講義不完全信息靜態(tài)博弈

第5講：不完全信息靜態(tài)博弈主講人：張成科博士廣東工業(yè)大學經(jīng)濟與貿(mào)易學院zhangck@管理博弈論

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GameTheory)一不完全信息靜態(tài)博弈和貝葉斯納什均衡不完全信息博弈海薩尼轉換不完全信息靜態(tài)博弈的戰(zhàn)略式表述和貝葉斯納什均衡二貝葉斯納什均衡應用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡四機制設計理論與顯示原理第四章不完全信息靜態(tài)博弈

------貝葉斯納什均衡不完全信息博弈我們不可能料事如神，也無法掌握所有變因，更無力預測未來，不確定性不可避免。這里主要探討如何在不確定性的情況下做出理性、一致的決策，換句話說，首先必須承認自己雖然沒有辦法做到無所不知，但也不至于一無所知，而應該或盡可能有效運用自己所知的一切為自己謀利。不完全信息博弈“空城計”街亭失守，司馬懿引大軍蜂擁而來，當時孔明身邊只有一班文官，軍士一半已經(jīng)運糧草去了，只有2500軍士在城中。眾官聽得這個消息，盡皆失色。孔明登城望之，果然塵土沖天，魏兵分兩路殺來。孔明令眾將旌旗盡皆藏匿，打開城門，每一門用20軍士，扮作百姓，灑掃街道。而孔明羽扇綸巾，引二小童攜琴一張，于城上敵樓前憑欄而望，焚香操琴。不完全信息博弈司馬懿自馬上遠遠望之，見諸葛亮神態(tài)自若，頓時心生疑忌，猶豫再三，難下決斷。又接到遠山中可能有埋伏的情報，于是叫后軍做前軍，前軍做后軍，急速退去。司馬懿之子司馬昭問：“莫非諸葛亮無軍，故做此態(tài)，父何故便退兵？”司馬懿說：“亮平生謹慎，不曾弄險，今大開城門，必有埋伏，我兵若進，必中計也。”孔明見魏軍退去，撫掌而笑，眾官無不駭然。諸葛亮說，司馬懿“料吾生平謹慎，必不弄險，疑有伏兵，所以退去。吾非行險，蓋因不得已而用之，棄城而去，必為之所擒。”不完全信息博弈-信息的重要性被擒，？不被擒，？被擒，？不被擒，？司馬懿諸葛亮棄城守城進攻撤退司馬懿：兵多將廣，但不知道自己和對方在不同行動策略下的支付；諸葛亮：處于劣勢，但知道博弈的結構，比對方掌握更多的信息。計策：使用各種手段迷惑司馬懿，為的是不讓對方知道其策略的結果（支付）。迫使其認為，撤退比進攻好，降低其進攻的預期收益。如用概率論的術語來說，諸葛亮的做法是加大司馬懿對進攻失敗的主觀概率，使司馬懿認為進攻的期望收益小于撤退的期望收益。

司馬懿關于自己策略的支付的信息是不完全的。不完全信息博弈

在信息不充分的情況下，博弈參與者不是使自己的支付或效用最大，而是使自己的期望效用或支付最大。如讓你在50%的概率獲得100元與10%的概率獲得200元兩者之間選擇的話，前者的期望所得是50元，后者是20元，故選前者。不完全信息博弈在生活中我們也會碰到這樣的問題，比如一個乞丐向你乞討，你愿意幫助別人，但不知道他是真的乞丐還是騙子，該如何決定呢？如果你喜歡與人為善，你可能愿意冒一點上當?shù)奈ｋU，這不等于你愚蠢，而是你認為，幫助一個困境中的人比回絕一個騙子更重要。不完全信息博弈完全信息與不完全信息：每一個參與人對所有其他參與人的（對手）的特征、戰(zhàn)略空間及支付函數(shù)有準確的知識，否則為不完全信息。類似上述情況稱為不完全信息博弈，即在不完全信息博弈中，至少有一個參與人不知道其他參與人的支付函數(shù)。第四章不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡一不完全信息靜態(tài)博弈和貝葉斯納什均衡不完全信息博弈海薩尼轉換不完全信息靜態(tài)博弈的戰(zhàn)略式表述和貝葉斯納什均衡二貝葉斯納什均衡應用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡海薩尼轉換-3,-3-3,-31,01,00,10,00,10,0默許斗爭默許斗爭進入不進入在位者市場進入博弈：不完全信息進入者高成本情況低成本情況

