《數(shù)學(xué)史》分析的嚴(yán)格化(上)

第10章

分析的嚴(yán)格化

第十章分析的嚴(yán)格化

10.1柯西與分析基礎(chǔ)

經(jīng)過(guò)近一個(gè)世紀(jì)的嘗試與醞釀，數(shù)學(xué)家們?cè)趪?yán)格化基礎(chǔ)上重建微積分的努力到19世紀(jì)初開始獲得成效．這方面的先聲來(lái)自捷克學(xué)者波爾察諾(B.Bolzano，1781—1848)，他在1817年發(fā)表了《純粹分析證明》，以證明連續(xù)函數(shù)的中值定理為目的，其中包含了對(duì)函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等概念的合適定義，但波爾察諾的工作長(zhǎng)期湮沒(méi)無(wú)聞．19世紀(jì)分析嚴(yán)格化真正有影響的先驅(qū)是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西．

柯西長(zhǎng)期擔(dān)任巴黎綜合工科學(xué)校教授，他有許多著作都是以工科大學(xué)講義形式面世的．在分析方法方面，他寫出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》(1821)和《無(wú)限小計(jì)算教程概論》(1823)，它們以嚴(yán)格化為目標(biāo)，對(duì)微積分的基本概念，如變量、函數(shù)、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基礎(chǔ)上重建和拓展了微積分的重要事實(shí)與定理．什么叫數(shù)學(xué)概念？什么叫數(shù)學(xué)里面的定義？什么叫數(shù)學(xué)概念？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。透過(guò)抽象化和邏輯推理的使用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理，數(shù)學(xué)家們拓展了這些概念。什么叫數(shù)學(xué)里面的定義？數(shù)學(xué)概念(mathematicalconcepts)：是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。

正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對(duì)象的“質(zhì)”的特征，及其外延——對(duì)象的“量”的范圍。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定義的形式來(lái)揭露其本質(zhì)特征的。

有些數(shù)學(xué)概念要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的醞釀，最后才以定義的形式表達(dá)，如函數(shù)、極限等。

定義是準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式。下面欣賞柯西給出的一些定義：以下是這方面的一些例子：

1.變量.“依次取許多互不相同的值的量叫作變量”．

2.函數(shù).“當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來(lái)的時(shí)候，即給定了這些變量中的一個(gè)值，就可以決定所有其他變量的值的時(shí)候，人們通常想象這些量是用其中的一個(gè)來(lái)表達(dá)的，這時(shí)這個(gè)量就取名為自變量，而由這些自變量表示的其他量就叫作這個(gè)自變量的函數(shù)”．

3.極限.“當(dāng)同一變量逐次所取的值無(wú)限趨向于一個(gè)固定的值，最終使它的值與該定值的差要多小就多小，那么最后這個(gè)定值就稱為所有其他值的極限”．

4.無(wú)限小量.“當(dāng)同一變量逐次所取的絕對(duì)值無(wú)限減小，以致比任意給定的數(shù)還要小，這個(gè)變量就是所謂的無(wú)限小或無(wú)限小量”．

5.連續(xù)函數(shù)．柯西第一次解決了函數(shù)連續(xù)性的定義問(wèn)題．按他的定義，函數(shù)在給定限之間關(guān)于保持連續(xù)，如果在這兩限之間變量的每個(gè)無(wú)限小增量總產(chǎn)生函數(shù)本身的一個(gè)無(wú)限小增量．6.導(dǎo)數(shù)與微分．柯西把導(dǎo)數(shù)明確定義為差商當(dāng)無(wú)限地趨向于零的極限，函數(shù)的微分則定義為

.

