流體力學(xué)-第2章(W)

流體力學(xué)暖通教研室二00八年周傳輝編zhou3@126.comFluidMechanicsWuhanUniversityofScienceandTechnology1Chapter2FluidStatics

第二章流體靜力學(xué)第一節(jié)流體靜壓強(qiáng)及其特性第二節(jié)流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律第三節(jié)壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和度量單位第四節(jié)液柱測壓計(jì)第五節(jié)作用于平面的液體壓力第六節(jié)作用于曲面的液體壓力第七節(jié)流體平衡微分方程第八節(jié)液體的相對平衡2流體靜力學(xué)著重研究流體在外力作用下處于平衡狀態(tài)的規(guī)律及其在工程實(shí)際中的應(yīng)用。這里所指的靜止包括絕對靜止和相對靜止兩種。以地球作為慣性參考坐標(biāo)系，當(dāng)流體相對于慣性坐標(biāo)系靜止時(shí)，稱流體處于絕對靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)流體相對于非慣性參考坐標(biāo)系靜止時(shí)，稱流體處于相對靜止?fàn)顟B(tài)。流體處于靜止或相對靜止?fàn)顟B(tài)，兩者都表現(xiàn)不出黏性作用，即切向應(yīng)力都等于零。所以，流體靜力學(xué)中所得的結(jié)論，無論對實(shí)際流體還是理想流體都是適用的。本章的流體模型：連續(xù)介質(zhì)、不可壓縮、無粘流體3第一節(jié)流體靜壓強(qiáng)及其特性一、流體靜壓強(qiáng)的定義面積ΔA上的平均流體靜壓強(qiáng)PA點(diǎn)上的流體靜壓強(qiáng)P流體靜壓力：作用在某一面積上的總壓力；流體靜壓強(qiáng)：作用在某一面積上的平均壓強(qiáng)或某一點(diǎn)的壓強(qiáng)。4第一節(jié)流體靜壓強(qiáng)及其特性二、流體靜壓強(qiáng)的特性1、靜壓強(qiáng)的方向—

沿作用面的內(nèi)法線方向2、任一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方向無關(guān)，只與該點(diǎn)的位置有關(guān)流體靜力學(xué)的根本問題是研究流體靜壓強(qiáng)的問題；研究流體靜壓強(qiáng)的根本問題就是研究流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律問題即求解壓強(qiáng)函數(shù)p=f(x,y,z)。5pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜壓強(qiáng)作用在ABC面上的流體靜壓強(qiáng)作用在BCD面上的靜壓強(qiáng)作用在ABD面上的靜壓強(qiáng)微元四面體受力分析6表面力質(zhì)量力法線方向與坐標(biāo)軸之間的夾角7第二節(jié)流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律一、流體靜壓強(qiáng)的基本方程兩端壓力P1、P2與重力的軸向分力G·cosα三個(gè)力處于平衡：P2-P1-G·cosα＝0普遍關(guān)系式：靜止液體中任意兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差等于兩點(diǎn)間的深度差乘以容重。靜力學(xué)的基本方程：p=p0+γ·h

p－液體內(nèi)某點(diǎn)的壓強(qiáng)，Pap0－液面氣體壓強(qiáng)，Paγ－液體的容重，N/m3h－某點(diǎn)在液面下的深度，m壓強(qiáng)增加的方向就是質(zhì)量力的作用方向8第二節(jié)流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律液體靜力學(xué)方程的推證（用坐標(biāo)表示）：－位置水頭（ElevationHead）－壓強(qiáng)水頭（PressureHead）－測壓管水頭（PiezpmetricHead）。結(jié)論：在同一種液體中，無論哪一點(diǎn)(Z+P/γ)總是一個(gè)常數(shù)。9第二節(jié)流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律結(jié)論：在同一種液體中，無論哪一點(diǎn)(Z+P/γ)總是一個(gè)常數(shù)。10二、分界面和自由面是水平面反證法：兩種液體γ2>γ1,

設(shè)分界面不是水平面而是傾斜面。靜力學(xué)基本方程的適用條件：1.靜止2.連通(連續(xù))3.連通的介質(zhì)為同一均質(zhì)流體4.質(zhì)量力僅有重力5.同一水平面11三、氣體壓強(qiáng)的計(jì)算氣體容重很小，一般忽略γh的影響。

p=p0(1)水平面是等壓面p1=p2說明：靜止非均質(zhì)流體的水平面仍然是等壓面。(2)水平面是等容重面Δpa=γaΔhΔpb=γbΔh說明：水平面不僅是等壓面而且還是等容重面，即：等密面。四、等密面是水平面γa

