數(shù)字控制器設(shè)計(jì)

第二章數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)2.1離散系統(tǒng)的信號(hào)變換2.2差分方程和傳遞函數(shù)2.3離散系統(tǒng)的性能指標(biāo)2.1離散系統(tǒng)的信號(hào)變換爐窯熱電偶輸入A/D計(jì)

外 閥門 D/A機(jī)操作臺(tái)算設(shè)輸出計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的信號(hào)(多種信號(hào)的混合）●模擬信號(hào)：時(shí)間和幅值上都連續(xù)

●采樣信號(hào)：時(shí)間上離散，幅值上連續(xù)

●量化信號(hào)：時(shí)間上連續(xù)，幅值上離散

●數(shù)字信號(hào)：時(shí)間上和幅值上都離散一、信號(hào)的變換在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，信號(hào)的變換主要由A/D和D/A轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)。由傳感器采集的模擬量經(jīng)過(guò)放大、濾波等處理送到A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為數(shù)字量。計(jì)算機(jī)輸出的控制量是數(shù)字量，需經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為模擬量，控制執(zhí)行器的執(zhí)行。

A/D轉(zhuǎn)換：分為采樣保持、量化和編碼等步驟。模擬信號(hào)S/H量化 編碼 數(shù)字信號(hào)

（一）采樣保持

1、采樣：將連續(xù)信號(hào)變換成脈沖序列的過(guò)程 y(t)y(kt)

脈沖采樣器：當(dāng)連續(xù)信號(hào)經(jīng)脈沖采樣器采樣，輸出系列的脈沖序列：

式中為單位脈沖函數(shù)K不能用數(shù)學(xué)公式描述（1）令：=

則：y*(t)=y(t)

=y(t)

=

上述采樣過(guò)程可視為y(t)對(duì)脈沖序列的調(diào)制過(guò)程。y(t) y*(t)脈沖幅值調(diào)制y(t)δT(t)y*(t)（2）式(1)(2)稱采樣信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式。

2、采樣周期的確定

根據(jù)Shannon定理，ω≧2ωmax

。理論計(jì)算采樣周期太繁瑣，工程上大都采用經(jīng)驗(yàn)采樣周期。

控制量 流量 壓力液位濕度成分采樣周期（秒）1-23-56-810-1515-203、信號(hào)的保持采樣信號(hào)僅在采樣時(shí)刻有輸出值，在兩次采樣的中間時(shí)刻信號(hào)需要保持。保持器根據(jù)兩次采樣的之間的信號(hào)用常數(shù)、線性函數(shù)和拋物線等進(jìn)行逼近。保持器分為零階、一階和高階。

h0(t)y(t)

（1）零階保持器h0(t)

將當(dāng)前時(shí)刻的采樣值Y(KT）保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻,形成高度為Y(KT)、寬度為T的矩形。

h0(t)可分解為兩個(gè)函數(shù)之差：

h0(t)=u(t)–u(t-T)

經(jīng)拉氏變換零階保持器的傳 遞函數(shù)為

H0(S)=

u(t)u(t-T)當(dāng)采樣間隔足夠小，零階保持器復(fù)現(xiàn)原信號(hào)的效果相當(dāng)好。零階保持器具有低通和相位滯后的特性（2）一階保持器用線性函數(shù)逼近兩次采樣的之間的信號(hào)為一階保持器。可推導(dǎo)出一階保持器的傳遞函數(shù)為：

根據(jù)幅頻特性和相頻特性分析，一階保持器相位滯后大、幅頻特性高，對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性不利。二階以上的保持器相當(dāng)復(fù)雜并且不容易實(shí)現(xiàn)，故很少采用。

（二）量化將采樣時(shí)刻的信號(hào)按最小量化單位取整，稱為量化。

（三）編碼將量化后的信號(hào)變換為二進(jìn)制碼形式，即數(shù)字量。編碼只是將量化后的信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字量，屬于無(wú)誤差的等效轉(zhuǎn)化，編碼后的數(shù)字量可由計(jì)算機(jī)識(shí)別并處理。

