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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.2.閱讀如圖的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項和為,若,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.254.定義兩種運算“★”與“◆”,對任意,滿足下列運算性質(zhì):①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.5.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個向量,它的長度,若,,則()A. B.C.6 D.6.已知雙曲線的右焦點為F,過右頂點A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點,MF的中點恰好在雙曲線C上,則C的離心率為()A. B. C. D.7.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別,在五者之間,有一種“相生”的關(guān)系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個,這二者具有相生關(guān)系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.88.函數(shù)圖象的大致形狀是()A. B.C. D.9.已知函數(shù),其中,若恒成立,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.10.甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.11.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.12.設(shè)雙曲線的右頂點為,右焦點為,過點作平行的一條漸近線的直線與交于點,則的面積為()A. B. C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,,的夾角為30°,,則_________.14.已知集合,,則_________.15.如圖所示的流程圖中,輸出的值為______.16.已知集合,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若為的中點,求證:平面;(2)若,求四棱錐的體積.18.(12分)如圖:在中,,,.(1)求角;(2)設(shè)為的中點,求中線的長.19.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,面.(1)在線段上是否存在點,使面,說明理由;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點,求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,證明:21.(12分)已知拋物線:,點為拋物線的焦點,焦點到直線的距離為,焦點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,且.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若軸上存在點,過點的直線與拋物線相交于、兩點,且為定值,求點的坐標(biāo).22.(10分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知的面積為.(1)求;(2)若,,求的周長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項.【詳解】.設(shè)直線與相切于點,斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數(shù)得,化簡得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.2.C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,計算前幾次的運算規(guī)律,得出運算的周期性,確定跳出循環(huán)時的n的值,進(jìn)而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿足判斷條件;第2次循環(huán),,滿足判斷條件;第3次循環(huán),,滿足判斷條件;可得的值滿足以3項為周期的計算規(guī)律,所以當(dāng)時,跳出循環(huán),此時和時的值對應(yīng)的相同,即.故選:C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題,其中解答中認(rèn)真審題,得出程序運行時的計算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力.3.D【解析】
由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項可求得首項,即可求出前n項和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長,且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項和.故的最大值為.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用,考查求前n項和的最值問題,同時還考查了余弦定理的應(yīng)用.4.B【解析】
根據(jù)新運算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項.【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.【點睛】本題考查定義新運算,關(guān)鍵在于理解,運用新定義進(jìn)行求值,屬于中檔題.5.D【解析】
先根據(jù)向量坐標(biāo)運算求出和,進(jìn)而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標(biāo)運算,引入新定義,屬于簡單題目.6.A【解析】
設(shè),則MF的中點坐標(biāo)為,代入雙曲線的方程可得的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,求出的值,即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點為,右焦點為,M所在直線為,不妨設(shè),∴MF的中點坐標(biāo)為.代入方程可得,∴,∴,∴(負(fù)值舍去).故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意構(gòu)造的齊次方程.7.B【解析】
利用列舉法,結(jié)合古典概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個,所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
判斷函數(shù)的奇偶性,可排除A、C,再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小,即可得出答案.【詳解】解:因為,所以,所以函數(shù)是奇函數(shù),可排除A、C;又當(dāng),,可排除D;故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像,屬于中檔題.9.A【解析】
,從而可得,,再解不等式即可.【詳解】由已知,,所以,,由,解得,.故選:A.【點睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,涉及到恒成立問題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.10.B【解析】
將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選:B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.11.B【解析】
先考慮奇偶性,再考慮特殊值,用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù),排除C,D;,排除A.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷,屬于??碱}.12.A【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點、右焦點的坐標(biāo),再求出過點與的一條漸近線的平行的直線方程,通過解方程組求出點的坐標(biāo),最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中:,因此右頂點的坐標(biāo)為,右焦點的坐標(biāo)為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點作平行的一條漸近線的直線與交于點,所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點的坐標(biāo)是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
由求出,代入,進(jìn)行數(shù)量積的運算即得.【詳解】,存在實數(shù),使得.不共線,.,,,的夾角為30°,.故答案為:1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)交集的定義即可寫出答案?!驹斀狻浚?,故填【點睛】本題考查集合的交集,需熟練掌握集合交集的定義,屬于基礎(chǔ)題。15.4【解析】
根據(jù)流程圖依次運行直到,結(jié)束循環(huán),輸出n,得出結(jié)果.【詳解】由題:,,,結(jié)束循環(huán),輸出.故答案為:4【點睛】此題考查根據(jù)程序框圖運行結(jié)果求輸出值,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語句.16.【解析】
利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)【解析】
(1)設(shè)EC與DF交于點N,連結(jié)MN,由中位線定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中點為G,連結(jié)BG,EG,則可證四邊形ABGD是矩形,由面面垂直的性質(zhì)得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,從而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入體積公式即可計算出體積.【詳解】(1)證明:設(shè)與交于點,連接,在矩形中,點為中點,∵為的中點,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中點為,連接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的長即為四棱錐的高,在梯形中,,∴四邊形是平行四邊形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解,注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法.①割補法:求一些不規(guī)則幾何體的體積時,常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.②等積法:等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三棱錐的高時,這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高,而通過直接計算得到高的數(shù)值.18.(1);(2)【解析】
(1)通過求出的值,利用正弦定理求出即可得角;(2)根據(jù)求出的值,由正弦定理求出邊,最后在中由余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】(1)∵,∴.由正弦定理,即.得,∵,∴為鈍角,為銳角,故.(2)∵,∴.由正弦定理得,即得.在中由余弦定理得:,∴.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查三角函數(shù)知識的運用,屬于中檔題.19.(1)存在;詳見解析(2)【解析】
(1)利用面面平行的性質(zhì)定理可得,為上靠近點的三等分點,中點,證明平面平面即得;(2)過作交于,可得兩兩垂直,以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出長,寫出各點坐標(biāo),用向量法求二面角.【詳解】解:(1)當(dāng)為上靠近點的三等分點時,滿足面.證明如下,取中點,連結(jié).即易得所以面面,即面.(2)過作交于面,兩兩垂直,以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)面法向量,則,即取同理可得面的法向量綜上可知銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中的存探索性命題,考查用空間向量法求二面角.線面平行問題可通過面面平行解決,一定要掌握:立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉(zhuǎn)化、相互依存的.求空間角一般是建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求空間角.20.(1)遞減區(qū)間為(-1,0),遞增區(qū)間為(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)解析式,先求得導(dǎo)函數(shù),由是函數(shù)的極值點可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域,并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時,.代入函數(shù)解析式放縮為,代入證明的不等式可化為,構(gòu)造函數(shù),并求得,由函數(shù)單調(diào)性及零點存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函數(shù)的最小值,由對數(shù)式變形化簡可證明,即成立,原不等式得證.【詳解】(1)函數(shù)可求得,則解得所以,定義域為,在單調(diào)遞增,而,∴當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,此時是函數(shù)的極小值點,的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為(2)證明:當(dāng)時,,因此要證當(dāng)時,,只需證明,即令,則,在是單調(diào)遞增,而,∴存在唯一的,使得,當(dāng),單調(diào)遞減,當(dāng),單調(diào)遞增,因此當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,,,故,從而,即,結(jié)論成立.【點睛】本題考
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