7.積分．柯西首先指出，在研究積分或原函數(shù)的各種性質(zhì)以前，應(yīng)先證明它們是存在的．也就是說(shuō)需要首先對(duì)一大類函數(shù)給出積分的一般定義．設(shè)函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)，并用點(diǎn)把區(qū)間劃分為個(gè)子區(qū)間，對(duì)應(yīng)于每個(gè)這樣的劃分，構(gòu)造近似和：?jiǎn)枺耗隳芎?jiǎn)單的總結(jié)一下這個(gè)過(guò)程嗎？柯西證明這個(gè)和數(shù)當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)趨向于零時(shí)的極限與劃分的方式無(wú)關(guān)，并把這個(gè)極限定義為在區(qū)間上的積分這個(gè)定義后來(lái)被黎曼直接推廣，將每個(gè)區(qū)間端點(diǎn)用區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)來(lái)代替，就得到現(xiàn)在所說(shuō)的黎曼積分．

分割---近似---作和---取極限。

在以上一系列定義的基礎(chǔ)上，柯西得以嚴(yán)格地表述并證明微積分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微積分基本定理被表述為：在區(qū)間上給定連續(xù)函數(shù)，對(duì)于，由

定義的新函數(shù)就是的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)，即在上有我們一般還稱為什么函數(shù)？柯西還對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格化處理，明確定義了級(jí)數(shù)的收斂性，并研究了判別級(jí)數(shù)收斂的條件．令是所研究的無(wú)窮級(jí)數(shù)前項(xiàng)的和，為自然數(shù)，若當(dāng)趨向于無(wú)限大時(shí)，和無(wú)限趨近于某一極限，柯西就說(shuō)級(jí)數(shù)是收斂的．

柯西在數(shù)學(xué)發(fā)明方面有特別豐富能力，其多產(chǎn)能力在歷史上只被超過(guò)了兩次（被歐拉和凱萊超過(guò)）。他的工作就象他的時(shí)代，是革命的。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩個(gè)引起興趣的主要問(wèn)題應(yīng)歸功于柯西，這兩個(gè)問(wèn)題中的每一個(gè)都標(biāo)志著與十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的斷然決裂。

第一個(gè)是把嚴(yán)格性引進(jìn)了數(shù)學(xué)分析。

第二個(gè)是組合方面。

柯西(A-L.Cauchy，1789—1851)于1789年8月21日（巴士底獄陷落后不到六個(gè)星期）出生在巴黎?？挛鳌?813年，柯西已經(jīng)以他光輝的研究工作，特別是關(guān)于多面體的論文和關(guān)于對(duì)稱函數(shù)的論文，吸引了法國(guó)主要數(shù)學(xué)家們的注意。

○柯西到二十七歲(1816年)時(shí)已經(jīng)使自己上升到當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家的最前列。他唯一的重要競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手是沉默的高斯。柯西

○1826—1830年，創(chuàng)辦一個(gè)他自己的雜志《數(shù)學(xué)練習(xí)》，第二輯繼續(xù)以《分析數(shù)學(xué)和物理練習(xí)》為名，發(fā)表他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的評(píng)論性的和獨(dú)創(chuàng)性的著作。偉大數(shù)學(xué)家柯西柯西

柯西（Cauchy1789-1857），法國(guó)數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有很高的建樹和造詣。很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來(lái)稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式...

柯西創(chuàng)造力驚人，數(shù)學(xué)論文像連綿不斷的泉水在柯西的一生中噴涌，他發(fā)表了789篇論文，出版專著7本。從他23歲寫出第一篇論文到68歲逝世的45年中，平均每月發(fā)表一至兩篇論文.

柯西

他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經(jīng)典之作。

柯西柯西在幼年時(shí)，有機(jī)會(huì)遇到拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們對(duì)他的才能十分賞識(shí)；拉格朗日認(rèn)為他將來(lái)必定會(huì)成為大數(shù)學(xué)家，但建議他的父親在他學(xué)好文科前不要學(xué)數(shù)學(xué)?？挛饔?805年考入綜合工科學(xué)校，在那里主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和力學(xué)；1807年考入橋梁公路學(xué)校，1810年以優(yōu)異成績(jī)畢業(yè)，前往瑟堡參加海港建設(shè)工程?？挛?/p>

柯西去瑟堡時(shí)攜帶了拉格朗日的《解析函數(shù)論》和拉普拉斯的《天體力學(xué)》，后來(lái)還陸續(xù)收到從巴黎寄出或從當(dāng)?shù)亟璧玫囊恍?shù)學(xué)書。他在業(yè)余時(shí)間悉心攻讀有關(guān)數(shù)學(xué)各分支方面的書籍，從數(shù)論直到天文學(xué)方面。根據(jù)拉格朗日的建議，他進(jìn)行了多面體的研究，并于1811及1812年向科學(xué)院提交了兩篇論文。

柯西27歲即當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院士，還是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員和許多國(guó)家的科學(xué)院院士.二、柯西的數(shù)學(xué)成就

柯西對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán)格的表述與證明方法.正如著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼所說(shuō)：“嚴(yán)密性的統(tǒng)治地位基本上由柯西重新建立起來(lái)的.”

