曲線與方程(2課時(shí)精品)

老師寄語(yǔ):

學(xué)好數(shù)學(xué),登上人生的又一高度.

數(shù)學(xué)是金——析疑解難，無(wú)堅(jiān)不克，所向披靡；數(shù)學(xué)是美——邏輯之美，形象之美，美不勝收；數(shù)學(xué)是恨——成也數(shù)學(xué)，敗也數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)是愛(ài)——我愛(ài)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)愛(ài)我，數(shù)學(xué)是我獲勝的法寶。讓我們一起來(lái)享受數(shù)學(xué)的快樂(lè)，探求數(shù)學(xué)的真諦，感受數(shù)學(xué)的出神入化。曲線與方程為什么?復(fù)習(xí)回顧:我們研究了直線和圓的方程.1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,b)和斜率為k的直線l的方程為_(kāi)___________2.在直角坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的直線方程是______________3.圓心為C(a,b),半徑為r的圓C的方程為_(kāi)______________________.x-y=0點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分線含有關(guān)系：x-y=0xy0（1）上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在上曲線條件方程坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的直線方程是x-y=0思考?圓心為C(a,b),半徑為r的圓C的方程為:思考?(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程;

這條曲線叫做方程的曲線.定義:1.曲線的方程—反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系;

方程的曲線—反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形.f(x,y)=00xy一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:說(shuō)明:2.“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”

,闡明曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無(wú)例外.（純粹性）.3.“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”,闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏.（完備性）.由曲線的方程的定義可知:如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上的充要條件是f(x0,y0)=0例1

:判斷下列命題是否正確解:(1)不正確，應(yīng)為x=3,(2)不正確,

應(yīng)為y=±1.(3)正確.(4)不正確,

應(yīng)為x=0(-3≤y≤0).(1)過(guò)點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線的方程為︱x︱=3(2)到x軸距離等于1的點(diǎn)組成的直線方程為y=1(3)到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為︱xy︱=1(4)△ABC的頂點(diǎn)A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D為BC中點(diǎn)，則中線AD的方程x=0例2.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k.M第一步，設(shè)M(x0,y0)是曲線C上任一點(diǎn)，證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；歸納:

證明已知曲線的方程的方法和步驟

第二步，設(shè)(x0,y0)是f(x,y)=0的解，證明點(diǎn)M(x0,y0)在曲線C上.練習(xí)1:下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？

(1)曲線C為過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(-1，1)的折線(如圖(1))其方程為(x-y)(x+y)=0;

(2)曲線C是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線其方程為x+=0;

(3)曲線C是Ⅰ,Ⅱ象限內(nèi)到x軸，y軸的距離乘積為1的點(diǎn)集其方程為y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221練習(xí)2:下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個(gè)？①-=0|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD練習(xí)3:若命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0”是正確的,則下列命題中正確的是()A.方程f(x,y)=0所表示的曲線是C

B.坐標(biāo)滿足f(x,y)=0的點(diǎn)都在曲線C上C.方程f(x,y)=0的曲線是曲線C的一部分或曲線CD.曲線C是方程f(x,y)=0的曲線的一部分或是全部DB4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是 (

) A．兩個(gè)點(diǎn) B．四個(gè)點(diǎn)

C．兩條直線 D．四條直線

答案

B

3.5．下列四個(gè)圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是 (

)

答案

D6．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所確定的兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是 (

) A．a(chǎn)>1 B．0<a<1 C．0<a<1或a>1 D．a(chǎn)∈?

答案

A

解析∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x

＋a(a>0) 的圖象大致如圖，要使方程

y＝a|x|和y＝(a>0)所確定的兩條曲線 有兩個(gè)交點(diǎn)，則要求y＝a|x|在y軸右 側(cè)的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.求曲線的方程要點(diǎn)一直接法求曲線方程例1已知一條直線l和它上方的一個(gè)點(diǎn)F，點(diǎn)F到l的距離是2.一條曲線也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到F的距離減去到l的距離的差都是2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程．

解:如圖所示，取直線l為x軸，過(guò)點(diǎn)F 且垂直于直線l的直線為y軸，建立坐標(biāo)系xOy.

