如：假設(shè)一筆貸款的年名義利率為6％，每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息，試計算年實際利率。注：由名義利率表示的實際利率：注：由實際利率表示的名義利率：結(jié)論:在年名義利率一定的情況下,每年結(jié)轉(zhuǎn)利息的次數(shù)越多,年實際利率越大.6.2名義貼現(xiàn)率－－度量的是一個小區(qū)間內(nèi)（不足一個度量時期）的實際貼現(xiàn)率。例如：假設(shè)年名義貼現(xiàn)率為6％，每月預(yù)收一次貼現(xiàn)值，試計算年貼現(xiàn)率。注：在應(yīng)用年名義貼現(xiàn)率的概念時，必須說明多長時間貼現(xiàn)一次，否則無意義。注：由年名義貼現(xiàn)率表示的年實際貼現(xiàn)率：注：由年實際貼現(xiàn)率表示的年名義貼現(xiàn)率：6.3名義貼現(xiàn)率與名義利率的關(guān)系1、由名義利率計算的年末累積值：2、由名義貼現(xiàn)率計算的年末累積值：注：若令m=1,則名義利率即為實際利率;若令n=1,則名義貼現(xiàn)率即為實際貼現(xiàn)率。結(jié)論:當(dāng)名義利率和名義貼現(xiàn)率等價時，名義利率總大于名義貼現(xiàn)率.七、利息力注：利息力是連續(xù)復(fù)利的利率。注:利息力也是指一定時間期內(nèi)利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)趨于無窮大時的名義利率。

例1求單利（復(fù)利）在時刻t的利息力。結(jié)論:單利的利息力關(guān)于時間為遞減函數(shù)；復(fù)利的利息力關(guān)于時間為常值函數(shù)。利息力與累積函數(shù)的關(guān)系（兩端從0到t積分）（兩端從0到n積分）常數(shù)利息力

注：當(dāng)一個時期內(nèi)的平均利息強(qiáng)度為常數(shù)時，不一定能保證在每個時點上的利息強(qiáng)度也為常數(shù)。貼現(xiàn)力

注：貼現(xiàn)力即為貼現(xiàn)函數(shù)的單位變化律

結(jié)論:利息力和貼現(xiàn)力相等。利息問題求解價值等式-----一般的，要衡量在多個時刻的總價值時，總是先選取一個比較日期，然后分別將各次付款積累或貼現(xiàn)到比較日期，得到的和就是總價值。有上述過程所得到的等式叫做“價值等式”。與利息計算有關(guān)的量主要有四個：1）原始投入的資本，及本金2）投資時期3）利率4）在投資期末的累積值未知利率問題常用方法：1.解析法2.線性插值法（迭代法）解析法

例1某人投資4000元,在3年后積累到5700元,問每季度計息的年名義利率是多少？

例2已知兩年后的2000元和四年后的3000元的現(xiàn)值之和為4000元，計算年利率？線性插值法

例1期初的2000元本金經(jīng)過2年3個月之后的累積值為2500元，試確定這筆投資的收益率。迭代法－多次線性插值

例2某投資者在期初投資2000元，2年后又投資3000元，到第5年末的累積值為7000元，假設(shè)該項投資每半年結(jié)轉(zhuǎn)一次利息，試計算名義利率。未知時間問題

例1期初的2000元，按照每年結(jié)轉(zhuǎn)4次利息的年名義利率5％投資，試確定經(jīng)過多長時間可以得到4000元？問題：當(dāng)實際利率給定時，要本金翻番，需要什么條件？

1元本金經(jīng)過多少時間可以得到2元的累積值？注:該公式稱為72”定律”。利率（％）72定律準(zhǔn)確值41817.67514.414.2161211.9710.2910.24899.01107.27.271266.121844.19

使存款翻倍的時間長度

注：在某些情況下，可能需要將幾次不同時期的付款一次付清，但希望保持總的付款金額不變，這時就需要確定一次付清的時間。

例如：一筆貸款，按原來的還款計劃，第一年末償還1000元，第二年末再償還3000元即可，貸款年利率5％，如果借款人希望一次性支付4000元還清貸款，他應(yīng)該在何時償還？做近似計算：注：近似值大于精確值精確值

例：一筆貸款，按原來的還款計劃，第一年末償還2000元，第二年末在償還3000元，第四年末再償還3000元即可，貸款年利率5％，如果借款人希望一次性支付8000元還清貸款，他應(yīng)該在何時償還？近似值大于精確值提前支取的處罰

兩年定期存款的年利率為10％，若儲戶在第一年底要提前取出這筆貸款，則利率肯定要低于10％，這就是一種處罰手段。

例1

活期儲蓄方式如下：年利率7％，在每三年底（如果存款未提前支?。ⅹ剟钣囝~的2％試對以下三個取款時刻計算實際的年利率：1）第二年底；2）第三年底；3）第四年底1）第二年底年實際利率為7％2）第三年底3）第四年底

例2

某人需要5萬元的一年期貸款，市場中現(xiàn)有兩種可能的融資機(jī)會：

A）一年期貸款年利率5％

B）利率小于5％，但最低貸款額度為10萬元如果一年期可能的投資利率為3％，問：要使兩種方式等價，方式B的最大可接受利率為多少？設(shè)i為方式B的最大可接受利率。

結(jié)論：如果B的利率小于4％，則選擇B；如果B的利率大于4％，則選擇A投資期的確定就國際金融領(lǐng)域來說,目前使用的方法主要有三種。

1、嚴(yán)格單利方法嚴(yán)格按日歷計算天數(shù)，并將具體年份的日歷天數(shù)作為一年的天數(shù)，及基礎(chǔ)天數(shù)，這樣投資期的實際長度為實際投資天數(shù)除以對應(yīng)年份的一年實際總天數(shù)。注：這種方法主要在英國使用，故有時稱為“英國法”，常記為“實際／實際”。

2、常規(guī)單利法把一年中各個月份的天數(shù)都視為30天，而不管各月份實際天數(shù)多少，并將一年的天數(shù)視為360天。

計算任意給定天數(shù)間的日期公式：注：這種方法主要在歐洲的許多國家流行，故有時稱為“大陸法”，常記為“30／360”。

3、銀行家規(guī)則這是一種混合型的算法。把投資期的實際天數(shù)作為投資天數(shù)，但用360天作為一年。記為“實際／360”例1一項投資從美國參加二次世界大戰(zhàn)之日，即1941年12月7日開始，到戰(zhàn)爭結(jié)束之日，即1945年8月8日終止，問一共投資了多少天？要求：（1）按實際／實際計算；（2）按30／360計算。例2若在3月13日存入1000元，到同年的11月27日取出，利率為單利8％，試確定利息金額：（1）按英國法；