在這方面他寫下了三部專著：《分析教程》、《無(wú)窮小計(jì)算教程》、《微分計(jì)算教程》.他的這些著作，擺脫了微積分單純的對(duì)幾何、運(yùn)動(dòng)的直觀理解和物理解釋，引入了嚴(yán)格的分析上的敘述和論證，從而形成了微積分的現(xiàn)代體系.柯西馮·諾伊曼的簡(jiǎn)介，參看第99頁(yè)?？挛?/p>

作為一位學(xué)者，他思路敏捷，功績(jī)卓著。由柯西卷帙浩大的論著和成果，人們不難想象他的一生是怎樣孜孜不倦的勤奮工作。但是柯西卻是個(gè)具有復(fù)雜性格的人。他是忠誠(chéng)的保王黨人，熱心的天主教徒，落落寡歡的學(xué)者。尤其作為久負(fù)盛名的科學(xué)泰斗，他常常忽視青年學(xué)者的創(chuàng)造。例如，由于柯西“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾和伽羅華的開創(chuàng)性論文手稿，造成群論晚問(wèn)世半個(gè)世紀(jì)?？挛?857年5月23日，他突然去世，享年68歲，他因?yàn)闊岵∪ナ?，臨終前，他還與巴黎大主教在說(shuō)話，他說(shuō)的最后一句話是：

“人總是要死的，但是，他們的功績(jī)永存！”

10.2分析的算術(shù)化

柯西的工作是令人尊敬的，但他的理論還只能說(shuō)是“比較嚴(yán)格”，人們不久便發(fā)現(xiàn)柯西的理論也存在漏洞.例如，他用了許多“無(wú)限趨近”、“想要多小就多小”等直覺描述的語(yǔ)言．特別是，微積分計(jì)算是在實(shí)數(shù)舞臺(tái)上進(jìn)行的，但直到19世紀(jì)中葉，對(duì)于什么是實(shí)數(shù)，竟還沒(méi)有明確的定義．?dāng)?shù)學(xué)家們對(duì)實(shí)數(shù)系本身仍然是以直觀的方式來(lái)理解的，他們相當(dāng)隨意地使用無(wú)理數(shù)(如)，而沒(méi)有認(rèn)真考察它們的確切意義和性質(zhì)．為了進(jìn)行計(jì)算，他們依靠了這樣的假設(shè)：任何無(wú)理數(shù)都能用有理數(shù)來(lái)任意逼近，如=1.4142…．由于對(duì)實(shí)數(shù)系缺乏充分的理解，就不可能真正為微積分奠定牢固的基礎(chǔ)．例如，柯西在證明連續(xù)函數(shù)積分(作為和式的極限)的存在性、證明級(jí)數(shù)收斂判別準(zhǔn)則的充分性以及證明中值定理

時(shí)，都需要實(shí)數(shù)的完備性，而實(shí)數(shù)系的這種基本性質(zhì)在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有證實(shí)．

對(duì)實(shí)數(shù)系缺乏認(rèn)識(shí)不僅造成邏輯上的間斷，而且實(shí)際上常常導(dǎo)致錯(cuò)誤．由于沒(méi)有建立一致收斂性概念，柯西得出過(guò)一個(gè)錯(cuò)誤判斷：

若皆連續(xù)，且級(jí)數(shù)收斂，則連續(xù)；他還斷定這時(shí)對(duì)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分

另一個(gè)在當(dāng)時(shí)普遍持有的錯(cuò)誤觀念是認(rèn)為凡連續(xù)函數(shù)都是可微的．因此，當(dāng)?shù)聡?guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個(gè)處處連續(xù)但卻處處不可微的函數(shù)例子時(shí)，數(shù)學(xué)界可以說(shuō)是大為震驚.