進入者似乎在與兩個在位者博弈，一個是高成本的在位者，一個是低成本的在位者；如果在位者有T種不同的成本函數(shù)進入者就相當于與T個不同的在位者博弈。

1976年以前，博弈論專家認為這樣的不完全信息是沒法分析的。海薩尼轉換海薩尼在1967-1968年提出了一個處理不完全信息的方法-引入一個虛擬的參與人“自然”，自然首先行動，選擇決定參與人的特征（如成本函數(shù)），參與人知道自己的特征，其他參與人不知道。這樣不完全信息博弈就轉換為完全但不完美信息博弈，可以利用標準的分析技術進行分析，這就是“海薩尼轉換”。N高低[P][1-P]不進入進入不進入進入BB合作斗爭合作斗爭(0,300)(40,50)(-10,0)(30,80)(-10,100)進入者在位者在位者(0,400)海薩尼轉換類型：一個參與人擁有的所有的個人信息（即所有不是共同知識的信息）稱為他的類型。根據(jù)這個定義，甚至允許參與人不知道其他參與人是否知道自己的類型。例如：市場進入博弈：在位者不知道進入者是否知道自己是高成本還是低成本，只知道進入者有p’的概率知道自己的成本函數(shù)，（1-p’）的概率不知道自己的成本函數(shù)。這種情況下，進入者也有兩種類型：知道（在位者的成本）或不知道（在位者的成本）。例如：在談判中，甲方知道自己是強硬派或妥協(xié)派，乙方知道自己是否知道甲方是強硬派或妥協(xié)派，但甲方不知道乙方是否知道自己是強硬派還是妥協(xié)派，則甲方有兩種類型：強硬派或妥協(xié)派，乙方有兩種類型：知道或不知道。不完全信息意味著，至少有一個參與人有多個類型。真正的“信息不對稱”一個古董商發(fā)現(xiàn)一個人用珍貴的茶碟做貓食碗，于是假裝對這只貓很感興趣，要叢主人手里買下，主人不賣，為此古董商出了大價錢。成交之后，古董商裝做不在意地說：這個碟子它已經(jīng)用慣了，就一塊送給我吧。貓主人不干了：你知道用這個碟子，我已經(jīng)賣了多少只貓了？關于完全信息與不完全信息的關系如果參與人i的類型只包含一個元素，即每個參與人只有一種類型，則該博弈退化為完全信息靜態(tài)博弈，即完全信息靜態(tài)博弈是不完全信息靜態(tài)博弈的特例。Bayes法則:在日常生活中,當面臨不確定時,在任何一個時點上,我們對某件事情發(fā)生的可能性有一個判斷(先驗概率),然后,會根據(jù)新的信息來修正這個判斷(后驗概率),Bayes法則就是這樣的方法。設參與人的類型是獨立分布的,參與人i有K個可能的類型;有H個可能的行動,θk和ak分別表示特定的類型和行動,則P(θk)≥0,∑P(θk)=1,i選擇ak的概率為:P{aK}=P(a1｜θ1)P(θ1)+···+P(aK｜θK)P(θK)=Bayes公式:Bayes法則要求P(aK)>0,否則后驗概率無意義。如果P(aK)=0,我們允許P(θK｜aK)在區(qū)間[0,1]區(qū)間取任何值,只要所取的值與均衡策略相容。在動態(tài)博弈中,P(aK)=0對應的則為非均衡路徑上的信息集。海薩尼轉換設θi表示參與人i的一個特定的類型，根據(jù)海薩尼公理：假定參與人類型的分布函數(shù)P（θ1,…,θn)是所有參與人的共同知識，所有參與人知道P（θ1,…,θn)，所有參與人知道所有參與人知道P（θ1,…,θn)，如此等等。這意味著在進入市場的博弈中，如果進入者有一種類型，在位者有兩種類型，那么p是共同知識，即進入者知道在位者是高成本的概率是p，進入者知道在位者知道進入者知道在位者是高成本的概率是p，如此等等，即在博弈開始時，所有參與人有關自然行動的信念（belief）是相同的。第四章不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡一不完全信息靜態(tài)博弈和貝葉斯納什均衡不完全信息博弈海薩尼轉換不完全信息靜態(tài)博弈的戰(zhàn)略式表述和貝葉斯納什均衡二貝葉斯納什均衡應用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡四機制設計理論與顯示原理不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡在不完全信息靜態(tài)博弈中，所有參與人同時行動，其戰(zhàn)略空間等于行動空間，但是參與人i的行動空間可能依賴于其類型，也就是行動空間是類型依存的。類似的，其支付函數(shù)也是類型依存的。如企業(yè)能選擇什么產(chǎn)量依賴于它的成本函數(shù)，一個人能干什么依賴于它的能力等。貝葉斯納什均衡是完全信息靜態(tài)博弈納什均衡概念在不完全信息靜態(tài)博弈上的擴展，不完全信息靜態(tài)博弈又叫做靜態(tài)貝葉斯博弈。不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡靜態(tài)貝葉斯博弈的時間順序為：1、自然選擇類型向量，參與人i能觀測到自己的類型，但參與人j只知道除i之外所有參與人類型，但不知道參與人i的類型。2、n個參與人同時行動；3、參與人i得到類型依存支付函數(shù)。給定參與人i只知道自己的類型而不知道其他參與人的類型，參與人i將選擇使自己的效應最大化的期望效用。貝葉斯納什均衡：n人不完全信息靜態(tài)博弈的純戰(zhàn)略均衡是一個類型依存戰(zhàn)略組合，其中每個參與人i在給定自己的類型θi和其他參與人類型依存戰(zhàn)略的情況下，最大化自己的期望效用。靜態(tài)貝葉斯博弈定義n人靜態(tài)貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式表述包括：參與人的類型空間Θ1,…,Θn，條件概率p1,…,pn，類型依存戰(zhàn)略空間A1(θ1),…,An(θn)和類型依存支付函數(shù)u1(a1,…,an;θ1),…，un(a1,…,an;θn)。參與人i知道自己的類型θi∈Θi，條件概率pi=pi(θ-i︱θi)描述給定自己屬于θi的情況下，參與人i有關其他參與人類型θ-i∈Θ-i的不確定性?？梢杂肎={A1,…,An;θ1,…,θn;p1,…,pn;u1,…,un}代表這個博弈。靜態(tài)貝葉斯博弈的時間順序為：1、自然選擇類型向量θ=(θ1,…,θn)，參與人i觀測到θi，但參與人j(≠i)只知道pj(θ-j︱θj)，觀測不到θi；2、n個參與人同時選擇行動a=(a1,…,an)，其中ai(θi)∈Ai(θi)；3、參與人i得到類型依存支付函數(shù)ui(a1,…,an;θi)。

