連續(xù)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)

?fft?fftt(t),t連續(xù)線性二次最優(yōu)控的現(xiàn)論最優(yōu)控制問題就是在一切可能的控制方案中尋找一個控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)能最優(yōu)地達到預期的目標。隨著航海、航天、導航和控制技術不斷深入研究，系統(tǒng)的最優(yōu)化問題已成為一個重要的問題。本文介紹了最優(yōu)控制的基本原理給定了一個具體的連續(xù)線性二次型控制系統(tǒng)，利用MATLAB軟件對其最優(yōu)控制矩陣進行了求解，通過仿真實驗，設計得到最優(yōu)控制效果比較好，達到了設計的目的。2.1最優(yōu)控制問題設系統(tǒng)狀態(tài)方程為：x(t)(t),t)

（2—1）式中x(t)是n維狀態(tài)向量u(t)是r控制向量n維向量函數(shù)

f(tt

是x(t)、u(t)和t的連續(xù)函數(shù)，且x(t)與t連續(xù)可微u(t)。所謂最優(yōu)控制問題是要尋求最優(yōu)控制函數(shù)得系統(tǒng)狀態(tài)從已知初態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的終態(tài)()，在滿足如下約束條件下：f（1）控制與狀態(tài)的不等式約束

u(tt

（2—2）（2）終端狀態(tài)的等式約束tf

（2—3）使性能指標Jtf

t0

Ftt

（2—4）達到極值。式中

(t

是m維連續(xù)可微的向量函數(shù)m；

Mtf

f

是s連續(xù)可微的向量函數(shù)，ff和

都是x(t)t連續(xù)可tfttftttftfttfttfTtTttfttftttftfttfttfTtTt微向量函數(shù)。2.2最控制的性能指標自動控制的性能指標是衡量系統(tǒng)性能好壞的尺度內(nèi)容與形式取決于最優(yōu)控制所要完成的任務，不同的控制問題應取不同的性能指標，其基本類型如下：（1）積分型性能指標

u(t),t

（2—5）表示在整個控制過程中，狀態(tài)x(t)控制u(t)應達到某些要求。例如：①最小時間控制取

Fu(t

=1則

dt

（2—6）②最小燃料消耗控制取

ut),t則

t

（2—7）③最小能量控制取

Fu),

(t)則

t

（2—8）④無限時間線性調(diào)節(jié)器取且F(x,ut)

()Qx(t)

u

T

(t)(

其中Q，，均為加權矩陣，則

()Qxt)T

(t)t)dt

（2—9）⑤無限時間線性跟蹤器1J2

0

)Ru(t

（2—）其中，y(t)是系統(tǒng)輸出向量，z(t)是系統(tǒng)希望輸出向量。在性能指標式（2—89）中，被積函數(shù)都是x(t)、y(t)-z(t)tffft?tffft?或u(t)的平方項組成，這種能指標的形式叫做二次型性能指標。（2）末值型性能指標

（2—）表示系統(tǒng)在控制過程結束后要求系統(tǒng)的終端狀態(tài)x()應達到某些要求在實際f工程中例如要求導彈的脫靶量最小機床移動的準確停止等中斷時刻可以固定，也可以自由，視最優(yōu)控制問題的性質(zhì)而定。（3）復合型性能指標Jtut),t0

（2—12）表示對控制過程及控制過程結束后的終端狀態(tài)均有要求是最一般的性能指標形式。2.3最優(yōu)控制問題的求解方法解析法。當性能指標與約束條件為顯式解析表達式是，適用解析法。通常是用求導方法或變分方法求出最優(yōu)控制的必要條件而得到一組方程式或不等式，然后求解這組方程或不等式，最后得到最優(yōu)控制的解析解。數(shù)值計算法。當性能指標比較復雜或不能用變量的顯函數(shù)表示時，可以采用試探法，即直接搜索逐步逼近，經(jīng)過若干次迭代，逐步逼近到最優(yōu)點。（3）梯度法。這是一種解析和數(shù)值計算相結合的方法。2.4線性二次型最優(yōu)控制對于性能指標是二次型函數(shù)的線性系統(tǒng)叫做線性二次型最優(yōu)控制性二次型最優(yōu)控制方法的對象是以狀態(tài)空間表達時給出的線性系統(tǒng)性能指標是對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)二次型問題就是在線性系統(tǒng)的約束條件下選擇控制輸入使得二次型目標函數(shù)達到最小文主要介紹連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制。設線性連續(xù)訂場系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x(t)Axt)t),

（2—）式中，x(t)是n維狀態(tài)向量；u(t)r維控制向量，且不受約束；為n×n維常數(shù)矩陣，B為n×r維常數(shù)矩陣。tf?tf??系統(tǒng)的性能指標為：

TQxTt

（2—14）式中端時間無限為n×n維數(shù)矩陣為r×r常數(shù)矩陣若下列條件之一滿足：

T

。（10,QQ

T

陣對A，B}完全可控；（2T,陣對{A，B}完全可控，陣對{A，D}完全可觀DDT，D為任意矩陣，則有最優(yōu)反饋矩陣：K

B

T

P

（2—15）和唯一的最優(yōu)控制：u*()tTPxt

（2—16）以及最優(yōu)性能指標：*

T(0)Px(0)

（2—17）式中，P是常值正定矩陣，它是以下里卡提代數(shù)方程的唯一解：PAATPBRTPQ閉環(huán)系統(tǒng)：

（2—18）x(t)ABRT(t(0)x是漸近穩(wěn)定的，其解為最優(yōu)軌線*(t)。2.5連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制實例已知系統(tǒng)動態(tài)方程：

（2—19）

01

0

x00y0系統(tǒng)結構如圖21所示。(())圖2—1系統(tǒng)結構圖由結構圖有系統(tǒng)的控制信號：krxkxrkkxkrKx2231112231式中反饋增益矩陣K:K1k2k系統(tǒng)性能指標：J

xQxdt0其Q

，陣K是J最小并對其閉環(huán)系統(tǒng)進行單位階躍給定響應的仿真。下面是該題目的MATLAB程序及運行結果：>>a=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];>>c=[100];d=[0];Q=[100000;010;001];R=[1];>>K=lqr(a,b,Q,R)K=26.187012.61891.8891>>k1=K(1);ac=a-b*K;bc=b*k1bc=0026.1870>>cc=c;dc=d;>>step(ac,bc,cc,dc)得到閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應的仿真曲線如圖—2所示。圖2—2閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應曲線經(jīng)狀態(tài)最優(yōu)反饋后環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應曲線略微超調(diào)后立即單調(diào)衰減，這樣的仿真曲線是很理想的，確實反映了最優(yōu)控制的效果。若本題要求采用輸出反饋，即u(t)()使性能指標為：J

0

yT

T

t其中計算最優(yōu)反饋矩陣

K

0Q10Rk其閉環(huán)系統(tǒng)進行單位階躍給定響應的仿真。此時該題目的MATLAB程序及運行結果：>>a=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];>>c=[100];d=[0];Q=diag([1000]);R=[1];>>K=lqry(a,b,c,d,Q,R)K=26.187012.48781.8087>>k1=K(1);ac=a-b*K;bc=b*k1;>>cc=c;dc=d;>>step(ac,bc,cc,dc)得到閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應的仿真曲線如圖—3所示。圖2—3閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應曲線對比圖2—2和圖2—3