有限元方法與ANSYS應(yīng)用(修改)

2023/2/31有限元方法與ANSYS應(yīng)用

FiniteElementsMethod&ANSYS張陵2023/2/32有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程設(shè)置的相關(guān)背景

工程問題的現(xiàn)代設(shè)計(jì),科學(xué)研究虛擬現(xiàn)實(shí)與計(jì)算仿真近似計(jì)算的“精確逼近”2023/2/33有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程設(shè)置的相關(guān)背景

工程問題的研究對象：

連續(xù)體離散體混合系統(tǒng)/結(jié)構(gòu)

2023/2/34有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程學(xué)習(xí)的目的連續(xù)體：建模與分析方法離散體：建模與分析方法

涉及的先修課程:

材料力學(xué)彈性力學(xué)有限元法

作業(yè):試總結(jié)三門課程解決問題的思路和步驟,指出其異同點(diǎn).(3千字)2023/2/35有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備國內(nèi)外有限元，ANSYS課程學(xué)習(xí)網(wǎng)站國內(nèi)外ANSYS應(yīng)用論壇，專題網(wǎng)站

ANSYS應(yīng)用的各種實(shí)例

ANSYS軟件自備上機(jī)條件自行解決2023/2/36有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程學(xué)習(xí)的條件課件下載:ansysxjtu@163.com密碼:ansysxjtu13課件請勿外傳!!!

作業(yè)提交:ansysxjtu@163.com作業(yè)文件名：學(xué)號(hào)+姓名+第幾次作業(yè)

例如：2013001+西交大+1

2023/2/37有限元方法與ANSYS應(yīng)用★

課程學(xué)習(xí)特點(diǎn)“實(shí)踐出真知”★

課程學(xué)習(xí)要求

基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)與“實(shí)戰(zhàn)”結(jié)合

★

課程學(xué)習(xí)安排上課,上機(jī),設(shè)計(jì)作業(yè)2023/2/38有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程教學(xué)主要內(nèi)容★有限元法分析的基本理論與方法★有限元建模方法及應(yīng)用★

ANSYS軟件系統(tǒng)介紹★

ANSYS軟件系統(tǒng)案例分析相互交叉,相互結(jié)合2023/2/39大型通用有限元軟件ANSYS概述2023/2/310ANSYS公司是由美國匹茲堡大學(xué)力學(xué)系教授、有限元法的權(quán)威、著名力學(xué)專家JohnSwanson博士于1970年創(chuàng)建而發(fā)展起來的，其總部位于美國賓夕法尼亞州的Canonsburg(匹茲堡南部)。目前是世界CAE行業(yè)最大的公司之一。2023/2/311ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、熱、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件。因此,它可應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)、生物醫(yī)學(xué)、橋梁、建筑、電子產(chǎn)品、重型機(jī)械、微機(jī)電系統(tǒng)、運(yùn)動(dòng)器械等工業(yè)領(lǐng)域。12ANSYS的產(chǎn)品家族ANSYS/FLOTRAN?ANSYS/Emag?ANSYS/Structural?ANSYS/MultiphysicsANSYS/LS-DYNA?ANSYS/Mechanical?ANSYS/LinearPlus?ANSYS/Thermal?2023/2/313ANSYS——CAE仿真分析軟件CAE(ComputerAidedEngineering)，工程設(shè)計(jì)中的計(jì)算機(jī)輔助工程.指用計(jì)算機(jī)輔助求解分析復(fù)雜工程和產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，以及優(yōu)化結(jié)構(gòu)性能等。而CAE軟件可作靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析，動(dòng)態(tài)分析；研究線性、非線性問題；分析結(jié)構(gòu)（固體）、流體、電磁等。2023/2/314ANSYS——CAE仿真分析軟件CAE的技術(shù)種類有很多，其中包括有限元法(FEM,即FiniteElementMethod),邊界元法(BEM,即BoundaryElementMethod)，有限差法(FDM,即FiniteDifferenceElementMethod)等。每一種方法各有其應(yīng)用的領(lǐng)域，而其中有限元法應(yīng)用的領(lǐng)域越來越廣，現(xiàn)已應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)、流體力學(xué)、電路學(xué)、電磁學(xué)等。2023/2/315ANSYS主要包括三個(gè)部分：前處理模塊，分析計(jì)算模塊和后處理模塊。前處理模塊提供一個(gè)強(qiáng)大的實(shí)體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶可以方便地構(gòu)造有限元模型；2023/2/316分析計(jì)算模塊包括結(jié)構(gòu)分析（可進(jìn)行線性分析、非線性分析和高度非線性分析）、流體動(dòng)力學(xué)分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質(zhì)的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析能力；2023/2/317后處理模塊可將計(jì)算結(jié)果以彩色等值線顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示（可看到結(jié)構(gòu)內(nèi)部）等圖形方式顯示出來，也可將計(jì)算結(jié)果以圖表、曲線形式顯示或輸出。2023/2/318ANSYS功能概覽結(jié)構(gòu)分析熱分析電磁分析流體分析(CFD)耦合場分析-多物理場2023/2/3191.ANSYS結(jié)構(gòu)分析

結(jié)構(gòu)分析用于確定結(jié)構(gòu)的變形、應(yīng)變、應(yīng)力及反作用力等.2023/2/3201.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:靜力分析模態(tài)分析譜分析諧響應(yīng)分析瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析動(dòng)力分析2023/2/3211.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:靜力分析-用于靜態(tài)載荷.可以考慮結(jié)構(gòu)的線性及非線性行為，例如:大變形、大應(yīng)變、應(yīng)力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等.2023/2/3221.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:特征屈曲分析-用于計(jì)算線性屈曲載荷并確定屈曲模態(tài)形狀.(結(jié)合瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析可以實(shí)現(xiàn)非線性屈曲分析.)2023/2/3231.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:模態(tài)分析

-計(jì)算線性結(jié)構(gòu)的自振頻率及振形.譜分析

是模態(tài)分析的擴(kuò)展，用于計(jì)算由于隨機(jī)振動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和應(yīng)變(也叫作