魏爾斯特拉斯的例子是：其中是奇數(shù)，常數(shù)，是使得．

高斯曾經(jīng)稱“數(shù)學(xué)是眼睛的科學(xué)”，但是要看清魏爾斯特拉斯擺在數(shù)學(xué)家們面前的這條曲線，單靠一雙好眼睛是無(wú)論如何不夠的．魏爾斯特拉斯的例子使人們迫切感到徹底擺脫對(duì)幾何直覺的依賴，重新認(rèn)識(shí)考察分析基礎(chǔ)的必要性．另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金(R.Dedekind)在1858年開始講授微積分時(shí)說(shuō)過(guò)的一段話，也反映出當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家不滿足于柯西的標(biāo)準(zhǔn)，而尋求使分析進(jìn)一步嚴(yán)格化的途徑的愿望：

“我比以往任何時(shí)候更加強(qiáng)烈地感到這種算法缺乏真正科學(xué)的基礎(chǔ)．在討論一個(gè)變量逼近于一個(gè)固定的極限值的概念時(shí)，特別是在證明每個(gè)連續(xù)增加但不超過(guò)一切界限的量必定趨向于一個(gè)極限這一定理時(shí)，我依靠的是幾何上的證據(jù)．……但是，決不能認(rèn)為以這種方式引入微分學(xué)是科學(xué)的．這一點(diǎn)已經(jīng)得到公認(rèn)．至于我本人，也無(wú)法克制這種不滿意的感覺而下定決心研究這個(gè)問(wèn)題，直到為無(wú)窮小分析原理建立純粹算術(shù)的和完全嚴(yán)格的基礎(chǔ)為止．”

把分析建立在“純粹算術(shù)”的基礎(chǔ)之上，這方面的努力在19世紀(jì)后半葉釀成了數(shù)學(xué)史上著名的“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)，這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的主將是上面已經(jīng)提到的魏爾斯特拉斯．魏爾斯特拉斯認(rèn)為實(shí)數(shù)賦予我們極限與連續(xù)等概念，從而成為全部分析的本源．要使分析嚴(yán)格化，首先就要使實(shí)數(shù)系本身嚴(yán)格化．為此最可靠的辦法是按照嚴(yán)密的推理將實(shí)數(shù)歸結(jié)為整數(shù)(有理數(shù))．這樣，分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補(bǔ)．這就是所謂“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)，魏爾斯特拉斯本人和他的學(xué)生們?yōu)閷?shí)現(xiàn)這一綱領(lǐng)作出了艱苦的努力并獲得了很大成功．10.2.1魏爾斯特拉斯

魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815—1897），德國(guó)數(shù)學(xué)家，中學(xué)畢業(yè)時(shí)成績(jī)優(yōu)秀，共獲7項(xiàng)獎(jiǎng)，其中包括數(shù)學(xué)，但他的父親卻把他送到波恩大學(xué)去學(xué)習(xí)法律和商業(yè)．魏爾斯特拉斯對(duì)商業(yè)和法律都毫無(wú)興趣．在波恩大學(xué)他把相當(dāng)一部分時(shí)間花在自學(xué)他所喜歡的數(shù)學(xué)上，攻讀了包括拉普拉斯的《天體力學(xué)》在內(nèi)的一些名著。他在波恩的另一部分時(shí)間則花在了擊劍上．魏爾斯特拉斯體魄魁偉，擊劍時(shí)出手準(zhǔn)確，加上旋風(fēng)般的速度，很快就成為波恩人心目中的擊劍名星．魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯這樣在波恩大學(xué)度過(guò)四年之后，魏爾斯特拉斯回到家里，沒(méi)有得到他父親所希望的法律博士學(xué)位，連碩士學(xué)位也沒(méi)有得到．這使他父親勃然大怒，呵斥他是一個(gè)“從軀殼到靈魂都患病的人”．這時(shí)多虧他家的一位朋友建議，魏爾斯特拉斯被送到明斯特去準(zhǔn)備教師資格考試．1841年，他正式通過(guò)了教師資格考試．在這期間，他的數(shù)學(xué)老師居德曼認(rèn)識(shí)到他的才能．

