第一章極限與連續(xù)

第一章極限與連續(xù)1-1初等函數(shù)1-2函數(shù)的極限1-3無(wú)窮小與無(wú)窮大1-4函數(shù)極限的運(yùn)算1-5函數(shù)的連續(xù)性

1-1初等函數(shù)設(shè)x和y

是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集。如果對(duì)于每一個(gè)數(shù)x，變量y按照一定的法則總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y

是x

的函數(shù)記作y=f(x)，其中x為自變量，y為因變量，數(shù)集D稱(chēng)為函數(shù)的定義域。1、函數(shù)的概念2、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)為以下五類(lèi)函數(shù)：冪函數(shù)，是常數(shù)指數(shù)函數(shù)(a是常數(shù)且)對(duì)數(shù)函數(shù)(a是常數(shù)且)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)，，，，，，，，，，反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)反三角函數(shù)得到一個(gè)以x為自變量，y為因變量的函數(shù)，這定義：若y是u的函數(shù)y=f(u)，u是x的函數(shù)

，當(dāng)x在的定義域或其一部分取時(shí)，的值均在的定義域內(nèi)，從而復(fù)合函數(shù)，u稱(chēng)為中間變量，記作函數(shù)稱(chēng)為由函數(shù)復(fù)合而成的和并不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)函數(shù)。例如與分析一個(gè)復(fù)合過(guò)程時(shí)，每個(gè)層次都應(yīng)該是基本初等函數(shù)或常數(shù)與基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算；當(dāng)分解到常數(shù)與基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算時(shí)，就不再分解了。函數(shù)復(fù)合過(guò)程中的兩點(diǎn)注意事項(xiàng)由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成并且可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù).如等都是初等函數(shù)，，實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系，就是該實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系，就是為了用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題。一般的，用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，首先要對(duì)問(wèn)題的實(shí)際背景進(jìn)行深入了解，摸清問(wèn)題的規(guī)律，并用數(shù)字、圖表、公式等表示出來(lái)。下面我們舉一個(gè)例子說(shuō)明如何建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。例3某罐頭廠要生產(chǎn)容積為V的圓柱形罐頭盒，將它的表面積表示成底半徑的函數(shù)，并確定它的定義域。

1-2函數(shù)的極限

考察下列幾個(gè)數(shù)列，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列xn的變化趨勢(shì)：四個(gè)數(shù)列反映出的數(shù)列變化趨勢(shì)大體分為兩類(lèi)：當(dāng)n無(wú)限增大的時(shí)，數(shù)列xn的值無(wú)限接近某一個(gè)常數(shù)，數(shù)列1）、2）屬于這一類(lèi)。當(dāng)n無(wú)限增大的時(shí)，數(shù)列xn的值不能無(wú)限接近某一個(gè)常數(shù)，數(shù)列3）、4）屬于這一類(lèi)。數(shù)列1）、2）給了我們極限的一個(gè)直觀的印象，下面我們來(lái)看數(shù)列極限的定義?；騒nXn注意：這里x趨向無(wú)窮是有兩個(gè)方向的！或或定理一或或或左右極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限定理二1-3無(wú)窮小與無(wú)窮大說(shuō)一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小的時(shí)候，必須指明自變量的變化趨勢(shì)！比如例3，當(dāng)x趨近1/3時(shí)函數(shù)是一個(gè)無(wú)窮小。無(wú)窮小的性質(zhì)

定理一這個(gè)定理在下一章里將會(huì)被應(yīng)用到一些問(wèn)題的證明中。這里并不表明函數(shù)的極限存在，只是為了方便表示函數(shù)的這一變化趨勢(shì)定理二無(wú)窮小都是趨于零的變量，但不同的無(wú)窮小趨于零的速度卻不一樣.通過(guò)比較兩個(gè)無(wú)窮小趨于零的速度，而引進(jìn)無(wú)窮小量階的概念.

x10.50.10.010.001………02x210.20.020.002………0x210.250.010.00010.000001………01-4函數(shù)極限的運(yùn)算這種方法稱(chēng)為無(wú)窮小分出法根據(jù)有界乘無(wú)窮小仍是無(wú)窮小的性質(zhì),得求極限過(guò)程中的兩點(diǎn)注意事項(xiàng)1234510100100010000…….22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718……定理一這個(gè)定理是等價(jià)無(wú)窮小的一個(gè)重要性質(zhì)，它是用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的重要理論根據(jù)。1-5函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．

求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間．關(guān)于分段