靜態(tài)貝葉斯博弈定義給定參與人i只知道自己的類型θi而不知道其他參與人的類型θ-i

，參與人i將選擇行動ai(θi)最大化自己的期望效用。參與人i的期望效用函數(shù)定義為

vi=∑pi(θ-i︱θi)ui(ai(θi),a-i(θ-i);θi,θ-i)戰(zhàn)略：在n人靜態(tài)貝葉斯博弈G={A1,…,An;θ1,…,θn;p1,…,pn;u1,…,un}中，參與人i的戰(zhàn)略是一個類型依存函數(shù)ai(θi)，其中對Θi中的每一個類型θi，ai(θi)包含了自然賦予i的可能類型為ai(θi)時，i將從自己的戰(zhàn)略空間Ai(θi)中中選擇戰(zhàn)略ai(θi)。靜態(tài)貝葉斯博弈定義貝葉斯納什均衡：n人不完全信息靜態(tài)博弈G={A1,…,An;θ1,…,θn;p1,…,pn;u1,…,un}的純戰(zhàn)略均衡是一個類型依存戰(zhàn)略組合{ai*(θi)}ni=1

，其中每個參與人i在給定自己的類型θi和其他參與人類型依存戰(zhàn)略a-i*(θ-i)的情況下，最大化自己的期望效用函數(shù)vi

。與純戰(zhàn)略納什均衡不同的是，在貝葉斯均衡中參與人i只知道具有類型θj的參與人j將選擇aj(θj)但并不知道θj。因此，即使純戰(zhàn)略選擇也必須取支付函數(shù)的期望值。

二貝葉斯納什均衡應用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡第四章不完全信息靜態(tài)博弈（續(xù)）N高低[P][1-P]不進入進入不進入進入BB合作斗爭合作斗爭(0,300)(40,50)(-10,0)(30,80)(-10,100)進入者在位者在位者(0,400)市場進入博弈在市場進入的例子里，均衡戰(zhàn)略是：高成本的在位者選擇默許，低成本的在位者選擇斗爭。只有當高成本的概率p=1/5時，進入者才選擇進入，否則不進入。不完全信息靜態(tài)博弈