居德曼(C.Gudermann)是一位橢圓函數(shù)論專家，他的橢圓函數(shù)論給了魏爾斯特拉斯很大影響，魏爾斯特拉斯為通過(guò)教師資格考試而提交的一篇論文的主題就是求橢圓函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開．居德曼在這篇論文的評(píng)語(yǔ)中寫道：“論文顯示了一位難得的數(shù)學(xué)人才，只要不被埋沒(méi)荒廢，一定會(huì)對(duì)科學(xué)的進(jìn)步作出貢獻(xiàn)”．

居德曼的評(píng)語(yǔ)并沒(méi)有引起任何重視，魏爾斯特拉斯在獲得中學(xué)教師資格后開始了漫長(zhǎng)的中學(xué)教師生活．他在兩處偏僻的地方中學(xué)度過(guò)了包括30歲到40歲的這段數(shù)學(xué)家的黃金歲月．

他在中學(xué)不光是教數(shù)學(xué)，還教物理、德文、地理甚至體育和書法課，而所得薪金連進(jìn)行科學(xué)通信的郵資都付不起．但魏爾斯特拉斯以驚人的毅力，過(guò)著一種雙重的生活．他白天教課，晚上攻讀研究阿貝爾等人的數(shù)學(xué)著作，并寫了許多論文．其中有少數(shù)發(fā)表在當(dāng)時(shí)德國(guó)中學(xué)發(fā)行的一種不定期刊物“教學(xué)簡(jiǎn)介”上，但正如魏爾斯特拉斯后來(lái)的學(xué)生、瑞典數(shù)學(xué)家米塔·列夫勒所說(shuō)的那樣：“沒(méi)有人會(huì)到中學(xué)的教學(xué)簡(jiǎn)介中去尋找有劃時(shí)代意義的數(shù)學(xué)論文?！辈贿^(guò)魏爾斯特拉斯這一段時(shí)間的業(yè)余研究，卻奠定了他一生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基礎(chǔ)．

一直到1853年，魏爾斯特拉斯將一篇關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文寄給了德國(guó)數(shù)學(xué)家克雷爾主辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(常常簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)雜志》)，這才使他時(shí)來(lái)運(yùn)轉(zhuǎn)．

克雷爾的雜志素以向有創(chuàng)造力的年青數(shù)學(xué)家開放而著稱．他接受了魏爾斯特拉斯的論文并在第二年就發(fā)表出來(lái)，隨即引起了轟動(dòng)．哥尼斯堡大學(xué)一位數(shù)學(xué)教授親自到魏爾斯特拉斯當(dāng)時(shí)任教的布倫斯堡中學(xué)向他頒發(fā)了哥尼斯堡大學(xué)博士學(xué)位證書．普魯士教育部宣布晉升魏爾斯特拉斯，并給了他一年假期帶職從事研究．此后，他再也沒(méi)有回到布倫斯堡．1856年，也就是他當(dāng)了15年中學(xué)教師之后，魏爾斯特拉斯被任命為柏林工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教授，同年被選進(jìn)柏林科學(xué)院．他后來(lái)又轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)任教授直到去世，晚年享有很高的聲譽(yù)，幾乎被看成是德意志的民族英雄．在數(shù)學(xué)史上，魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的貢獻(xiàn)使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)．這種嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套語(yǔ)言，用以重建分析體系．可以說(shuō)，數(shù)學(xué)分析達(dá)到今天所具有的嚴(yán)密形式，本質(zhì)上歸功于魏爾斯特拉斯的工作.