D/A轉(zhuǎn)換

D/A轉(zhuǎn)換是將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)間連續(xù)的模擬信號(hào)，分為解碼和保持2個(gè)步驟。

解碼：數(shù)字信號(hào)→模擬脈沖信號(hào)保持：使模擬脈沖信號(hào)在時(shí)間上連續(xù)，當(dāng)T很小時(shí)，近似為模擬量。數(shù)字信號(hào)解碼保持模擬信號(hào)（四）計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中信號(hào)形式的分類K量化編碼CPU解碼保持檢測(cè) 被控對(duì)象將上述過(guò)程匯總，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可歸納為上圖形式。系統(tǒng)中各點(diǎn)的信號(hào)如P14圖2-7所示。

實(shí)際應(yīng)用時(shí)按下面要求簡(jiǎn)化上述系統(tǒng)：

A/D和D/A中，主要是采樣、量化和保持。編碼和解碼在合理時(shí)刻看成無(wú)誤差等效變換，可略去。量化中，當(dāng)量化單位很小時(shí)，誤差小，對(duì)系統(tǒng)影響小，可不考慮。保持會(huì)影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，必須考慮。

二、Z變換Z變換是分析離散系統(tǒng)的重要工具，在離散系統(tǒng)中由Z變換導(dǎo)出Z傳遞函數(shù)、再分析線性離散系統(tǒng)的特性。（一）Z變換定義由采樣信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式：

y*(t)= 對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換

L[y*(t)]=Y*(S)=

= =

設(shè)：上述過(guò)程可記為:Y(Z)=Z[y(kt)]

=（二）S平面與Z平面的映射關(guān)系1、S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。2、S平面的原點(diǎn)映射到Z平面的單位圓Z=1點(diǎn)，S平面的無(wú)窮大映射到Z平面的單位圓Z=-1點(diǎn)，映射是唯一的。3、Z平面的映射到S平面時(shí)為多值變換，即Z平面的一個(gè)點(diǎn)映射到S平面有無(wú)窮多個(gè)數(shù)值對(duì)應(yīng)。運(yùn)用時(shí)通常取主頻帶。 (三)常用函數(shù)的Z變換

f(t) F(s) F(z)

δ(t) 111(t) tt2/2

(三)常用函數(shù)的Z變換f(t) F(s) F(z)

（四）Z反變換已知Y(Z)求Y(KT)稱Z反變換,記為:Y(KT)=Z–1[Y(Z)]

在離散系統(tǒng)中Y(Z)經(jīng)Z反變換求得的Y(KT)僅是連續(xù)時(shí)間函數(shù)在各采樣時(shí)刻的值。反變換方法有：長(zhǎng)除法，部分分式法，留數(shù)計(jì)算法。

1、長(zhǎng)除法 適用于Y(Z)無(wú)理式,用分子直接除以分母,得到Z的降冪級(jí)數(shù)由Z變換定義比較上面兩式可得:y(0)=y0，y(T)=y1，…，y(kT)=yk，…由此推出采樣函數(shù)

f(t)=y0+y1δ(t-T)+…+ykδ(t-kT)+…優(yōu)點(diǎn):可方便的用計(jì)算機(jī)編程來(lái)實(shí)現(xiàn),但得不到f(kt)的通式。

2、部分分式法 適用于Y(Z)為有理式查Z反變換表可得到Y(jié)(KT)（1）無(wú)重根例1：已知 ，求Z反變換法一：解出A=-1，B=1查Z變換表：法二：（2）有重根例2：已知，求Z反變換 求出：A=1，B=-1，C=1

得到 查表對(duì)上述各分式進(jìn)行Z反變換得到y(tǒng)(KT)=2K-1+K法一：法2：重根中低次項(xiàng)的處理：

3、留數(shù)法當(dāng)上述兩種方法都不適用時(shí)可采用此方法。留數(shù)計(jì)算法又稱Z反變換的公式法，無(wú)理式和有理式都適用。

其中Γ為包圍原點(diǎn)和被積式全部極點(diǎn)的封閉曲線,根據(jù)留數(shù)定理可表示為:式中n為極點(diǎn)數(shù)，Pi為I個(gè)極點(diǎn)，Res表示留數(shù)。不同極點(diǎn)的留數(shù)算法