-貝葉斯納什均衡假定參與人i的類型依存活動空間和參與人i的效用函數(shù)是共同知識，其他參與人不知道參與人i的類型，但知道其戰(zhàn)略空間和支付函數(shù)是如何依賴于他的類型的。給定參與人i只知道自己的類型而不知道其他參與人的類型，參與人i將選擇使自己的效應最大化的期望效用。貝葉斯納什均衡：n人不完全信息靜態(tài)博弈的純戰(zhàn)略均衡是一個類型依存戰(zhàn)略組合，其中每個參與人i在給定自己的類型θi和其他參與人類型依存戰(zhàn)略的情況下，最大化自己的期望效用。在市場進入的例子里，高成本的在位者選擇默許，低成本的在位者選擇斗爭，只有當如果p>=1/5時，進入者才選擇進入。不完全信息庫諾特模型企業(yè)1企業(yè)2參與人：企業(yè)1、企業(yè)2；行動順序：同時行動不完全信息：企業(yè)1單位成本c1是共同知識，企業(yè)2的成本可能是c2l或c2h，企業(yè)1只知道c2=c2l的可能性是1/2，這是共同知識。不完全信息庫諾特模型qi

：第i個企業(yè)的產(chǎn)量Ci：代表第i個企業(yè)的成本假定逆需求函數(shù)為：第i個企業(yè)的利潤函數(shù)為：企業(yè)1企業(yè)2假定a=2，c1=1，c2l=3/4，c2h=5/4。給定企業(yè)2知道企業(yè)1的成本，企業(yè)2將選擇q2最大化利潤函數(shù)：t=a-c=a-3/4=5/4或t=a-5/4=3/4依賴于企業(yè)2的實際成本。從最優(yōu)化一階條件可得企業(yè)2的反應函數(shù)為：企業(yè)1企業(yè)2不完全信息庫諾特模型不完全信息庫諾特模型也就是說，企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量不僅依賴于企業(yè)的產(chǎn)量，而且依賴于自己的成本，令q2l為t=5/4時企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量，q2h為t=3/4時企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量。那么，

q2l=1/2*（5/4-q1）；q2h=1/2*（3/4-q1）

企業(yè)1不知道企業(yè)2的真實成本從而不知道企業(yè)2的最優(yōu)反應究竟是q2l還是q2h，因此企業(yè)1將選擇q1最大化下列利潤函數(shù)：不完全信息庫諾特模型最優(yōu)化一階條件得企業(yè)1的反應函數(shù)為：是企業(yè)1關于企業(yè)2產(chǎn)量的期望值均衡意味著兩個反應函數(shù)同時成立，解兩個反應函數(shù)得貝葉斯均衡為：

拍賣理論簡介拍賣或招標有兩個基本功能，一是揭示信息，二是減少代理成本。拍賣是博弈論重要的分支。著名拍賣理論專家維克利(Vickrey)，由于在拍賣及在拍賣基礎上衍生的機制設計理論的一些原創(chuàng)新工作，獲得了1996年的諾貝爾經(jīng)濟學獎。一級密封價格拍賣（招標）當一件物品對買者的價值買者比賣者更清楚時，賣者一般不愿意首先提出價格，而常常采用拍賣的方式以獲得可能的最高價格。這種情況在古董和名畫的交易中特別普遍。一級密封價格拍賣是許多拍賣方式中的一種。在這種拍賣中，投標人同時將自己的出價寫下來裝入一個信封，密封后交給拍賣人，拍賣人打開信封，出價最高者是贏者，按他的出價支付價格，拿走被拍賣的物品。這里，每個投標人的戰(zhàn)略是根據(jù)自己對該物品的評價和對其他投標人評價的判斷來選擇自己的出價，贏者的支付是他對物品的評價減去他的出價，其他投標人的支付為零。首先考慮兩個投標人的情況，i=1，2。令bi≥0是投標人i的出價，vi為拍賣物品對投標人i的價值。假定vi只有i知道（因而vi是投標人i的類型），但兩個投標人都知道vi獨立地取自定義在區(qū)間[0,1]上的均勻分布函數(shù)。投標人i的支付如下：這里，我們假定如果兩個投標人出價相同，拍賣品在兩人之間隨機的分配。一級密封價格拍賣（招標）假定投標人i的出價bi(vi)是其價值vi的嚴格遞增可微函數(shù)。顯然，bi>1≥vi不可能是最優(yōu)的，因為沒有人愿意付出比物品價值本身更高的價格。由于博弈的對稱性，我們可只需考慮對稱的均衡出價戰(zhàn)略：b=b*(v)。給定v

和b，投標人i的期望支付為：這里Prob（·）代表bj<b的概率，其中bj是投標人j的出價戰(zhàn)略。因為出價戰(zhàn)略是嚴格遞增的，Prob（bj<b