=γb大氣和靜止的水體、室內(nèi)的空氣、電熱水器、太陽能熱水器等均按密度和溫度分層。12第三節(jié)壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和度量單位一、壓強(qiáng)的兩種計(jì)算基準(zhǔn)絕對壓強(qiáng)(P’):以絕對真空為零點(diǎn)起算的壓強(qiáng)。相對壓強(qiáng)(P):以當(dāng)?shù)赝叱痰拇髿鈮簭?qiáng)Pa為零點(diǎn)起算的壓強(qiáng)。當(dāng)?shù)卮髿鈮篜a＝0三者之間的關(guān)系：P=P’-Pa絕對壓強(qiáng)：AbsolutePressure。當(dāng)?shù)卮髿鈮海篈tomsphericPressure。真空度：Vacuum。表壓：GagePressure正壓：相對壓強(qiáng)為正值（壓力表讀數(shù)）。負(fù)壓：相對壓強(qiáng)為負(fù)值。真空度：負(fù)壓的絕對值(真空表讀數(shù)，用Pv表示)。13第三節(jié)壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和度量單位二、壓強(qiáng)的三種度量單位1.從壓強(qiáng)的基本定義出發(fā)，用單位面積上的力表示。國際單位：Pa[N/㎡]

工程單位：kgf/㎡2.用大氣壓的倍數(shù)表示。標(biāo)準(zhǔn)大氣壓：atm(0℃，海平面)

工程大氣壓：at（1kgf/㎡）3.用液柱的高度來表示。水柱高度：mH2O

汞柱高度：mmHg常用換算關(guān)系：1atm=1.03323at=101325Pa=1.01325bar=760mmHg=10332.3mmH2O1at=98070Pa=10000mmH2O=735.6mmHg1mmH2O≈10Pa14壓強(qiáng)度量方法單位名稱符號(hào)單位換算關(guān)系應(yīng)力單位法帕pa1Pa=1N/m2液柱高度法米水柱mH2O1mH2O=9.8103pa液柱高度法毫米汞柱mmHg1mmHg=13.6mmH2O=133.3Pa大氣壓倍數(shù)法標(biāo)準(zhǔn)大氣壓atm1atm=10.3323mH2O=760mmHg=101325Pa大氣壓倍數(shù)法工程大氣壓at1at=10mH2O=735.6mmHg=9.8104Pa壓強(qiáng)度量單位的換算關(guān)系15第四節(jié)液柱測壓計(jì)一、測壓管（Piezometer

）測壓管：一根玻璃直管或U形管，一端接在被測器壁的孔口上，另一端與大氣相通。PA為正壓PA＝γhAPA為負(fù)壓PA＋γh’A＝0PA＝－γh’APv＝γh’A忽略氣柱高度產(chǎn)生的壓強(qiáng)，PA為正壓PA＝γhA忽略氣柱高度產(chǎn)生的壓強(qiáng)，PA為負(fù)壓PA＋γh’A＝0PA＝－γh’APv＝γh’A16二、壓差計(jì)

A、B為同種液體A、B同種、同高17三、微壓計(jì)P1-P2=γL·sin(a)作業(yè)：2-12-32-122-132-172-23四、復(fù)式水銀壓計(jì)18【例】已知密閉水箱中的液面高度h4=60mm，測壓管中的液面高度h1=100cm，Ｕ形管中右端工作介質(zhì)高度，如圖所示。試求Ｕ形管中左端工作介質(zhì)高度h3為多少？

【解】列1—1截面等壓面方程，則

（a）列2—2截面等壓面方程，則

（b）把式（a）代入式（b）中

=0.1365(m)=136.5(mm)19第五節(jié)作用于平面的液體壓力一、解析法hc－受壓面形心在水面下的淹沒深度pc－受壓面形心的靜壓強(qiáng)A－受壓面積受壓面積A對x軸的靜面矩。20力大?。鹤饔迷谌我馕恢谩⑷我庑螤钇矫嫔系乃o壓力值等于受壓面面積與其形心點(diǎn)所受水靜壓強(qiáng)的乘積。方向：沿受壓面的法向方向。作用點(diǎn)：？關(guān)于水靜壓力的作用點(diǎn)（即壓力中心）微小壓力dP