響應(yīng)譜或

PSD).2023/2/3241.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:諧響應(yīng)分析-確定線性結(jié)構(gòu)對隨時(shí)間按正弦曲線變化的載荷的響應(yīng).2023/2/3251.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析-確定結(jié)構(gòu)對隨時(shí)間任意變化的載荷的響應(yīng).可以考慮與靜力分析相同的結(jié)構(gòu)非線性行為.2023/2/3261.ANSYS結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析的類型:專項(xiàng)分析-

斷裂分析,復(fù)合材料分析，疲勞分析2023/2/327專項(xiàng)分析-

斷裂分析,復(fù)合材料分析，疲勞分析2023/2/3282.ANSYS熱分析ANSYS熱分析計(jì)算物體的穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)溫度分布，以及熱量的獲取或損失、熱梯度、熱通量等.2023/2/3292.ANSYS熱分析

功能:相變

(熔化及凝固),內(nèi)熱源(例如電阻發(fā)熱等)三種熱傳遞方式

(熱傳導(dǎo)、熱對流、熱輻射)2023/2/3302.ANSYS熱分析注意：熱分析之后往往進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析,計(jì)算由于熱膨脹或收縮不均勻引起的應(yīng)力.2023/2/3313.ANSYS電磁分析

磁場可由電流、永磁體、外加磁場等產(chǎn)生.磁場分析

用于計(jì)算磁場.

磁場分析中考慮的物理量是磁通量密度、磁場密度、磁力、磁力矩、阻抗、電感、渦流、能耗及磁通量泄漏等.2023/2/332磁場分析的類型:靜磁場分析

-計(jì)算直流電（DC)或永磁體產(chǎn)生的磁場.交變磁場分析-計(jì)算由于交流電(AC)產(chǎn)生的磁場.2023/2/333磁場分析的類型:瞬態(tài)磁場分析-計(jì)算隨時(shí)間隨機(jī)變化的電流或外界引起的磁場.電場分析-

用于計(jì)算電阻或電容系統(tǒng)的電場.典型的物理量有電流密度、電荷密度、電場及電阻熱等.2023/2/334磁場分析的類型:高頻電磁場分析用于微波及RF無源組件，波導(dǎo)、雷達(dá)系統(tǒng)、同軸連接器等分析.2023/2/3354.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:CFD-ANSYS/FLOTRAN

提供強(qiáng)大的計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析功能，包括不可壓縮或可壓縮流體、層流及湍流，以及多組份流等.流體分析--用于確定流體的流動(dòng)及熱行為.2023/2/3364.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:聲學(xué)分析-考慮流體介質(zhì)與周圍固體的相互作用,進(jìn)行聲波傳遞或水下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析等.流體分析

用于確定流體的流動(dòng)及熱行為.2023/2/3374.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:流體分析

用于確定流體的流動(dòng)及熱行為.容器內(nèi)流體分析

-考慮容器內(nèi)的非流動(dòng)流體的影響.可以確定由于晃動(dòng)引起的靜水壓力.2023/2/3384.ANSYS流體分析流體分析分以下幾類:流體分析

用于確定流體的流動(dòng)及熱行為.流體動(dòng)力學(xué)耦合分析

-考慮流體約束質(zhì)量的動(dòng)力響應(yīng)基礎(chǔ)上，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中使用流體耦合單元.2023/2/3395.ANSYS耦合場分析耦合場分析

考慮兩個(gè)或多個(gè)物理場之間的相互作用。如果兩個(gè)物理場之間相互影響，單獨(dú)求解一個(gè)物理場是不可能得到正確結(jié)果的，因此你需要一個(gè)能夠?qū)蓚€(gè)物理場組合到一起求解的分析軟件。2023/2/3405.ANSYS耦合場分析

其他需要耦合場分析的典型情況有：熱—應(yīng)力分析流體—結(jié)構(gòu)相互作用聲場—結(jié)構(gòu)耦合振動(dòng)June3,199641ANSYS分析中通?？紤]的分析因素建模是數(shù)值仿真分析有效與否的關(guān)鍵。一般考慮下列問題：分析領(lǐng)域分析目標(biāo)線性/非線性問題靜力/動(dòng)力問題分析細(xì)節(jié)的考慮幾何模型對稱性

奇異單元類型網(wǎng)格密度單位制材料特性載荷求解器June3,199642ANSYS分析中通?？紤]的分析因素

奇異單元類型網(wǎng)格密度單位制材料特性載荷求解器

所建模型的好壞直接影響分析的精度和成本（人耗工時(shí)，計(jì)算機(jī)資源等），但通常情況下精度和成本是相互沖突。June3,199643確定合適的分析學(xué)科領(lǐng)域?qū)嶓w運(yùn)動(dòng)，承受壓力，或?qū)嶓w間存在接觸施加熱、高溫或存在溫度變化恒定的磁場或磁場電流（直流或交流）氣（液）體的運(yùn)動(dòng)，或受限制的氣體/液體以上各種情況的耦合結(jié)構(gòu)熱磁流體電耦合場準(zhǔn)則2023/2/344有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/345有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/346有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/347有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/348有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/349有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/350有限元方法與ANSYS應(yīng)用課程學(xué)習(xí)相關(guān)網(wǎng)站2023/2/351有限元方法與ANSYS應(yīng)用十大論壇學(xué)習(xí)ANSYS

1、安世亞太

2、仿真論壇

3、中國CAE聯(lián)盟

4、傲雪論壇

5、仿真在線

2023/2/352有限元方法與ANSYS應(yīng)用十大論壇學(xué)習(xí)ANSYS

6、中國機(jī)械CAD論壇

7、開思網(wǎng)

8、

9、振動(dòng)聯(lián)盟

10、

2023/2/353有限元法分析的基本理論與方法相關(guān)課程的比較2023/2/354有限元法分析的基本理論與方法相關(guān)課程的比較變形體----物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離可發(fā)生相對移動(dòng).變形體有四種形變：拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲。2023/2/355有限元法分析的基本理論與方法相關(guān)課程的比較材力：

借助于直觀和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象作一些假定，如平面假設(shè)等，然后由靜力學(xué)、幾何關(guān)系、物理方程三方面進(jìn)行分析。彈力：

僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分假定。2023/2/356有限元法分析的基本理論與方法相關(guān)課程的比較材力:——常微分方程（4階，一個(gè)變量）彈力:——偏微分方程（高階，二、三個(gè)變量）。數(shù)值解法：能量法（變分法）、差分法、有限單元法等。2023/2/357作業(yè):試總結(jié)三門課程解決問題的思路和步驟,指出其異同點(diǎn).(3千字)作業(yè)電子文檔名稱：學(xué)號(hào)——姓名---遞交作業(yè)次數(shù)序號(hào)2023/2/35858力學(xué)研究工程問題的一般思路工程問題力學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)解答觀察總結(jié)歸納概念假設(shè)等數(shù)學(xué)描述微分方程的定解問題解析解近似解數(shù)值解力學(xué)解釋物理意義工程解釋驗(yàn)證指導(dǎo)工程實(shí)踐2023/2/359附：工程力學(xué)問題的建模分析過程2023/2/36060力學(xué)模型的建立基本原則科學(xué)性：盡可能地近似表示原型實(shí)用性：能方便地應(yīng)用模型的建立——近似材料近似結(jié)構(gòu)近似載荷近似模型的表述假設(shè)概念所有的力學(xué)模型均是實(shí)際問題的某種程度上的近似，受限于科技發(fā)展水平，受限于人類對該問題科學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，也受限于工程需求。2023/2/361

在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，通常要注意分清問題的性質(zhì)進(jìn)行簡化：線性化

對高階小量進(jìn)行處理，能進(jìn)行線性化的，進(jìn)行線性化。

模型建立以后，對計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行分析整理，返回實(shí)際問題進(jìn)行驗(yàn)證，一般通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：直接實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

直接實(shí)驗(yàn)比較簡單時(shí)可以直接進(jìn)行，但有時(shí)十分困難。相似模型實(shí)驗(yàn)

相似實(shí)驗(yàn)的模型一般應(yīng)與實(shí)際問題的邊界條件和形態(tài)是幾何相似的。2023/2/362

工程力學(xué)問題建立力學(xué)模型的過程中，一般作三方面進(jìn)行簡化：結(jié)構(gòu)簡化

如空間問題向平面問題的簡化，向軸對稱問題的簡化，實(shí)體結(jié)構(gòu)向板、殼結(jié)構(gòu)的簡化。受力簡化

如：根據(jù)圣維南原理，復(fù)雜力系簡化為等效力系等。材料簡化根據(jù)各向同性、連續(xù)、均勻等假設(shè)進(jìn)行簡化。2023/2/363結(jié)構(gòu)簡化2023/2/364結(jié)構(gòu)簡化對稱性的利用2023/2/365受力簡化2023/2/366

圣維南原理問題的提出：PPP

求解彈性力學(xué)問題時(shí)，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿足8個(gè)基本方程相對容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。

如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條件無法列寫。1.靜力等效的概念

兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效力系。

這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對剛體來而言完全正確，但對變形體而言一般是不等效的。2023/2/3672.圣維南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/22023/2/3683.圣維南原理的應(yīng)用(1)對復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界2023/2/369材料簡化2023/2/370工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時(shí)不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個(gè)可行的范圍?；炯僭O(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。

材料簡化彈性力學(xué)基本假設(shè)2023/2/371工程材料通常可以分為晶體和非晶體兩種。金屬材料——晶體材料，是由許多原子，離子按一定規(guī)則排列起來的空間格子構(gòu)成，其中間經(jīng)常會(huì)有缺陷存在。高分子材料——非晶體材料，由許多分子的集合組成的分子化合物。工程材料內(nèi)部的缺陷、夾雜和孔洞等構(gòu)成了固體材料微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。§1.2基本假設(shè)22023/2/37272彈性力學(xué)基本假設(shè)連續(xù)性假設(shè)完全彈性假設(shè)均勻性假設(shè)各向同性假設(shè)小位移和小形變假設(shè)材料的假設(shè)理想彈性體幾何假設(shè)2023/2/37373彈性力學(xué)：研究理想彈性體的小變形問題彈性力學(xué)問題的研究思路：已知：物體的形狀、大小、彈性常數(shù)、所受的外力和邊界約束條件，求：應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量2023/2/37474基本假設(shè)與其他理學(xué)分支連續(xù)性假設(shè)：完全彈性假設(shè)：非線性彈性力學(xué)、非彈性力學(xué)均勻性假設(shè)：非均質(zhì)彈性力學(xué)各向同性假設(shè)：各向異性彈性力學(xué)小位移和小形變假設(shè)：非線性彈性力學(xué)2023/2/37575751821年，克勞德·路易斯·瑪麗·亨利·納維爾(1785——1836)發(fā)表了題為“彈性體平衡和運(yùn)動(dòng)方程”的論文，文中首次寫出了彈性體的控制方程1829年，法國科學(xué)家西蒙·丹尼斯·泊松(1781－1840)考慮了單向拉伸時(shí)的橫向收縮問題。為紀(jì)念他的貢獻(xiàn)，橫向收縮與縱向伸長比值的負(fù)值被命名為泊松比。另外，泊松發(fā)現(xiàn)了橫波和縱波，開創(chuàng)了彈性動(dòng)力學(xué)分析彈性力學(xué)簡史2023/2/3767676奧古斯丁·路易斯·柯西