）=Prob（

bj≤b

）。期望支付的第一項（v-b）是給定贏的情況下投標人i的凈所得，第二項Prob（·）是贏的概率。一級密封價格拍賣（招標）根據(jù)對稱性，bj=b*(vj)，所以這里，φ(b)是b*的逆函數(shù)（即當投標人選擇b時他的價值是φ(b)）。因此，投標人i面臨的問題是：最優(yōu)化的一階條件是：一級密封價格拍賣（招標）如果b*(·)是投標人i的最優(yōu)策略，φ(b)=v。因此，上述微分方程可以寫成：解得：就是說，這個博弈的貝葉斯均衡是。每個投標人的出價是其實際價值的一半：。在均衡情況下，被拍賣品歸評價最高的投標人所有，這從資源配置的角度講是有效率的，但賣者只得到買者價值的一半。一級密封價格拍賣（招標）可以證明，投標人出價與實際價值之間的差距隨投標人數(shù)的增加而遞減。假定有n個投標人，每個投標人的價值vi具有獨立的、相同的定義在[0，1]區(qū)間上的均勻分布，如果評價為v的投標人i出價b，他的期望支付函數(shù)為：最優(yōu)化的一階條件為：

或一級密封價格拍賣（招標）一級密封價格拍賣（招標）因為在均衡情況下φ(b)=v，一階條件可以寫成：

解上述微分方程得：顯然，b*(v)隨著n的增加而增加。特別地，當n→∞時，b*→

v

。就是說，投標人越多，賣方能得到的價格就越高；當投標人趨于無窮時，賣方幾乎可以得到買方價值的全部。所以，讓更多的投標人加入競標是賣方的利益所在。在公共管理中，政府的采購和公共工程招投標中通常規(guī)定要進行公開招標，并在參加競標的公司數(shù)目上有下限規(guī)定，其緣故正是如此，因為更多的競爭者參加投標會壓低工程報價，從而使政府開支得到一定程度的節(jié)省。二貝葉斯納什均衡應用舉例三貝葉斯納什均衡與混合戰(zhàn)略均衡第四章不完全信息靜態(tài)博弈（續(xù)）4.3

貝葉斯博弈與混合戰(zhàn)略均衡例抓錢(grabthedolla)博弈:

每個參與人有兩個可能的行動:投資(“抓”)或不投資,在完全相信博弈中兩人的得益如下:

抓不抓抓-1,-11,0

不抓0,10,0該博弈有唯一的混合策略Nash均衡σ1=σ2=(1/2,1/2)?，F(xiàn)在我們稍微擾動一下得益矩陣,即對部分得益賦予一個小的“隨機干擾”:

投資不投資

投資-1,-11+θ1,0

不投資0,1+θ20,0

其中θi在[-ε,ε]上均勻地分布。12這是一個不完全信息的Bayes博弈，如果把“抓錢”看作投資，不論公司屬于什么類型，它們依然各有兩個策略：投資或不投資。信念密度為:如果當θ1超過某臨界值x時，公司1投資，否則就不投資；同樣，如果θ2超過某臨界值y時，公司2投資，否則就不投資。X、y∈[-ε,ε]。公司1投資時的期望利潤為:時公司1投資。類似地，只有當時公司2投資。將上面兩式聯(lián)立，解得：x=y=0。于是我們得到對稱的純策略Bayes均衡解為：公司i當θi≥0時投資，當θi<0時不投資。從以上分析可知，每家公司均以1/2的概率投資，1/2的概率不投資。當ε→0時，不完全信息靜態(tài)博弈趨于完全信息靜態(tài)博弈，而完全信息靜態(tài)博弈的混合策略Nash均衡{(1/2,1/2),(1/2,1/2)}可以看作這一系列Bayes博弈均衡的極限。例2性別戰(zhàn)博弈該博弈有兩個純策策Nash均衡和一個混合策略Nash均衡，分別為：(戲,戲)、(足球,足球)和{(2/3,1/3),(1/3,2/3)}。戲足球戲2,10,0足球0,01,2女男Ⅰ例2性別戰(zhàn)博弈明顯地，t1應有一個臨界值c1，超過c1女方就會選擇“戲”，同樣t2也有一個臨界值c2，超過c2時男方就會選擇“足球”。對該博弈稍作擾動，變?yōu)橄率霾┺模簍1為女方的私人信息，t2為男方的私人信息。設類型t1、t2為來自[0，x]上均勻分布的獨立隨機變量。在該博弈中，行動空間A1=A2={戲，足球}，類型空間T1=T2=[0,x],信念密度為p1(t1)=p2(t2)=1/x戲足球戲2+t1,10,0足球0.01,2+t2男女Ⅱ現(xiàn)在來尋求Bayes博弈的純策略均衡，在這個均衡中，女以(x－c1)/x的概率看戲；男以(x－c2)/x的概率看足球。對給定的x，要求出c1、c2的確定值，使上述策略構成純策略Baye