對x軸的力矩：

各微小力矩的總和為：受壓面積A對x軸的慣性矩：

水靜壓力P對x軸的力矩：力矩守恒：慣性矩性質(zhì)：

水靜壓力P作用點(diǎn)：ye－壓力中心沿y軸方向至受壓面形心的距離；yD－壓力中心沿y軸方向至液面交線的距離；yc－受壓面形心沿y軸方向至液面交線的距離；Jc－受壓面通過形心且平行于液面交線軸的慣性矩；A－受壓面受壓部分的面積。21靜水奇象靜止液體作用在水平面上的總壓力。由于水平面是水平放置的，壓強(qiáng)分布是均勻分布的，那么僅由液體作用在底面為A、液深為h的水平面的總壓力：

F=ρghA＝γhA

總壓力的作用點(diǎn)是水平面面積的形心?？梢姡瑑H由液體產(chǎn)生作用在水平平面上的總壓力同樣只與液體的密度、平面面積和液深有關(guān)。如圖所示，四個(gè)容器裝有同一種液體，根據(jù)上式，液體對容器底部的作用力是相同的，而與容器的形狀無關(guān)，這一現(xiàn)象稱為靜水奇象。換句話說，液體作用在容器上的總壓力不要和容器所盛液體的重量相混淆。工程上可以利用這一現(xiàn)象對容器底部進(jìn)行嚴(yán)密性檢查。22折合壓強(qiáng)的計(jì)算方法

當(dāng)容器處于密封狀態(tài)時(shí)，液面的壓強(qiáng)可能會(huì)大于或小于Pa，此時(shí)可以把壓強(qiáng)與大氣壓的差值折合成液柱的高度，從而構(gòu)造一個(gè)假想的自由面，相當(dāng)于打開容器加入或取走一些液體，因此，我們就可以利用前面介紹的方法進(jìn)行計(jì)算了，如果容器中裝有兩種不同容重的液體也可以采用這種方法進(jìn)行處理。23常見圖形的幾何特征量24二、圖解法(規(guī)則的矩形)繪制水靜壓強(qiáng)分布圖對于高為h，寬為b，頂邊與水面齊平的鉛直矩形平面AA’B’B,由水靜壓強(qiáng)分布圖計(jì)算水靜壓力：P的作用點(diǎn)：通過Ω的形心并位于對稱軸上，如圖,D點(diǎn)位于水面下的2h/3處。25例題2－5一鉛直矩形閘門，頂邊水平，所在水深h1＝1m，閘門高h(yuǎn)＝2m，寬b＝1.5m，試用用解析法和圖解法水靜壓力P的大小及作用點(diǎn)。解：解析法壓力中心用26例題2－5圖解法壓力中心的確定方法：直接繪制梯形的形心，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，對角線的交點(diǎn)就是梯形的形心位置。也可以把梯形分成一個(gè)三角形和一個(gè)矩形，用合力矩＝分力矩之和確定合力作用點(diǎn)。習(xí)題課27第六節(jié)作用于曲面的液體壓力設(shè)垂直于屏幕的柱體

：長度為L，受壓曲面為AB。作用在dA上的水靜壓力:dP=pdA=γhdA水平分力為dPx：鉛直分力為dPz：壓力體xz28底部頂部側(cè)部體積形心Pz作用線通過壓力體的體積形心

29實(shí)壓力體：當(dāng)液體與壓力體在同一側(cè)時(shí)就叫實(shí)壓力體，形象地講就是壓力體里裝有液體（不一定裝滿）。此時(shí)由于液體的作用，PZ的方向向下。虛壓力體：液體與壓力體不在同一側(cè)就叫虛壓力體，這時(shí)壓力體內(nèi)沒有任何液體，PZ的方向向上。壓力體：壓力體一般由三種面組成的一個(gè)封閉體底面：受壓曲面。頂面：受壓曲面在自由面（相對壓強(qiáng)為零）或其延伸面上的投影。側(cè)面：受壓曲面邊界線所做的鉛直投影面。壓力體：受壓曲面AB與其在自由面上的投影，面積CD所組成的柱體ABCD的體積。由壓力體的定義可知：作用于曲面上的水靜壓力P的鉛直分力Pz＝其壓力體內(nèi)的液體的重量。PZ的作用線一定要通過壓力體的形心，有了Px，Pz，就可以求出合力的大小和方向力的方向不是向上就是向下，確定的方法是看壓力體與受壓曲面的相對位置。30蓄水容器上有三個(gè)半球形的蓋已知：H＝2.5m，h＝1.5mR＝0.5m。求：作用于三個(gè)半球形蓋的水靜壓力。例題2－6解：1）水平分力：PAX＝0、PBX＝02）鉛直分力：31不論是潛體還是浮體，Px＝0。因?yàn)殂U直方向的投影面積相等，因此相互抵消。Pz：壓力體內(nèi)液體的重量。潛體的壓力體就是物體的體積，因?yàn)樯舷旅娴膲毫w抵消掉一部分。浮體的壓力體就是浸沒在液體中體積。Pz就是浮力的大小等于物體排開液體的重量。（阿基米德浮力定律）