(1789——1857)1822-1823年，在三維情況下規(guī)范了應(yīng)力的概念，揭示了應(yīng)力具有三階對稱張量的性質(zhì)提出將面力矢量和應(yīng)力張量聯(lián)系起來的柯西原理，提出主應(yīng)力和主應(yīng)變的概念，推廣胡克定律，建立了用應(yīng)力分量表示的連續(xù)體運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件給出了幾何方程，即當(dāng)位移對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)小于1時(shí)，六個(gè)應(yīng)變分量(三個(gè)拉伸分量和三個(gè)剪切分量)可以表示為位移的導(dǎo)數(shù)。從原子論的觀點(diǎn)討論了物體的彈性，利用對勢導(dǎo)出了所謂的彈性張量的柯西關(guān)系，指出彈性張量具有完全對稱性。2023/2/3777777彈性力學(xué)基本解及應(yīng)用在十九世紀(jì)的中后期，科學(xué)家們得到了大量的彈性力學(xué)基本解，并應(yīng)用于工程實(shí)踐或者解釋自然現(xiàn)象納維爾的學(xué)生圣·維南在其中做出了卓越的貢獻(xiàn)1853年，提出了半逆解法，并得到了梁的彎曲和非圓截面桿扭轉(zhuǎn)問題的精確解，從而檢驗(yàn)了材料力學(xué)中在一定假設(shè)簡化下得到的近似解的準(zhǔn)確程度提出了著名的圣·維南原理，為數(shù)學(xué)家和工程師創(chuàng)造了無數(shù)機(jī)遇和挑戰(zhàn)2023/2/3787878電磁學(xué)的奠基人之一，普魯士物理學(xué)家古斯塔夫·羅伯特·基爾霍夫(1824——1887)多才多藝，在彈性力學(xué)領(lǐng)域也頗有建樹。1876年，他出版了著作“力學(xué)”，將彈性力學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)展到一種新的幾何構(gòu)形——板，在直法線假設(shè)的前提下，他運(yùn)用虛功原理和變分法導(dǎo)出了控制方程。在一維情況下，基爾霍夫板退化為歐拉——柏努利梁。電磁學(xué)的另一奠基人，赫爾曼·路德維?！べM(fèi)迪南德·馮·亥姆霍茲(1821——1894)在彈性力學(xué)領(lǐng)域同樣功勛卓著。他建立了彈性自由能的概念，以他的名字命名為亥姆霍茲自由能。另外，他還利用亥姆霍茲變換得到無限大彈性體中的應(yīng)力波解。2023/2/3797979體系形成(1880——1950)在這一時(shí)期，彈性力學(xué)的知識(shí)如百川逐漸匯集大海，形成了一套完整的體系代表性著作是勒夫的“關(guān)于彈性力學(xué)數(shù)學(xué)理論的論述”(1892——1893)。該部著作的問世同時(shí)標(biāo)志著十九世紀(jì)整個(gè)數(shù)學(xué)物理的研究中心是彈性力學(xué)。除此之外，勒夫本人還在點(diǎn)源解和勒夫波等方面對彈性力學(xué)做出貢獻(xiàn)2023/2/3808080鐵木辛柯

（1878-1972）

彈性力學(xué)在工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用應(yīng)歸功于鐵木辛柯的巨大熱情。鐵木辛柯出身于前俄羅斯貴族，師從空氣動(dòng)力學(xué)之父普朗特。他尤其熱心于彈性力學(xué)的工程應(yīng)用，在彈性地基梁、鐵木辛柯梁、板殼力學(xué)和彈性振動(dòng)等方面都做出了巨大的貢獻(xiàn)。鐵木辛柯不僅是一位科學(xué)家、工程師，同時(shí)也是一名偉大的教育家。由他編寫的教材幾十年來一直在美國工學(xué)院使用。他同馮·卡門一起促進(jìn)了應(yīng)用力學(xué)在美國的繁榮。經(jīng)典教材：《材料力學(xué)》、《高等材料力學(xué)》、《結(jié)構(gòu)力學(xué)》、《工程力學(xué)》、《高等動(dòng)力學(xué)》、《彈性力學(xué)》、《彈性穩(wěn)定性理論》、《工程中的振動(dòng)問題》、《板殼理論》和《材料力學(xué)史》等2023/2/3818181分支發(fā)展(1950——至今)1950年荷蘭力學(xué)家和工程師K.T.Koiter提出彈性穩(wěn)定性的概念，隨后有關(guān)靜力穩(wěn)定性、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和動(dòng)力穩(wěn)定性和缺陷敏感性的問題也被提出，并充分地加以研究。2023/2/3828282斷裂力學(xué)的先驅(qū)是英國航空工程師A.A.Griffith提出了脆斷準(zhǔn)則：如果裂紋擴(kuò)展釋放的彈性應(yīng)變能等于產(chǎn)生新表面所做的功，則裂紋處于臨界擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)。從二十世紀(jì)中葉以來斷裂力學(xué)一直處于固體力學(xué)研究的中心地位，主要推動(dòng)力是對第二次世界大戰(zhàn)期間造成美國海軍艦隊(duì)重大損失的原因的研究以及美國物理學(xué)家和工程師GeorgeR.Irwin投入的巨大熱情與精力1957年Irwin提出應(yīng)力強(qiáng)度因子的概念，用來度量裂尖附近應(yīng)力場的強(qiáng)度在Irwin的大力推動(dòng)下，從十九世紀(jì)40年代一直延續(xù)到二十一世紀(jì)，在裂紋擴(kuò)展和結(jié)構(gòu)破壞方面出現(xiàn)了大量成果，包括疲勞裂紋和應(yīng)力腐蝕導(dǎo)致裂紋1968年，美國力學(xué)家和地學(xué)家J.R.Rice奠定了非線性斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)。斷裂力學(xué)中的關(guān)鍵參量，能量釋放率G