有單極點(diǎn)

例：，求解：由題可知

有m階重極點(diǎn)和其它單極點(diǎn)例；求的Z反變換解：

3.2差分方程和傳遞函數(shù)

一、差分方程線性離散系統(tǒng)的輸入和輸出間的關(guān)系可用線性常系數(shù)差分方程描述。

y(KT)=（一）差分方程可以從微分方程近似推出,方法是:1、用Y(KT),R(KT)代替Y(t)和R(t)2、用差分代替微分（二）差分方程的解法線性離散系統(tǒng)差分方程的解法：迭代法、古典法、Z變換法

1、迭代法已知差分方程和輸入序列、輸入序列的初始值，可用迭代法逐步計(jì)算出輸出序列。迭代法用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)容易，但不能得到輸出的解析式。

2、古典法與微分方程類似，差分方程的解也分為齊次方程的通解和非齊次方程的特解兩部分，可按照求解微分方程的方式求出。

3、Z變換法在離散系統(tǒng)中用Z變換法求解差分方程，使求解運(yùn)算變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算，可簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析。用Z變換法求解差分方程的步驟：1、對(duì)差分方程作Z變換法（用Z變換的超前和滯后定理）2、利用初始條件求出y(0),y(T),…代入Z變換式3、求出：4、Z反變換法，求出差分方程的解Y（KT）例：求解差分方程y(KT-2T)-5y(KT-T)+6y(KT)=r(KT),若已知系統(tǒng)輸入r(KT)=1K≧0,初始條件為0解：對(duì)差分方程作Z變換

Z[r(KT)]=1/(1－Z-1)整理后

寫成分部形式,求出待定系數(shù)：A=1/2B=1C=－1/2

Z反變換:

練習(xí)1：1、用部分分式法求Y(Z)的反變換。（1）已知 ，a為常數(shù)（2）已知：2、求解差分方程：y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，初始條件為：y(0)=0，y(1)=1

二、Z傳遞函數(shù)（脈沖傳遞函數(shù)）

1、Z傳遞函數(shù)定義

G(Z)=Z[Y(KT)]/Z[r(KT)]=Y(Z)/R(Z)R(Z)是輸入信號(hào)r(t)采樣后r(KT)的Z變換,Y(Z)是系統(tǒng)輸出y(t)采樣后Y(KT)的Z變換。離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)反映了系統(tǒng)的固有特性,它僅取決于描述離散系統(tǒng)的差分方程。若已知R(Z)和G(Z)，系統(tǒng)的輸出脈沖序列:

2、Z傳遞函數(shù)的求法（1）可由連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(S)求G(Z)●求G(S)的拉氏反變換得到h(t)=L-1[G(S)]●Y按選定的周期T對(duì)h(t)采樣，得到單位脈沖響應(yīng)序列h(KT)●G(Z)=Z[h(KT)]

例：連續(xù)環(huán)節(jié)G(S)=K0/(S+a)，求G(Z)

解：h(t)=L-1Y[G(Z)]=K0e-ath(KT)=K0e-aKT

G(Z)=K0Z/(Z－e-aT)（2）由差分方程求Z傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)的差分方程：

y(KT)+a1y(KT-T)+…any(KT-nT) =b0r(KT)+b1r(KT-T)+…+bmr(KT-mT)在初始條件為零時(shí)對(duì)上式作Ｚ變換，得到：

y(Ｚ)+a1Z-1Y(Ｚ)+…anZ-nY(Z) =b0R(Z)+b1Z-1R(Z)+…+bmZ-mR(Z)

求出G(Z)=Y(Z)/R(Z) =(b0+b1Z-1+…+bmZ-m)/(1+a1Z-1…+anZ-n)

3、開(kāi)環(huán)的Z傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中有串聯(lián)、并聯(lián)和帶保持器三種（1）串聯(lián)

●有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)G(Z)=G1(Z)G2(Z)

系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)為兩個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積●無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)G(Z)=Z[G1(S)G2(S)]