G>Pz——沉底重力和浮力之間的關(guān)系：G=Pz——可處處平衡(潛水艇、魚類)G<Pz——浮出水面，直到G=Pz’.特例－潛體和浮體作業(yè)：2-292-302-332-372-39例題32第七節(jié)流體平衡微分方程一、流體平衡微分方程式及其積分受力分析：1.作用于六面體的表面力

2.作用于六面體的質(zhì)量力33壓強(qiáng)P＝P(x,y,z)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，由全微分定理,等號(hào)左邊是壓強(qiáng)P的全微分。如果流體是不可壓縮的，密度ρ等于常數(shù)，右邊括號(hào)內(nèi)的數(shù)值必然是某一函數(shù)

W(x,y,z)的全微分。滿足的函數(shù)W(x,y,z)稱為勢函數(shù)。具有這樣勢函數(shù)的質(zhì)量力稱為有勢的力。比如：重力、牽連慣性力等都是有勢的力。由此我們可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：液體只有在有勢的質(zhì)量力的作用下才能平衡

把勢函數(shù)帶入壓力分布函數(shù)，得不可壓縮流體平衡微分方程積分后的普遍關(guān)系式把每一項(xiàng)乘以微元長度再相加。34等壓面：流體中壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)組成的平面或曲面。等壓面就是等勢面，等壓面方程為：Xdx+Ydy+Zdz=0表明：當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)沿等壓面移動(dòng)距離ds時(shí)，質(zhì)量力所作的微功為零。而質(zhì)量力和位移ds都不為零，所以，必然是等壓面與質(zhì)量力正交。這就是等壓面的重要特性。比如：靜止的流體，質(zhì)量力只有重力，方向?yàn)殂U直向下，所以水平面就是等壓面。比如：當(dāng)質(zhì)量力僅為重力時(shí)，X＝0；Y＝0；Z＝－g。帶入全微分式，得，積分得：p＝－γz＋c變形：即流體靜力學(xué)基本方程式。二、等壓面及其特性35第八節(jié)液體的相對平衡一、等加速直線運(yùn)動(dòng)中液體的平衡靜止液體等加速直線運(yùn)動(dòng)液體原點(diǎn)取在自由面與對稱軸的交點(diǎn)。這時(shí)單位質(zhì)量力就有兩個(gè),即牽連慣性力：X＝－aY＝0重力：Z＝－g代入壓強(qiáng)全微分方程中,得：dP＝－ρ（adx＋gdz）

積分得：P＝－ρ（ax＋gz）＋C由邊界條件：x＝z＝0,P=Pa得C＝Pa。等壓面的方程：p＝常數(shù)即：ax＋gz＝const，寫成直線方程：z＝－ax/g＋c’c’取不同值時(shí)表示不同的等壓面，即等壓面是一簇傾斜的平面，斜率為－a/g。質(zhì)量力的合力的斜率為g/a,二者相乘剛好等于－1，說明等壓面與質(zhì)量力是正交的。相對壓強(qiáng)：36二、容器等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中液體的平衡單位質(zhì)量的重力在各軸向的分力為：X1=0;Y1=0;Z1=－gdp=ρ(ω2xdx+ω2ydy-gdz)邊界條件：x＝y(tǒng)＝z＝0,p=pa得C＝pa牽連離心慣性力為：

m——質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量ω——旋轉(zhuǎn)角速度r——A點(diǎn)距z軸的半徑。單位質(zhì)量的分力37等壓面方程為：自由面方程：p＝0

作業(yè)：2-422-47靜止液體沿鉛直軸等角速旋轉(zhuǎn)液體381.盛滿水的圓柱形容器，蓋板中心開一個(gè)小孔

邊界條件：r＝0，Z＝0，P＝0，得,C=0坐標(biāo)原點(diǎn)取在蓋板的中心處，把Z＝0帶入壓強(qiáng)分布方程，得蓋板上的壓強(qiáng)分布為：離心鑄造機(jī)392.盛滿水的圓柱形容器，蓋板邊緣開一個(gè)小孔邊界條件：r＝R，Z＝0，P＝Pa，得,坐標(biāo)原點(diǎn)取在蓋板的中心處，由壓強(qiáng)分布通式：離心風(fēng)機(jī)和水泵403.開敞容器中流體混有雜質(zhì)

