2022屆四川省仁壽縣城北教學(xué)點(diǎn)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.102.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.3.在中,在邊上滿(mǎn)足,為的中點(diǎn),則().A. B. C. D.4.盒子中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)相同的球,從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球,則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.5.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.6.設(shè)則以線(xiàn)段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.7.已知集合,則()A. B.C. D.8.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件9.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中,點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),則()A. B. C. D.10.已知中內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.11.下列不等式成立的是()A. B. C. D.12.如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng).C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)D.去年同期河南省的GDP總量不超過(guò)4000億元.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),若在上的最大值為,則________.14.定義,已知,,若恰好有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15.假設(shè)10公里長(zhǎng)跑,甲跑出優(yōu)秀的概率為,乙跑出優(yōu)秀的概率為,丙跑出優(yōu)秀的概率為,則甲、乙、丙三人同時(shí)參加10公里長(zhǎng)跑,剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為_(kāi)_______.16.在中,若,則的范圍為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:18.(12分)已知函數(shù),(1)若,求的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn),,若,求的最小值.19.(12分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),函數(shù).(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若時(shí),對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.21.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程;(2)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意恒成立.22.(10分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,所以,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.2.C【解析】

,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.3.B【解析】

由,可得,,再將代入即可.【詳解】因?yàn)?,所以,?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.4.B【解析】

由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.5.B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類(lèi)題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無(wú)路可循.解答這類(lèi)題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.6.A【解析】

計(jì)算的中點(diǎn)坐標(biāo)為,圓半徑為,得到圓方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7.C【解析】

由題意和交集的運(yùn)算直接求出.【詳解】∵集合,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算時(shí),常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.8.B【解析】

先求出滿(mǎn)足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.9.C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理,用來(lái)表示,然后利用數(shù)量積公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),所以又所以則故選:C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細(xì)心觀(guān)察,屬基礎(chǔ)題.10.A【解析】

由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.11.D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于,,,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞減,,錯(cuò)誤;對(duì)于,,,,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞增,,正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題;關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.12.C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng):與去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長(zhǎng),所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng),故B正確;對(duì)于C選項(xiàng):2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是:江蘇、山東、浙江、河南、遼寧,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,均居同一位的省有2個(gè),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng):去年同期河南省的GDP總量,故D正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了圖表分析,學(xué)生的分析能力,推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由在上,可得在上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為,即可求出參數(shù)的值.【詳解】解:定義域?yàn)?,在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

根據(jù)題意,分類(lèi)討論求解,當(dāng)時(shí),根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無(wú)零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,再分當(dāng),兩種情況討論求解.【詳解】由題意得:當(dāng)時(shí),在軸上方,且為增函數(shù),無(wú)零點(diǎn),至多有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,如圖所示:當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,解得;當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,令,,所以在是減函數(shù),又,要使,則須,所以.綜上:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,還考查了分類(lèi)討論的思想和運(yùn)算求解的能力,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬于中檔題.15.【解析】

分跑出優(yōu)秀的人為:甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況:其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類(lèi)方法求解事件概率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

借助正切的和角公式可求得,即則通過(guò)降冪擴(kuò)角公式和輔助角公式可化簡(jiǎn),由,借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】,所以,.因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn),重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解;(2)結(jié)合(1)可得,令,求導(dǎo)后證明其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,結(jié)合,即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即可得證.【詳解】(1)對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立,令,,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;有最大值,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時(shí),即,,,令,則,令,則,在上是增函數(shù),又,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,即,.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.18.(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;極小值,無(wú)極大值;(2)【解析】

(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),解不等式,即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而得到函數(shù)的極值;(2)由題意可得,,求出的表達(dá)式,,求出h(t)的最小值即可.【詳解】(1)將代入中,得到,求導(dǎo),得到,結(jié)合,當(dāng)?shù)玫剑涸鰠^(qū)間為,當(dāng),得減區(qū)間為且在時(shí)有極小值,無(wú)極大值.(2)將解析式代入,得,求導(dǎo)得到,令,得到,,,,,,,,因?yàn)?,所以設(shè),令,則所以在單調(diào)遞減,又因?yàn)樗?所以或又因?yàn)?,所以所?所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的極值的意義,考查轉(zhuǎn)化思想與減元意識(shí),是一道綜合題.19.(1);(2)【解析】

(1)零點(diǎn)分段解不等式即可(2)等價(jià)于,由,得不等式即可求解【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得.綜上可知,原不等式的解集為.(2).存在使得成立,等價(jià)于.又因?yàn)?,所以,?解得,結(jié)合,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,考查不等式恒成立及最值,考查轉(zhuǎn)化思想,是中檔題20.(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意得到的解析式和定義域,求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性.(Ⅱ)分析題意可得對(duì)任意,恒成立,構(gòu)造函數(shù),則有對(duì)任意,恒成立,然后通過(guò)求函數(shù)的最值可得所求.試題解析:(I)由題意得,,∴.當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,解得;令,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(II)由題意知.,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.不妨設(shè),又函數(shù)單調(diào)遞減,所以原問(wèn)題等價(jià)于:當(dāng)時(shí),對(duì)任意,不等式恒成立,即對(duì)任意,恒成立.記,由題意得在上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意,恒成立.令,,則在上恒成立.故,而在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上的最大值為.由,解得.故實(shí)數(shù)的最小值為.21.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)因?yàn)?,可得,即可求得答案;?)要證對(duì)任意恒成立,即證對(duì)任意恒成立.設(shè),,當(dāng)時(shí),,即可求得答案.【詳解】(1),,,函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為.(2)要證對(duì)任意恒成立.即證對(duì)任意恒成立.設(shè),,當(dāng)時(shí),,,令,解得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,,當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,即當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和求證不等式恒成立問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握由導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求證不等式恒成立的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.22.(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)要證明線(xiàn)面平行,需先證明線(xiàn)線(xiàn)平行,所以連接,交于點(diǎn)M,連接ME,證明;(Ⅱ)由題意可知點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離,根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接,交于點(diǎn)M,連

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