設(shè)M(x，y)是曲線上任一點(diǎn)，作MB⊥x軸，垂足為B，那么點(diǎn)M 屬于集合

P＝{M||MF|－|MB|＝2}．求曲線（圖形）方程的一般步驟(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)設(shè)點(diǎn):設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）；(3)找限制條件:寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M集合

P={M|p(M)};(4)代入坐標(biāo)

:將坐標(biāo)代入p(M),列出方程f(x,y)=0

；(5)化簡(jiǎn):化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式.建設(shè)現(xiàn)代化檢驗(yàn)練習(xí)1.在三角形ABC中，若|BC|=4，BC邊上的

中線AD的長(zhǎng)為3，求點(diǎn)A的軌跡方程.設(shè)A(x，y)，又D(0，0)，所以化簡(jiǎn)得:x2+y2=9(y≠0)這所求的軌跡方程.解:取B、C所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.2.已知在直角三角形ABC中，角C為直角，點(diǎn)A(－1，0)，點(diǎn)B(1，0)，求滿足條件的點(diǎn)C的軌跡方程． (x＋1)(x－1)＋y2＝0.

化簡(jiǎn)得x2＋y2＝1.

∵A、B、C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，

∴A、B、C不共線，∴y≠0，

∴點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2＝1(y≠0)．要點(diǎn)二定義法求曲線方程例2已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，過(guò)原點(diǎn)O作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程．練習(xí)：已知定長(zhǎng)為6的線段，其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)為M，求M點(diǎn)的軌跡方程．

解作出圖象如圖所示，根據(jù)直角三角

形的性質(zhì)可知

所以M的軌跡為以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的圓，

故M點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2＝9.要點(diǎn)三代入法求曲線方程例3已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在曲線x2＋y2＝1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程．

解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，

規(guī)律方法代入法求軌跡方程就是利用所求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與相關(guān)動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)坐標(biāo)間的關(guān)系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可用所求動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)表示相關(guān)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲線方程即可求得所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．練習(xí)1：已知圓C：x2＋(y－3)2＝9.過(guò)原點(diǎn)作圓C的弦OP，求OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

解

法一(直接法)

如圖，因?yàn)镼是OP的中點(diǎn)，所以∠OQC＝90°.

設(shè)Q(x，y)，由題意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，

即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，2.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線y=3x2-1上移動(dòng),求△ABC的重心的軌跡方程.1.直接法:

求軌跡方程最基本的方法,直接通過(guò)建立x,y之間的關(guān)系,構(gòu)成F(x,y)=0即可.①直接法②

定義法③代入法④參數(shù)法求軌跡方程的常見(jiàn)方法:3.代入法:這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法.即利用動(dòng)點(diǎn)P’(x’,y’)是定曲線F(x,y)=0上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于P’(x’,y’)，那么可尋求關(guān)系式x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程F(x’,y’)=0中，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.2.定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可用曲線定義寫(xiě)出方程。4.參數(shù)法:

選取適當(dāng)?shù)膮?shù),分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得其普通方程。例:已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2），過(guò)點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線與y軸交于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程。yx0CABM歸納：選參數(shù)時(shí)必須首先考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素，然后再選取合適的參數(shù)，常見(jiàn)的參數(shù)有角度、直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度等。１.求曲線方程的步驟：建設(shè)現(xiàn)代化，嚴(yán)防偽漏

（建系）

（設(shè)點(diǎn)）

（找限制條件）（代入坐標(biāo)）（化簡(jiǎn)）

---M(x,y)---P={M|M滿足的條件}課堂小結(jié)

A．一條直線 B．一條直線去掉一點(diǎn) C．一個(gè)點(diǎn) D．兩個(gè)點(diǎn)

答案

B

解析注意當(dāng)點(diǎn)C與A、B共線時(shí)，不符合題意，應(yīng)去掉．2．在第四象限內(nèi)，到原點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)M的軌跡方程是

(

) A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝4(x>0)

答案

D A．16B．14C．12D．10

答案

B

解析當(dāng)E、F分別為AB、BC中點(diǎn)時(shí)，顯然碰撞的結(jié)果為4，當(dāng)E、F分別為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，可得結(jié)果為6(如圖1所示)．可以猜想本題碰撞的結(jié)果