數(shù)學建模對策與決策模型

對策與決策模型對策與決策模型對策與決策是人們生活和工作中經(jīng)常會遇到的擇優(yōu)活動。人們在處理一個問題時，往往會面臨幾種情況，同時又存在幾種可行方案可供選擇，要求根據(jù)自己的行動目的選定一種方案，以期獲得最佳的結(jié)果。有時，人們面臨的問題具有競爭性質(zhì)，如商業(yè)上的競爭、體育中的比賽和軍事行動、政治派別的斗爭等等。這時競爭雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢，使己方獲得最好結(jié)果。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對手做出自己的決擇，此時的決策稱為對策。在有些情況下，如果我們把可能出現(xiàn)的若干種情況也看作是競爭對手可采取的幾種策略，那么也可以把決策問題當作對策問題來求解。對策問題對策問題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。先考察幾個實際例子。

例1

（田忌賽馬）

田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說戰(zhàn)國時期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個等級的馬各一匹進行比賽，每局賭金為一千金。齊王同等級的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友孫臏給他出了一個主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。

例2

（石頭—剪子—布）這是一個大多數(shù)人小時候都玩過的游戲。游戲雙方只能選石頭、剪子、布中的一種，石頭贏剪子，剪子贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時不得分，見下表。表1石頭剪子布石頭01－1剪子－101布1－10例3

（囚犯的困惑）警察同時逮捕了兩人并分開關(guān)押，逮捕的原因是他們持有大量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒有找到充分證據(jù)，希望他們能自己供認，這兩個人都知道：如果他們雙方都不供認，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑18個月；如果雙方都供認偽造了錢幣，將各被判刑3年；如果一方供認另一方不供認，則供認方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判刑7年。將嫌疑犯A、B被判刑的幾種可能情況列表如下：表2嫌疑犯B供認不供認嫌疑犯A供認不供認（3，3）（0，7）（7，0）（1.5，1.5）表中每對數(shù)字表示嫌疑犯A、B被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔心對方供認并希望受到最輕的懲罰，最保險的辦法自然是承認制造了偽幣。一、對策的基本要素（1）局中人。參加決策的各方被稱為決策問題的局中人，一個決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自然作斗爭等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競爭、政治派別間的斗爭）。局中人必須要擁用可供其選擇并影響最終結(jié)局的策略，在例3中，局中人是A、B兩名疑犯，警方不是局中人。兩名疑犯最終如何判刑取決于他們各自采取的態(tài)度，警方不能為他們做出選擇。從這些簡單實例中可以看出對策現(xiàn)象中包含的幾個基本要素。（2）策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。對策問題中，對應于每一局中人存在著一個策略集合，而每一策略集合中至少要有兩個策略，否則該局中人可從此對策問題中刪去，因為對他來講，不存在選擇策略的余地。應當注意的是，所謂策略是指在整個競爭過程中對付他方的完整方法，并非指競爭過程中某步所采取的具體局部辦法。例如下棋中的某步只能看作一個完整策略的組成部分，而不能看成一個完整的策略。當然，有時可將它看成一個多階段對策中的子對策。策略集合可以是有限集也可以是無限集。策略集為有限集時稱為有限對策，否則稱為無限對策。

記局中人i的策略集合為Si。當對策問題各方都從各自的策略集合中選定了一個策略后，各方采取的策略全體可用一矢量S表示，稱之為一個純局勢（簡稱局勢）。

例如，若一對策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為SA

={1,…,m}，SB

={1,…,n}。若A選擇策略i而B選策略j，則（i,j）就構(gòu)成此對策的一個純局勢。顯然，SA與SB一共可構(gòu)成m×n個純局勢，它們構(gòu)成表。對策問題的全體純局勢構(gòu)成的集合S稱為此對策問題的局勢集合。

(m,n)

…(m,j)

…(m,2)

(m,1)

m…………………(i,n)

…(i,j)

…(i,2)

(i,1)

i…………………(2,n)

…(2,j)

…(2,2)

(2,1)

2(1,n)

…(1,j)

…(1,2)

(1,1)

1A的策略n…J…21B的策略（3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。對策的結(jié)果用矢量表示，稱之為贏得函數(shù)。贏得函數(shù)F為定義在局勢集合S上的矢值函數(shù)，對于S中的每一純局勢S，F(xiàn)（S）指出了每一局中人在此對策結(jié)果下應贏得（或支付）的值。綜上所述，一個對策模型由局中人、策略集合和贏得函數(shù)三部分組成。記局中人集合為I={1,…,k}，對每一i∈I，有一策略集合Si，當I中每一局中人i選定策略后得一個局勢s；將s代入贏得函數(shù)F，即得一矢量F(s)=(F1(s),…,Fk(s))，其中Fi(s)為在局勢s下局中人i的贏得（或支付）。只討論兩名局中人的對策問題，即兩人對策，其結(jié)果可以推廣到一般的對策模型中去。對于只有兩名局中人的對策問題，其局勢集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。零和對策存在一類特殊的對策問題。在這類對策中，當純局勢確定后，A之所得恰為B之所失，或者A之所失恰為B之所得，即雙方所得之和總為零。在零和對策中，因F1(s)=－F2(s)，只需指出其中一人的贏得值即可，故贏得函數(shù)可用贏得矩陣表示。例如若A有m種策略，B有n種策略，贏得矩陣

表示若A選取策略i而B選取策略j，則A之所得為aij（當aij<0時為支付）。在有些兩人對策的贏得表中，A之所得并非明顯為B之所失，但雙方贏得數(shù)之和為一常數(shù)。例如在表4中，無論A、B怎樣選取策略，雙方贏得總和均為10，此時，若將各人贏得數(shù)減去兩人的平均贏得數(shù)，即可將贏得表化為零和贏得表。表4局中人B123局中人A1(8,2)(1,9)(7,3)2(4,6)(9,1)(3,7)