10.2.2實(shí)數(shù)理論

魏爾斯特拉斯很少正式發(fā)表自己的研究成果，他的許多思想和方法主要是通過(guò)他在柏林工業(yè)大學(xué)和柏林大學(xué)的課堂講授而傳播的，其中有一些后來(lái)由他的學(xué)生整理發(fā)表出來(lái)．在1857年開始的解析函數(shù)論課程中，魏爾斯特拉斯給出了第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定義，這個(gè)定義大意是先從自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù)，然后通過(guò)無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)的集合來(lái)定義實(shí)數(shù)．像大多數(shù)情況一樣，魏爾斯特拉斯只是在課堂上作了講授．1872年，有人曾建議他發(fā)表這一定義，但被魏爾斯特拉斯拒絕了．不過(guò)，1872年，戴德金、康托爾(Cantor，1845—1918)、梅雷(H.C.R.Meray)和海涅(H.E.Heinte)等人幾乎同時(shí)發(fā)表了他們各自的實(shí)數(shù)理論，而其中戴德金和康托爾的實(shí)數(shù)構(gòu)造方法正是我們現(xiàn)在通常所采用的．戴德金尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind

，1831—1916）又譯狄德金，最偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū)。據(jù)《辭?！?，戴德金還是格丁根大學(xué)哲學(xué)博士、柏林科學(xué)院院士。格奧爾格·康托爾

格奧爾格·康托爾（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845.3.3-1918.1.6）德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人。生于俄國(guó)圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國(guó)的法蘭克福。先在一所中學(xué)，后在威斯巴登的一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)。

戴德金的方法也稱為戴德金分割，是將一切有理數(shù)的集合劃分為兩個(gè)非空不相交的子集和，使得中的每一個(gè)元素小于中的每一個(gè)元素，這時(shí)戴德金把這個(gè)劃分定義為有理數(shù)的一個(gè)分割，記為。有些分割是有理數(shù)產(chǎn)生的，在這樣的分割中，要么有最大元素，要么有最小元素．但有些分割卻不是.例如，若是由滿足的一切正有理數(shù)組成，是由一切其余的有理數(shù)組成，則既不存在的最大元素，也不存在的最小元素，因?yàn)椴淮嬖谟欣頂?shù)使得．戴德金說(shuō)：每當(dāng)我們考慮一個(gè)不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割時(shí)，就得到一個(gè)新數(shù)即無(wú)理數(shù)，我們認(rèn)為這個(gè)數(shù)是由分割完全確定的．因此，戴德金就把一切實(shí)數(shù)組成的集合R定義為有理數(shù)集的一切分割，而一個(gè)實(shí)數(shù)就是一個(gè)分割．

康托爾的基本思想則是把實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)序列，這里必須是滿足柯西收斂準(zhǔn)則的基本序列，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)一致地趨于0．康托爾把每個(gè)有理數(shù)基本序列與一個(gè)實(shí)數(shù)等同起來(lái)．而兩個(gè)基本序列與,若，則被看成是等價(jià)的，即它們定義同一個(gè)實(shí)數(shù)．用現(xiàn)代語(yǔ)言說(shuō)，康托爾的定義相當(dāng)于把實(shí)數(shù)集合定義為有理數(shù)的基本序列的一切等價(jià)類的集合．如果是一個(gè)有理數(shù)，則序列就表示對(duì)應(yīng)于的實(shí)數(shù)．

戴德金和康托爾在他們各自的實(shí)數(shù)定義下都嚴(yán)格證明了實(shí)數(shù)系的完備性．例如，康托爾證明了，若是任一實(shí)數(shù)序列，又若對(duì)于任意正整數(shù)一致地有成立，則必存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，它被一個(gè)由有理數(shù)構(gòu)成的基本序列所確定，使得．這表明，由實(shí)數(shù)構(gòu)成的基本序列不會(huì)產(chǎn)生任何更新類型的數(shù)，或者說(shuō)由實(shí)數(shù)構(gòu)成的基本序列不需要任何更新類型的數(shù)來(lái)充當(dāng)它的極限，因?yàn)橐呀?jīng)存在的實(shí)數(shù)已足夠提供其極限了．因此，從為基本序列提供極限的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，實(shí)數(shù)系是一個(gè)完備系．這樣，長(zhǎng)期以來(lái)圍繞著實(shí)數(shù)概念的邏輯循環(huán)得以徹底消除．實(shí)數(shù)的定義及其完備性的確立，標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)大致宣告完成．10.2.3集合論的誕生在分析的嚴(yán)格化過(guò)程中，一些基本概念如極限、實(shí)數(shù)、級(jí)數(shù)等的研究都涉及到由無(wú)窮多個(gè)元素組成的集合，特別是在對(duì)那些不連續(xù)函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，需要對(duì)使函數(shù)不連續(xù)或使收斂問(wèn)題變得很困難的點(diǎn)集進(jìn)行研究，這樣就導(dǎo)致了集合論的建立．狄利克雷、黎曼等人都研究過(guò)這方面的問(wèn)題，但只有康托爾在這一過(guò)程中系統(tǒng)發(fā)展了一般點(diǎn)集的理論，并開拓了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域．