，應(yīng)力強(qiáng)度因子K

和

J－積分分別用來紀(jì)念Griffith,Irwin和Rice的對這一領(lǐng)域的貢獻(xiàn)。

A.Griffith(1893——1963)2023/2/3838383有限元方法(FiniteElementMethod)1943年數(shù)學(xué)家RichardCourant描述了有限元的理論框架50到60年代，這一理論在幾個(gè)國家獨(dú)立的發(fā)展，并編制了可用于工程計(jì)算的計(jì)算機(jī)程序。代表學(xué)者有美國航空工程師M.J.Taylor和RayW.Clough，英國土木工程師J.H.Argyris和O.C.Zienkiewicz，以及中國數(shù)學(xué)家馮康有限元方法源于求解彈性力學(xué)問題，它的發(fā)展超出這一領(lǐng)域，成為計(jì)算力學(xué)的基本組成部分，目前又被進(jìn)一步應(yīng)用到材料微結(jié)構(gòu)、生物力學(xué)和醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。有限元方法(FEM)的發(fā)明為工程領(lǐng)域提供了基本的計(jì)算工具2023/2/3848484最新進(jìn)展：大變形彈性理論是經(jīng)典彈性力學(xué)未開發(fā)的處女地橡膠之類的高分子材料的廣泛應(yīng)用使得建立彈性大變形理論成為必需1960年，英國應(yīng)用數(shù)學(xué)家和工程師RonaldS.Rivlin給出了拉伸、扭轉(zhuǎn)、彎曲和翻轉(zhuǎn)在彈性大變形下的解。他還致力于各向同性彈性的張量表示理論，提出著名的Rivlin-Ericksen定理。他的其他貢獻(xiàn)還包括提出Mooney-Rivlin理論，精確地描述了橡膠彈性2023/2/3858585力學(xué)是最早形成科學(xué)體系的一門學(xué)科。物理學(xué)的建立是從力學(xué)開始的，當(dāng)物理學(xué)擺脫力學(xué)發(fā)展時(shí)，力學(xué)則在工程技術(shù)的推動(dòng)下按自身邏輯進(jìn)一步演化，最終，力學(xué)和物理學(xué)各自發(fā)展成為自然學(xué)科中兩個(gè)相互獨(dú)立的、自成體系的學(xué)科分類。力學(xué)既是基礎(chǔ)科學(xué)又是技術(shù)科學(xué)的二重性，為溝通人類認(rèn)識(shí)自然和改造自然兩個(gè)方面作出了突出貢獻(xiàn)，力學(xué)工作者為此而自豪。2023/2/38686連續(xù)性假設(shè)說明：1、工程材料都是非連續(xù)的，但其非連續(xù)性通常表現(xiàn)在細(xì)觀甚至微觀尺度，空隙的尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于研究物體的尺度，從宏觀上，可以近似認(rèn)為是連續(xù)的2、對于宏觀尺度的非連續(xù)性問題，是彈性力學(xué)的研究范疇假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙物理量連續(xù)，用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)描述保證中極限的存在2023/2/3871.連續(xù)性假設(shè)

——假設(shè)所研究的整個(gè)彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間不存在任何空隙?！冃魏笕匀槐３诌B續(xù)性，不出現(xiàn)開裂和重疊。根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。2023/2/3881.連續(xù)性假定

該假定在研究物體的宏觀力學(xué)特性時(shí)，與工程實(shí)際吻合較好；研究物體的微觀力學(xué)性質(zhì)時(shí)不適用。使得σ、ε、u

等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。保證中極限的存在。2023/2/38989完全彈性假設(shè)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是線性、單值的常系數(shù)微分方程說明：1、脆性材料：在應(yīng)力未超過比例極限時(shí)，可近似為完全彈性體2、塑性材料：在應(yīng)力未達(dá)到屈服極限時(shí)，可近似為完全彈性體3、非線性彈性體、非彈性體的問題，不是彈性力學(xué)的研究范疇假定物體完全服從胡克定律，應(yīng)變和引起該應(yīng)變的那個(gè)應(yīng)力分量成比例，且比例系數(shù)為常數(shù)2023/2/3902.完全彈性假設(shè)——對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個(gè)關(guān)系和時(shí)間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。2023/2/39191均勻性假設(shè)假設(shè)整個(gè)物體是由同一材料組成的各部分彈性相同、彈性常數(shù)與坐標(biāo)無關(guān)微元代表整體說明：1、工程材料都是非均勻的，但其非均勻性通常表現(xiàn)在細(xì)觀甚至微觀尺度，從宏觀上，可以近似認(rèn)為是均勻的2、對于宏觀非均勻的材料，彈性力學(xué)的研究方法仍然適用，但基本方程將有所不同2023/2/3923.均勻性假設(shè)

——假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個(gè)部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變?！矬w的彈性性質(zhì)處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。彈性常數(shù)（E、μ）——不隨位置坐標(biāo)而變化；取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個(gè)物體。2023/2/39393各向同性假設(shè)彈性常數(shù)與方向無關(guān)說明：1、一般工程材料，都在不同的尺度上表現(xiàn)出或強(qiáng)或弱的各向異性，但在很多時(shí)候，可以忽略各向異性的影響，尤其是各項(xiàng)異性主要表現(xiàn)在微觀尺度上的時(shí)候2、對于宏觀各項(xiàng)異性彈性體，可以應(yīng)用彈性力學(xué)的研究方法物體內(nèi)一點(diǎn)的彈性所有各個(gè)方向均相同2023/2/3944.各向同性假設(shè)——假定物體在各個(gè)不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化。

——宏觀假設(shè)，材料性能是顯示各向同性。如金屬材料.當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料。這些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。彈性常數(shù)（E、μ）——不隨坐標(biāo)方向而變化；2023/2/395

材料的均勻性假設(shè)與各向同性假設(shè)的區(qū)別

均勻性和各向同性是完全不同的性質(zhì)，不應(yīng)混淆。如用矢量的長短來表示材料某力學(xué)性能的強(qiáng)弱，則圖a表示均勻而非各向同性的材料；圖b表示各向同性而非均勻的材料；圖c表示均勻且各向同性的材料。(a)(b)(c)2023/2/39696小位移和小形變假設(shè)建立變形后的平衡方程時(shí)，可以用變形前的尺寸代替而不因其顯著的誤差假定位移均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸假定正應(yīng)變和剪應(yīng)變均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的二次冪或乘積均可略去方程線性化2023/2/3975.小變形假設(shè)——假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。即物體受力后物體內(nèi)各點(diǎn)位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小物體的原來的尺寸。——在彈性體的平衡等問題討論時(shí)，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化?？捎米冃吻暗某叽绱孀冃魏蟮某叽??！⒎匠虝r(shí)，可略去位移、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。2023/2/398——假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是荷載或溫度變化而產(chǎn)生的。若存在初應(yīng)力，理論求得的應(yīng)力應(yīng)疊加初應(yīng)力才是實(shí)際應(yīng)力。6.無初始應(yīng)力的附加假設(shè)2023/2/399扭轉(zhuǎn)問題的附加假設(shè)柱體扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲自由扭轉(zhuǎn)——翹曲不受限制-等翹曲剛性轉(zhuǎn)動(dòng)假設(shè)約束扭轉(zhuǎn)——翹曲受到限制-軸向力彈性力學(xué)討論自由扭轉(zhuǎn)2023/2/3100彈性力學(xué)的基本方法與思路