系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)為兩個(gè)環(huán)節(jié)的乘積的Z變換（2）并聯(lián)G(Z)=Z[G1(Z)+G2(Z)]=G1(Z)+G2(Z)

系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)為兩個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的和（3）帶有零階保持器例:帶有零階保持器的系統(tǒng),若G(S)=a/(S+a)，傳遞函數(shù)解:

4、閉環(huán)Z傳遞函數(shù)GC(Z)和誤差的傳遞函數(shù)Ge(Z)○×r(t)R(Z)E(Z) T Y(Z) D(Z)H0(S)G(S)y(t)

T

T

THG(Z)如圖：D(Z)為數(shù)字控制器,HG(Z)為帶有零階保持器Z傳遞函數(shù)，R(Z)輸入的Z變換，Y(Z)為輸出的Z變換，E(Z)為誤差的Z變換，U(Z)為控制量的Z變換。求閉環(huán)Z傳遞函數(shù)GC(Z)

的步驟如下：（1）求帶有零階保持器連續(xù)對(duì)象的Z傳遞函數(shù)HG(Z)（2）寫出前向通道上Y(Z)與E(Z)的關(guān)系式

Y(Z)=D(Z)·HG(Z)·E(Z)（3）寫出閉環(huán)回路中E(Z)和R(Z)的關(guān)系式

E(Z)=R(Z)-Y(Z)=R(Z)-D(Z)HG(Z)E(Z)

誤差的傳遞函數(shù)

Ge(z)=E(Z)/R(Z)=（4）閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(Z)

得到：求得閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(Z)

閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(Z)與誤差的傳遞函數(shù)Ge(z)的關(guān)系：得到：幾種典型閉環(huán)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和傳遞關(guān)系G(Z)G(Z)G1(Z)G1(Z)G1(Z)F(Z)F(Z)G2(Z)F(Z)G2(Z)F(Z)G2(Z)F(Z)R(Z) Y(Z)R(Z) Y(Z)

2.3線性離散系統(tǒng)的性能指標(biāo)

線性離散控制系統(tǒng)的性能可用動(dòng)態(tài)特性、穩(wěn)定性、誤差特性和能控性、能觀測(cè)性等指標(biāo)來(lái)衡量。

一、動(dòng)態(tài)特性

1、時(shí)域分析法已知閉環(huán)系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)GC(Z)和輸入的Z變換R(Z)，則用Z反變換可求出輸出響應(yīng)的采樣值Y(KT)。畫出時(shí)域中的輸出響應(yīng)圖形后可直觀的分析其超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間、峰值時(shí)間、震蕩次數(shù)和衰減比等。例：求下圖所示系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)及單位階躍響應(yīng)，設(shè)采樣周期T=1S。求廣義被控對(duì)象Z傳遞函數(shù)（2）求閉環(huán)Z傳遞函數(shù)（3）求輸出的Z變換，由題知（4）求單位階躍響應(yīng)采樣值

可畫出輸出序列的過(guò)渡曲線圖(略）。由圖可看出，超調(diào)量約為40%，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間約為15秒，穩(wěn)態(tài)誤差為0。在離散系統(tǒng)中采樣周期和零階保持器對(duì)系統(tǒng)有較大的影響，當(dāng)采樣周期T較大時(shí)，零階保持器會(huì)產(chǎn)生相位滯后，從而降低了穩(wěn)定程度，增大了超調(diào)量。

2、根軌跡分析法已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的位置，以開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益或其它參數(shù)為變量，求出閉環(huán)極點(diǎn)的分布。

3、頻域特性分析法采用伯特圖（對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖）或奈奎斯特圖（極坐標(biāo)圖）在頻域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行特性分析，由于用計(jì)算機(jī)繪制上述圖形，非常方便，所以得到廣泛應(yīng)用。現(xiàn)都采用MATLAB軟件，在計(jì)算機(jī)繪制根軌跡圖和伯特圖（對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖）或奈奎斯特圖（極坐標(biāo)圖）