康托爾是在研究函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表達(dá)式的唯一性問(wèn)題時(shí)開始接觸無(wú)窮點(diǎn)集的．為了描述這種集合，他在1872年發(fā)表的《關(guān)于三角級(jí)數(shù)中一個(gè)定理的推廣》這篇文章里，定義了一系列點(diǎn)集論的基本概念，如極限點(diǎn)、導(dǎo)集、二階導(dǎo)集，…，第一型導(dǎo)集、第二型導(dǎo)集等，奠定了無(wú)窮點(diǎn)集論的初步基礎(chǔ)．在將唯一性定理推廣到允許無(wú)窮例外點(diǎn)等的過(guò)程中，康托爾認(rèn)識(shí)到，這些例外點(diǎn)的集合及其導(dǎo)集所產(chǎn)生的問(wèn)題與全體實(shí)數(shù)集合的構(gòu)造性質(zhì)密切相關(guān)．因此，康托爾開始關(guān)注這樣一個(gè)問(wèn)題：

像自然數(shù)集那樣的無(wú)窮集合和像實(shí)數(shù)集那樣的無(wú)窮集合存在著怎樣的關(guān)系?

1873年11月29日，康托爾在給戴德金的信中將上述問(wèn)題以更明確的形式提了出來(lái)：

全體正整數(shù)集合和全體實(shí)數(shù)集合能否建立一一對(duì)應(yīng)?

康托爾這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)似乎不成問(wèn)題，因?yàn)槭请x散的，是連續(xù)的，但康托爾認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題也許并不那么簡(jiǎn)單，我們不能過(guò)分相信直覺．

康托爾

導(dǎo)致康托爾作出這種判斷的，是他不久前剛剛證明的一個(gè)結(jié)論：全體有理數(shù)的集合是可數(shù)的．這很有些出乎意料，因?yàn)橛欣頂?shù)不像自然數(shù)，它是稠密的，在任何兩個(gè)不同的有理數(shù)之間都存在另一個(gè)有理數(shù)，事實(shí)上，有無(wú)限多個(gè)．依靠直覺，似

考慮正有理數(shù)按以下方式排成的陣列（如圖）。在其中，第一行依大小次序包括所有以1為分母的正分?jǐn)?shù)，即全體正整數(shù)；第二行依大小次序包括所有以2為分母的正分?jǐn)?shù)；第三行依大小次序包括所有以3為分母的正分?jǐn)?shù)等等．顯然，每個(gè)正有理數(shù)出現(xiàn)在這個(gè)陣列中．如果我們按箭頭所示依次重新排序，略去已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的數(shù)，就得到全體正有理數(shù)的一個(gè)無(wú)窮序列，