彈性力學(xué)有應(yīng)力、應(yīng)變和位移三大類變量，它所依據(jù)的基本規(guī)律有三個(gè)：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運(yùn)動(dòng)(或平衡)規(guī)律，它們有時(shí)被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來。2023/2/3101彈性力學(xué)的基本方法與思路1.應(yīng)力的概念彈性體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生應(yīng)力。為了描述彈性體內(nèi)某一點(diǎn)P的應(yīng)力，在這一點(diǎn)從彈性體內(nèi)割取一個(gè)微小的平行六面體PABC，它的六面分別垂直于相應(yīng)的坐標(biāo)軸，如圖1。2023/2/3102彈性力學(xué)的基本方法與思路從圖中看出：將每一面上的應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，分別與三個(gè)坐標(biāo)軸平行。正應(yīng)力用字母σ表示。為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個(gè)下標(biāo)，例如：正應(yīng)力σx是作用在垂直于x軸的面上同時(shí)也沿著x軸方向作用的。2023/2/3103彈性力學(xué)的基本方法與思路剪應(yīng)力用字母τ表示，并加上兩個(gè)下標(biāo)，前一個(gè)下標(biāo)表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)下標(biāo)表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。例如：剪應(yīng)力τxy是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。2023/2/3104彈性力學(xué)的基本方法與思路應(yīng)力的正負(fù)方向的判定如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，如果某一個(gè)面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。2023/2/3105彈性力學(xué)的基本方法與思路剪應(yīng)力互等定律根據(jù)微小平行六面體的平衡條件，作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的(大小相等，正負(fù)號(hào)也相同)。即：2023/2/3106彈性力學(xué)的基本方法與思路考慮到通過彈性體中的一點(diǎn)總可做出三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)平面，所以總共可得九個(gè)應(yīng)力分量。即σx，τxy，τxz，σy，τyx，τyz，σz，τzx，τzy。由于剪應(yīng)力互等，只有σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx六個(gè)應(yīng)力分量是獨(dú)立的。2023/2/3107彈性力學(xué)的基本方法與思路因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就成為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量。一般說來，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x，y，z的應(yīng)力函數(shù)。2023/2/3108彈性力學(xué)的基本方法與思路6個(gè)應(yīng)力分量的總體，可用如下應(yīng)力矢量（或列陣）來表示：2023/2/3109彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念為了描述彈性體內(nèi)任一點(diǎn)P的形變，在這一點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸的正方向取三個(gè)微小線段PA=Δx，PB=Δy，PC=Δz。彈性體變形以后，這三個(gè)線段的長度以及它們之間的直角都將有所改變。線段的每單位長度的伸縮稱為正應(yīng)變，線段之間的直角的改變稱為剪應(yīng)變。2023/2/3110彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念正應(yīng)變正應(yīng)變用字母ε表示：εx表示x方向的線段（即PA）的正應(yīng)變，其余類推。正應(yīng)變以伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對應(yīng)。2023/2/3111彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念剪應(yīng)變剪應(yīng)變用字母γ表示：γxy表示x與y兩方向的線段（即PA與PB）之間的直角的改變，其余類推。剪應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對應(yīng)（正的τxy引起正的γxy，等等）。2023/2/3112彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念應(yīng)變分量如果εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx這6個(gè)應(yīng)變量在P點(diǎn)是巳知的，就可求得經(jīng)過該點(diǎn)的任一微小線段的正應(yīng)變，以及經(jīng)過該點(diǎn)的任意兩個(gè)微小線段之間的夾角改變，并且可求得該點(diǎn)的最大與最小的正應(yīng)變。因此，這6個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的形變狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)變分量。當(dāng)然，一般說來，應(yīng)變分量也是坐標(biāo)x，y、z的函數(shù)2023/2/3113彈性力學(xué)的基本方法與思路2.應(yīng)變的概念6個(gè)應(yīng)變分量的總體，可用應(yīng)變矢量表示：2023/2/3114彈性力學(xué)的基本方法與思路3.位移的概念彈性體在受外力以后，還將發(fā)生位移和形變，也就是位置的移動(dòng)和形狀的改變。

彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，用它在坐標(biāo)軸x，y、z上的投影u，v，w來表明，以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱為該點(diǎn)的位移分量。當(dāng)然，一般說來，位移分量也是坐標(biāo)x，y、z的函數(shù)。2023/2/3115彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程應(yīng)變分量與位移分量之間有一定的幾何關(guān)系。這就是所謂幾何方程。2023/2/3116彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程6個(gè)幾何方程的總體可以用一個(gè)矩陣方程來表示2023/2/3117彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程由幾何方程可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量是完全確定的。反過來，當(dāng)應(yīng)變分量是完全確定，位移分量卻不完全確定。這是因?yàn)?，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。2023/2/3118彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程例如，令2023/2/3119彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程積分以后，得2023/2/3120彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程式中u0、v0、w0、wx

、wy

、wz是積分常數(shù)。其物理意義表示的位移分量，是當(dāng)應(yīng)變分量為零時(shí)的位移，即與變形無關(guān)的位移，顯然此種位移必然是物體的剛體位移。由幾何關(guān)系不難證明：u0、v0、w0代表彈性體沿坐標(biāo)軸的剛體平動(dòng)，wx、wy、wz代表彈性體繞坐標(biāo)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。2023/2/3121彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系幾何方程為了完全確定彈性體的位移，必須有6個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件來確定這6個(gè)剛體位移。2023/2/3122彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系物理方程假定彈性體是連續(xù)的，均勻的，完全彈性的，而且是各向同性的。這樣，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系式就是：物理方程.其第一種形式為：2023/2/3123彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系物理方程

式中的：E是拉壓彈性模量(或簡稱為彈性模量)，G是剪切彈性模量，μ是泊松比，三者之間有如下的關(guān)系：2023/2/3124彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系物理方程物理方程另一種形式為：2023/2/3125彈性力學(xué)的基本方法與思路4.位移、應(yīng)力、應(yīng)變之間的相互關(guān)系物理方程簡寫成為：其中的[D]稱為彈性矩陣。2023/2/3126彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程設(shè)有受外力作用的彈性體，如圖。它在i點(diǎn)所受的外力沿坐標(biāo)軸分解為分量Ui