當(dāng)m1＝m時(shí),合力ΔP=0,不能清除雜質(zhì)。當(dāng)m1>m時(shí),合力ΔP向右下方傾斜,

雜質(zhì)沉于底部（除塵器）。當(dāng)m1<m時(shí),合力ΔP向左上方傾斜,

雜質(zhì)上浮于表面（回收汽油和油脂）離心分離器和除塵器41例題2-8一半徑為R＝30cm的圓柱形容器中盛滿水，然后用螺栓連接的蓋板封閉，蓋板中心開有一圓形小孔。當(dāng)容器以n＝300r/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)。求：作用于蓋板螺栓上的力。解：在蓋板上取一個(gè)環(huán)形微元，面積為2πrdr，微環(huán)的壓力為：蓋板的壓強(qiáng)分布為：作用于蓋板上的水靜壓力42習(xí)題課例題1:如圖所示容器，上層為空氣，中層為的石油，下層為的甘油，試求：當(dāng)測壓管中的甘油表面高程為時(shí)壓力表的讀數(shù)。

解：設(shè)甘油密度為，

石

油

密

度

為

做

等

壓

面

1--1，

則

有 43習(xí)題課例題2.某處設(shè)置安全閘門如圖所示，閘門寬b=0.6m，高h(yuǎn)1=1m，鉸接裝置于距離底h2=0.4m，閘門可繞A

點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求閘門自動(dòng)打開的水深h

為多少米。解：當(dāng)

時(shí)，

閘

門

自

動(dòng)

開

啟

得

將hD

代

入

上

述

不

等

式44習(xí)題課例題3.畫出圖中圓柱曲面上的壓力體，并標(biāo)明方向(同種工質(zhì))45Projection投影圖confin限制coincident一致的Exert施加Uppermost最上邊Elevation海拔4647習(xí)題課例題4.有一盛水的開口容器以的加速度3.6m/s2

沿與水平面成30o

夾角的斜面向上運(yùn)動(dòng)，試求容器中水面的傾角.解：由液體平衡微分方程 將以上關(guān)系代入平衡微分方程，得液面方程：在液面上為大氣壓，48習(xí)題課例題5.如圖所示盛水U

形管，靜止時(shí)，兩支管水面距離管口均為h，當(dāng)U

形管繞OZ

軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，求保持液體不溢出管口的最大角速度ωmax

。解：由液體質(zhì)量守恒知，管液體上升高度與管液體下降高度應(yīng)相等，且兩者液面同在一等壓面上，滿足等壓面方程：

液

體

不

溢

出，

要

求以r1=a,r2=b

分

別

代

入

等

壓

面

方

程

得：

49習(xí)題課例題6．試?yán)L出封閉容器側(cè)壁AB

上的相對壓強(qiáng)分布，并注明大小（設(shè)液面相對壓強(qiáng)）。ABhp0rABhp0rABhp0rgg加速上升自由落體50已知:一封閉圓筒，高H=2m，半徑R=0.5m，注水高H0=1.5m，壓強(qiáng)為 p0=1000N/m2。圓筒開始旋轉(zhuǎn)并逐漸加速

求:(1）當(dāng)水面剛接觸圓筒頂部時(shí)的ω1、pc1及pw1；(1)當(dāng)邊緣水位剛達(dá)頂部時(shí)，由自由面方程式

(2)當(dāng)氣體剛接觸圓筒底部的ω2、pc2及pw解：建立坐標(biāo)系oxyz

,原點(diǎn)o在底部中心，靜止時(shí)z0=H0。51pc1=p0+ρgz0=1000+9807×1=10806N/m2

pw1=p0+ρgH=1000+9807×2=20612N/m2

(2)當(dāng)氣體接觸圓筒底部時(shí)，設(shè)頂部液面線的半徑為r2，由空氣容積不變

取r=0.5m,zs

=2

m,z0=1

m52討論：在第二種情況中,若沒有頂蓋限制，邊緣水位將上升至53xycydybh常用幾何形狀的慣性矩求解54xyyxrcy=rsindy=rcosdx=rcos55名詞術(shù)語質(zhì)量力：作用于流體質(zhì)量上的非接觸力。表面力：由毗鄰的流體質(zhì)點(diǎn)或其它的物體所直接施加的表面接觸力。帕斯卡定理:流體靜止平衡時(shí)施加于不可壓流體表面的壓力,以同一