，直觀并且便捷。

二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)在給定輸入或外界干擾作用下其過(guò)渡過(guò)程分為以下4類：發(fā)散震蕩、等幅震蕩、衰減震蕩和非周期衰減；控制系統(tǒng)必須滿足衰減震蕩和非周期衰減，才是穩(wěn)定的。判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性有以下方法：（1）Z平面中，極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)系統(tǒng)才穩(wěn)定。（2）Juli穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)特征方程構(gòu)造Juli陣列進(jìn)行穩(wěn)定性判別。（3）Routh穩(wěn)定判據(jù)先進(jìn)行Z-W變換，根據(jù)特征方程構(gòu)造Routh行列表，再對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判別。（一）Z平面中極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響

1、實(shí)軸上的極點(diǎn)

2、脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)根ABCDEFRe

ImA：B：C：D：E：F：3、趨勢(shì)分析看出當(dāng)極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，收斂越快；極點(diǎn)的幅角越大，震蕩頻率越高。A CA1 C1BB1A-A1：B-B1：C-C1：

（二）勞斯判據(jù)在連續(xù)系統(tǒng)中判斷特征方程（多項(xiàng)式）的根是否在S域的左平面，即可知系統(tǒng)是否穩(wěn)定。對(duì)離散系統(tǒng)：由于得到的不是S多項(xiàng)式，不能用直接用勞斯判據(jù)，為解決上述問(wèn)題，引入雙線性變換。

1、雙線性變換

其中

（1）若σ＜0，分子<分母，左半平面→Z單位圓內(nèi)（2）若σ=0，分子=分母虛軸→Z單位圓上（3）若σ＞0，分子>分母右半平面→Z單位圓外

2、勞斯穩(wěn)定判據(jù)在離散系統(tǒng)中的應(yīng)用若已知離散系統(tǒng)的特征方程用雙線性變換

代入展開(kāi)化簡(jiǎn)，其中T為采樣周期，b0、b1、…，bn為常數(shù)例1：已知離散系統(tǒng)的特征方程采樣周期T=1s，用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：雙線性變換，化簡(jiǎn)后代入T

勞斯判據(jù)

S平面右半部有2個(gè)極點(diǎn)，映射到Z平面單位圓外系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例2

離散系統(tǒng)如圖，采樣周期T=1s，確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的增益k。解：

閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程：雙線性變換T帶入勞斯判據(jù)系統(tǒng)若穩(wěn)定，勞斯表中第一列各元素均為正。得到系統(tǒng)增益：0＜K＜2.39

三、離散系統(tǒng)的誤差誤差特性是自動(dòng)控制系統(tǒng)的重要性能指標(biāo)?？刂葡到y(tǒng)在輸入信號(hào)作用下，時(shí)間響應(yīng)的瞬態(tài)分量可以反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)過(guò)渡過(guò)程結(jié)束，輸出將趨于一個(gè)穩(wěn)態(tài)值，即穩(wěn)態(tài)分量。由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不同，輸入信號(hào)不同，同時(shí)由外界干擾的作用，會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值偏離輸入值，產(chǎn)生誤差。穩(wěn)態(tài)誤差反映系統(tǒng)的精度和抗干擾能力。1、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入形式與誤差的關(guān)系

設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，它的誤差Z變換為

是由輸入引起的誤差Z傳遞函數(shù)用長(zhǎng)除法將E(Z)分解

其中的系數(shù)為時(shí)刻的誤差采樣值，可以分析系統(tǒng)在某種輸入形式時(shí)動(dòng)態(tài)特性?？煽吹?，系統(tǒng)的誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，環(huán)節(jié)的參數(shù)和系統(tǒng)的輸入形式有關(guān)。穩(wěn)定誤差是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標(biāo)，用于衡量控制系統(tǒng)精度。穩(wěn)定誤差定義為： 由終值定理，對(duì)單位反饋離散系統(tǒng)

連續(xù)系統(tǒng)中系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差取決與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G0(S)的形式，若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：式中q為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在S平面坐標(biāo)原點(diǎn)上的重極點(diǎn)數(shù)，對(duì)穩(wěn)定誤差有重要影響，q=0、1、2時(shí)系統(tǒng)稱為0、I、II型。