、Vi、Wi，在j點(diǎn)所受的外力沿坐標(biāo)軸分解為分量Uj、Vj、Wj，等等，總起來用列陣{F}表示，而這些外力引起的應(yīng)力用列陣{σ}表示。2023/2/3127彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程2023/2/3128彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程現(xiàn)在，假設(shè)彈性體發(fā)生了某種虛位移，與各個(gè)外力分量相應(yīng)的虛位移分量為ui*、vi*，wi*，uj*，vj*，wj*，等等，總起采用列陣{δ*}表示，而引起的虛應(yīng)變用列陣{ε*}表示。2023/2/3129彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程這個(gè)虛位移和虛應(yīng)變一般并不是上述實(shí)際外力引起的，更多的是我們?yōu)榱朔治鰡栴}而假想在彈性體中發(fā)生的。2023/2/3130彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程虛位移原理把虛位移原理應(yīng)用于連續(xù)彈性體，可以導(dǎo)出這樣的引理：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，那末，在虛位移發(fā)生時(shí)，外力在虛位移上的虛功就等于(整個(gè)彈性體內(nèi))應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功。2023/2/3131彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程

在虛位移發(fā)生時(shí)，外力在虛位移上的虛功是：2023/2/3132彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程在彈性體的單位體積內(nèi)，應(yīng)力在應(yīng)變上的虛功是：2023/2/3133彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程因此，在整個(gè)彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：2023/2/3134彈性力學(xué)的基本方法與思路5.外力與應(yīng)力之間的相互關(guān)系平衡方程----虛功及虛功方程由上述推理得到

這就是彈性體的虛功方程，它通過虛位移和虛應(yīng)變表明外力與應(yīng)力之間的關(guān)系。

2023/2/3135彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題，不考慮某些位移分量、應(yīng)變分量或應(yīng)力分量。這樣處理，分析和計(jì)算的工作量將大大地減少2023/2/3136彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題設(shè)有很薄的均勻薄板，如圖，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。例如平板壩的甲板支墩，以及圖中所示的深梁，都屬于此類。2023/2/3137彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題設(shè)薄板的厚度為t。以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，所以有:2023/2/3138彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題因?yàn)榘搴鼙?，外力又不沿厚度變化，所以，可以認(rèn)為在整個(gè)薄板的所有各點(diǎn)都有:2023/2/3139彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題這樣就只剩下平行于xy面的三個(gè)應(yīng)力分量，即σx，σy

，τxy，所以這種問題就稱為平面應(yīng)力問題。2023/2/3140彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題應(yīng)力的矩陣表示簡化為2023/2/3141彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題由物理方程中的第三式可見2023/2/3142彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題εz一般不等于零,可由σx及σy求得，在分析問題時(shí)不必考慮。于是只需考慮三個(gè)形變分量εx、εy、γxy。2023/2/3143彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題物理方程簡化為:2023/2/3144彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)力問題可以簡寫成為2023/2/3145彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題設(shè)有無限長的柱形體，它的橫截面如圖所示，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于橫截面而且不沿長度變化。2023/2/3146彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題此外，在這一情況下，由于對稱(任一橫截面都可以看做對稱面)，所有各點(diǎn)都只會(huì)有x和y方向的位移而不會(huì)有z方向的位移．即w=0。因此，這種問題稱為平面位移問題，但在習(xí)慣上常常稱為平面應(yīng)變問題。2023/2/3147彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。2023/2/3148彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題既然w=0，而且u及v又只是x和y的函數(shù)，由幾何方程可見εz=γyz=γzx=0。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量εx、εy、γxy。2023/2/3149彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題由物理方程中的后兩式可見τyz=0，τzx=0（因?yàn)棣脃z=0，γzx=0）又由物理方程中的第三式可見（因?yàn)棣舲=0）2023/2/3150彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題由物理方程中的后兩式可見τyz=0，τzx=0（因?yàn)棣脃z=0，γzx=0）又由物理方程中的第三式可見（因?yàn)棣舲=0）2023/2/3151彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題雖然σz一般并不等于零，但它可以由σx及σy求得，在分析問題時(shí)不必考慮。于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量σx，σy，τxy需要考慮。這樣，物理方程就簡化為:2023/2/3152彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題2023/2/3153彈性力學(xué)的基本方法與思路6.兩種平面問題平面應(yīng)變問題注意對于兩種平面問題，物理方程的形式都是一樣的。但是，對于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣[D]卻不同于對于平面應(yīng)變情況下的彈性矩陣[D]。2023/2/3154彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題彈性體的幾何形狀、約束情況、以及所受的外力，都是繞某一軸對稱的(通過這個(gè)軸的任一平面都是對稱面)，則所有的應(yīng)力、形變和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為軸對稱問題。2023/2/3155彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題在描述軸對稱問題中的應(yīng)力和形變時(shí)，用圓柱坐標(biāo)r,θ,z比用直角坐標(biāo)x,y,z方便。如果以彈性體的對稱軸為z軸，則所有的應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都將只是r和z的函數(shù)，不隨θ而變。2023/2/3156彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題用相距Δr的兩個(gè)圓柱面，互成Δθ角的兩個(gè)鉛垂面和相距Δz的兩個(gè)水平面，從彈性體割取一個(gè)微小六面體，如圖。2023/2/3157彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題沿r方向的正應(yīng)力，稱為徑向正應(yīng)力，用σr代表；沿θ方向的正應(yīng)力，稱為環(huán)向正應(yīng)力，用σθ代表；沿z方向的正應(yīng)力，稱為軸向正應(yīng)力，用σz代表；2023/2/3158彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題在垂直于z軸的面上而沿r方向作用的剪應(yīng)力用τzr代表；在圓柱面上而沿z方向作用的剪應(yīng)力用τrz代表；根據(jù)剪應(yīng)力互等定律，τzr=τrz，以后統(tǒng)一用τzr代表。2023/2/3159彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題根據(jù)對稱條件，其余的剪應(yīng)力分量τrθ=τθr及τθz=τzθ都不存在。這樣，總共只有四個(gè)應(yīng)力分量σr,σθ,σz,τzr需要考慮。相應(yīng)的形變分量也只有四個(gè)：εr,εθ,εz,γzr。2023/2/3160彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題軸對稱問題中的應(yīng)力及應(yīng)變定義為:2023/2/3161彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題

彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，可以分解為兩個(gè)分量：沿r方向的位移分量，稱為徑向位移，用u代表；沿z方向的位移分量，稱為軸向位移，用w代表；由于對稱，不會(huì)有θ方向的位移（環(huán)向位移）。2023/2/3162彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題根據(jù)幾何關(guān)系，可以導(dǎo)出形變分量和位移分量之間的關(guān)系式，即幾何方程為：2023/2/3163彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題物理方程可以根據(jù)虎克定律直接寫出2023/2/3164彈性力學(xué)的基本方法與思路7.軸對稱問題它仍然可以寫成如下簡單形式：[D]為彈性矩陣。2023/2/3165直角坐標(biāo)下平面問題的多項(xiàng)式解答要點(diǎn)——逆解法、半逆解法彈性力學(xué)求解問題的基本方法和思路2023/2/3166

多項(xiàng)式解法適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

，能解決什么樣的力學(xué)問題?！娼夥ㄆ渲校篴、b、c

為待定系數(shù)。檢驗(yàn)φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程：顯然φ(x,y)

滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1.

一次多項(xiàng)式（2）（3）對應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：X=Y=0，則有：2023/2/3167結(jié)論1：（1）（2）一次多項(xiàng)式對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對應(yīng)力無影響。2.

二次多項(xiàng)式（1）其中：a、b、c

為待定系數(shù)。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)檢驗(yàn)φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：xy2c2c2a2a結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy2023/2/3168xy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xy3.

三次多項(xiàng)式（1）其中:a、b、c

、d為待定系數(shù)。檢驗(yàn)φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：結(jié)論3：三次多項(xiàng)式對應(yīng)于線性應(yīng)力分布。2023/2/3169討論：可算得：xy1ll圖示梁對應(yīng)的邊界條件：MM可見：——對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。常數(shù)d與彎矩M的關(guān)系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見：此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。2023/2/3170xy1llMM說明：(1)組成梁端力偶M

的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng)l

遠(yuǎn)大于h

時(shí)，誤差較??；反之誤差較大。4.

四次多項(xiàng)式（1）檢驗(yàn)φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得2023/2/3171可見，對于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：（3）應(yīng)力分量：——應(yīng)力分量為x、y的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿足：a+e=0）2023/2/3172總結(jié)：（多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)）

（1）多項(xiàng)式次數(shù)n

<4時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n

≥4時(shí)，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n

越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2）一次多項(xiàng)式，對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對應(yīng)力無影響。二次多項(xiàng)式，對應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，對應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3）2023/2/3173（4）用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

的方法——逆解法（只能解決簡單直線應(yīng)力邊界問題）。按應(yīng)力求解平面問題，其基本未知量為：，本節(jié)說明如何由求出形變分量、位移分量？問題：2023/2/3174以純彎曲梁為例，說明如何由求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1.

形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：平面應(yīng)力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)2023/2/3175（2）位移分量(c)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整理得：（僅為x的函數(shù)）（僅為y的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)式中：ω為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)2023/2/3176（1）(f)討論：式中：u0、v0、ω

由位移邊界條件確定。當(dāng)x=x0=常數(shù)（2）位移分量xyl1hMM——u關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。說明：

同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假設(shè)成立。2023/2/3177（2）將下式中的第二式對x求二階導(dǎo)數(shù)：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學(xué)中撓曲線微分方程2023/2/31782.

位移邊界條件的利用（1）兩端簡支(f)其邊界條件：將其代入(f)式，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程：——與材力中結(jié)果相同2023/2/3179（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）代入式（f），有可求得：2023/2/3180（2）若為平面應(yīng)變問題，則將材料常數(shù)E、μ作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條件為：h/2h/2（中點(diǎn)不動(dòng)）（中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）得到：求得：此結(jié)果與前面情形相同。（為什么？）2023/2/3181（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。按應(yīng)力求解平面問題的基本步驟：按應(yīng)力求解平面問題的方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

可以求解什么問題。2023/2/3182（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件?！肽娼夥ǖ臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。2023/2/3183

簡支梁受均布載荷要點(diǎn)——用半逆解法求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1.

應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應(yīng)力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)2023/2/3184(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同說明：（1）求位移的過程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。2023/2/3185xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函數(shù)(3)由確定：代入相容方程：2023/2/3186xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點(diǎn)：關(guān)于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內(nèi)方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即：對前兩個(gè)方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng)對第三個(gè)方程得：積分得：(d)2023/2/3187(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)將(c)(d)代入(b)，有(e)此處略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)式中含有9個(gè)待定常數(shù)。2023/2/3188(e)2.

應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)2023/2/31893.

對稱條件與邊界條件的應(yīng)用（1）對稱條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由q對稱、幾何對稱：——x的偶函數(shù)——x的奇函數(shù)由此得：要使上式對任意的y成立，須有：2023/2/3190xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊界條件的應(yīng)用：(a)上下邊界（主要邊界）：由此解得：代入應(yīng)力公式2023/2/3191xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右邊界（次要邊界）：（由于對稱，只考慮右邊界即可。）——難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力N=0；彎矩M=0；剪力Q=－ql；2023/2/3192(i)(j)(k)可見，這一條件自動(dòng)滿足。2023/2/3193xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線2023/2/3194xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.

與材料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾個(gè)參數(shù)：截面寬：b=1,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式(p)，有（3-6）2023/2/3195xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比較，得：（1）第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng)h/l<<1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng)h/l較大時(shí)，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說明式（3-6）在兩端不適用。2023/2/3196解題步驟小結(jié)：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（）的變化形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程：確定中的待定函數(shù)形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力分量。由邊界條件確定中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學(xué)平面問題的基本步驟：2023/2/3197應(yīng)力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。求解方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

可以求解什么問題。2023/2/3198——半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。2023/2/31991.

應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應(yīng)力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)簡支梁受均布載荷xyllqlql1yzh/2h/2q2023/2/3200(e)xyllqlql1yzh/2h/2q2023/2/32012.

應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)3.

由邊界條件確定待定常數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q2023/