3(2,8)(6,4)(8,2)4(6,4)(4,6)(6,4)給定一個兩人對策只需給出局中人A、B的策略集合SA、SB及表示雙方贏得值的贏得矩陣R。綜上所述，當遇到零和對策或可轉(zhuǎn)化為零和對策的問題時，R可用通常意義下的矩陣表示，否則R的元素為一兩維矢量。故兩人對策G又可稱為矩陣對策并可簡記成G={SA,SB,R}例4

給定G={SA,SB,R}，其中SA

={1,2,3}，SB

={1,2,3,4}

從R中可以看出，若A希望獲得最大贏利30，需采取策略1，但此時若B取策略4，A非但得不到30，反而會失去22。為了穩(wěn)妥，雙方都應考慮到對方有使自己損失最大的動機，在最壞的可能中爭取最好的結(jié)果。局中人A采取策略1、2、3時，最壞的贏得結(jié)果分別為min{12,－6,30,－22}=－22min{14,2,18,10}=2min{－6,0,－10,16}=－10其中最好的可能為max{－22,2,－10}=2。如果A采取策略2，無論B采取什么策略，A的贏得均不會少于2.B采取各方案的最大損失為max{12,14,－6}=14，max{－6,2,0}=2，max{30,18,－10}=30和max{－22,10,16}=16。當B采取策略2時，其損失不會超過2。注意到在贏得矩陣中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此時，只要對方不改變策略，任一局中人都不可能通過變換策略來增大贏得或減小損失，稱這樣的局勢為對策的一個穩(wěn)定點或穩(wěn)定解，（注：也被稱為鞍點）定義1

對于兩人對策G={SA,SB,R}，若有，則稱G具有穩(wěn)定解，并稱VG為對策G的值。若純局勢（）使得，則稱（）為對策G的鞍點或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與（）相對應的元素

稱為贏得矩陣的鞍點，與分別稱為局中人A與B的最優(yōu)策略。設A方用概率xi選用策略i，B方用概率yj選用策略j，，且雙方每次選用什么策略是隨機的，不能讓對方看出規(guī)律，SA:策略α1,…,αmSB:策略β1,…,βn概率x1,…,xm概率y1,…,yn分別稱SA與SB為A方和B方的混合策略。注：例5A有兩架飛機，B有四個導彈連分別掩護通向目標的四條線路。如飛機沿一條路線進攻，則掩護該線路的導彈連必擊落一架飛機，不過由于重裝導彈時間很長，所以僅僅能擊落一架飛機；如飛機突防進而摧毀目標，A的贏得為1；否則A的贏得為0?，F(xiàn)在需要為A、B雙方選擇最優(yōu)策略。

解：雙方可選擇的策略集分別為A的策略為B的策略為：飛機從不同的路線進入。：飛機從同一條路線進入。：對每一條路線配備一個連。：對兩條路線各配置兩個連。：對一條路線配兩個連，為另條路線各配一個連。：對一條線路配三個連，對另一條路線配一個連。：對一條路線配四個連。由題意得A的贏得矩陣為易求得可知，不存在純策略。若A的最佳策略為（x，1-x）（x是A選擇的概率。）對于A的贏得是對于A的贏得是對于A的贏得是則A的至少贏得為13/41/25/61/2則解得例

某工程按正常速度施工時，若無壞天氣影響可確保在30天內(nèi)按期完工。但根據(jù)天氣預報，15天后天氣肯定變壞。有40%的可能會出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期，在50%的可能會遇到小風暴而使工期推遲15天，另有10%的可能會遇到大風暴而使工期推遲20天。對于可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前緊急加班，在15天內(nèi)完成工程，實施此方案需增加開支18000元。

（2）先按正常速度施工，15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再作決策。如遇到陰雨天氣，則維持正常速度，不必支付額外費用。如遇到小風暴，有兩個備選方案：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費20000元。（ii）采取應急措施。實施此應急措施有三種可能結(jié)果：有50%可能減少誤工期1天，支付應急費用和延期損失費共24000元；有30%可能減少誤工期2天，支付應急費用和延期損失費共18000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應急費用和延期損失費共12000元。風險型決策問題如遇大風暴，也有兩個方案可供選擇：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費50000元。（ii）采取應急措施。實施此應急措施也有三種可能結(jié)果：有70%可能減少誤工期2天，支付應急費及誤工費共54000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應急費及誤工費共46000元；有10%可能減少誤工期4天，支付應急費和誤工費共38000元。根據(jù)上述情況，試作出最佳決策使支付的額外費用最少。解：由于未來的天氣狀態(tài)未知，但各種天氣狀況出現(xiàn)的概率已知，本例是一個風險型決策問題，所謂的額外費用應理解為期望值。

本例要求作多次決策，工程初期應決定是按正常速度施工還是提前緊急加班。如按正常速度施工，則15天后還需根據(jù)天氣狀況再作一次決策，以決定是否采取應急措施，故本例為多階段（兩階段）決策問題。為便于分析和決策，采用決策樹方法。根據(jù)題意，作決策樹如圖。圖中，□表示決策點，從它分出的分枝稱為方案分枝，分枝的數(shù)目就是方案的個數(shù)?！鸨硎緳C會節(jié)點，從它分出的分枝稱為概率分枝，一條概率分枝對應一條自然狀態(tài)并標有相應的發(fā)生概率?！鞣Q為未梢節(jié)點，右邊的數(shù)字表示相應的收益值或損失值。在決策樹上由右向左計算各機會節(jié)點處的期望值，并將結(jié)果