格林公式與曲線積分路徑無關(guān)

3格林(Green)公式

一、格林公式二、簡單應(yīng)用一、區(qū)域連通性的分類設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD二、格林公式定理1邊界曲線L的正向:當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.證明(1)yxoabDcdABCE同理可證yxodDcCE證明(2)D兩式相加得GDFCEAB證明(3)由(2)知xyoL1.簡化曲線積分三、簡單應(yīng)用AB2.簡化二重積分xyo解xyoLyxoxyo(注意格林公式的條件)3.計算平面面積解其中L是曲線|x|+|y|=1圍成的區(qū)域D的正向邊界。11-1-1LDyxO格林公式的應(yīng)用（格林公式）

從

證明了：

練習1

計算積分解

①②③④練習2求星形線所界圖形的面積。解

yxODL11-1-1重要意義：

1.它建立了二重積分與曲線積分的一種等式關(guān)系2.它揭示了函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部與邊界之間的內(nèi)在聯(lián)系3.從它出發(fā)，可以導(dǎo)出數(shù)學物理中的許多重要公式四、曲線積分與路徑無關(guān)的定義如果對于區(qū)域

G內(nèi)任意指定的兩點

A、B

以及

G

內(nèi)從點

A

到點

B

的任意兩條曲線L1，L2

有GyxoBA===0所以===于是，在內(nèi)應(yīng)用格林公式，有與路徑無關(guān).L與路徑無關(guān)解因此，積分與路徑無關(guān)。則P，Q

在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且全平面是單連通域。取一簡單路徑：L1+L2.因此，積分與路徑無關(guān)。全平面是單連通域。解因此，積分與路徑無關(guān)。則P，Q

在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且全平面是單連通域。因此，積分與路徑無關(guān)。全平面是單連通域。取一簡單路徑：L1+L2.若曲線積分與路線無關(guān)，則函數(shù)的全微分是：稱函數(shù)是的原函數(shù)。原函數(shù)概念：定理5、若在單連通區(qū)域G

內(nèi)函數(shù)u(x,y)

是Pdx+Qdy的原函數(shù)，而A(x1,y1)與B(x1,y1)是G內(nèi)任意兩點，則例1、計算例2、計算沿著不與oy軸相交的途徑。解例4、計算沿著不與oy軸相交的途徑。已知二元函數(shù)的全微分，求其原函數(shù)的方法：（1）湊微分法；（2）曲線積分計算法。例5

驗證：在xoy

面內(nèi)，是某個函數(shù)u(x,y)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。1.連通區(qū)域的概念;2.二重積分與曲線積分的關(guān)系3.格林公式的應(yīng)用.——格林公式;五、小結(jié)與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命