于是序列就是包括所有有理數(shù)的集合。這樣就證明了有理數(shù)集的可數(shù)性．乎可以斷言有理數(shù)是不可數(shù)的，但事實(shí)并非如此．康托爾的證明如下(這里是他1895年給出的第二個(gè)證明)．更令人驚異的是，康托爾還證明全體實(shí)代數(shù)數(shù)的集合也是可數(shù)的，而在直覺上實(shí)代數(shù)數(shù)似乎要比有理數(shù)多得多．康托爾起初想要證明實(shí)數(shù)集也是可數(shù)的，但他終于發(fā)現(xiàn)，在自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集之間不可能建立一一對(duì)應(yīng)．康托爾的第一個(gè)證明是在1873年12月作出的，而以“康托爾對(duì)角線法”著稱的第二個(gè)證明則發(fā)表于1890年．在這第二個(gè)證明中，康托爾實(shí)際考慮的是實(shí)數(shù)集．他的思路是，假定是可數(shù)集，則必然存在中所有實(shí)數(shù)的一個(gè)序列，現(xiàn)將每個(gè)這樣的實(shí)數(shù)寫成十進(jìn)小數(shù)形式，并約定將有理數(shù)寫成無(wú)窮小數(shù)，如于是有現(xiàn)構(gòu)造，并規(guī)定如果，則，如果，則，因此是中的一個(gè)實(shí)數(shù)，但卻不同于上面序列中的任何一個(gè)數(shù)．這就與假定相矛盾，因此是不可數(shù)的．康托爾關(guān)于實(shí)數(shù)不可數(shù)性的發(fā)現(xiàn)，是為建立超窮集合論而邁出的真正有意義的一步．之后，康托爾開始考慮在正整數(shù)和實(shí)數(shù)兩個(gè)不同的無(wú)窮集合之外，是否還有更大的無(wú)窮?從1874年到1877年，他經(jīng)過(guò)三年的探索，證明了維空間的點(diǎn)集與線性點(diǎn)集是可以建立一一對(duì)應(yīng)的．這個(gè)結(jié)論與直覺如此相悖，以致康托爾驚呼：“我見到了，但我不相信．”當(dāng)這個(gè)結(jié)果在1878年發(fā)表后，也引起了克羅內(nèi)克等人的激烈反對(duì)．正是在這篇文章中，康托爾明確提出了“基數(shù)”或“勢(shì)”的概念：給定兩個(gè)集合和，如果能夠根據(jù)某種規(guī)則在它們之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就稱這兩個(gè)集合有相同的“基數(shù)”，或者說(shuō)“等勢(shì)”．康托爾認(rèn)為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)推廣到無(wú)窮數(shù)．為此，他建立了超窮基數(shù)和超窮序數(shù)的理論．因?yàn)榧热痪S空間不能產(chǎn)生更大的無(wú)窮集合，進(jìn)一步就要問(wèn)能否從已知的無(wú)窮集合出發(fā)根據(jù)確鑿的數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)形成更大的無(wú)窮．康托爾先是在1883年的一篇文章里提出了良序集和序數(shù)的概念，并根據(jù)序數(shù)理論從序數(shù)集來(lái)形成更大的無(wú)窮．而后他又在1891年發(fā)表的“集合論的一個(gè)根本問(wèn)題”里，利用一集合的冪集(即該集合所有子集的集合)來(lái)形成較原集合更大的無(wú)窮，并證明了著名的康托爾定理：一集合的冪集的基數(shù)較原集合的基數(shù)大。

因此，從自然數(shù)集的基數(shù)(也是一切可數(shù)集的基數(shù))出發(fā)，根據(jù)康托爾定理就得到了超窮基數(shù)一個(gè)無(wú)限上升的序列：

這里表示自然數(shù)集的基數(shù)，表示其冪集的基數(shù)，等等．這樣，康托爾就為我們展現(xiàn)了一幅壯麗的圖景：無(wú)窮也具有無(wú)窮多的“層次”，并不存在一個(gè)最大的無(wú)窮．

可以證明，就是實(shí)數(shù)集的基數(shù)(也稱連續(xù)統(tǒng)的基數(shù))，那么在自然數(shù)集基數(shù)與連續(xù)統(tǒng)基數(shù)之間是否還存在其他基數(shù)?上述序列是否窮盡了一切超窮基數(shù)呢?

這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，康托爾沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題，后來(lái)希爾伯特把它列為他所提出的23個(gè)著名問(wèn)題的第一個(gè)問(wèn)題(見第11章)．格奧爾格·康托爾

格奧爾格·康托爾（Cantor，1845-1918）德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人。生于俄國(guó)圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國(guó)的法蘭克福。先在一所中學(xué)，后在威斯巴登的一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)。

康托爾，1862年入蘇黎世大學(xué)學(xué)工,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)和神學(xué)，受教于庫(kù)默爾（Kummer，1810-1893）、維爾斯特拉斯和克羅內(nèi)克(Kronecker，1823-1891)。

1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫(kù)默爾指導(dǎo)下獲博士學(xué)位。畢業(yè)后受魏爾斯特拉斯的直接影響，由數(shù)論轉(zhuǎn)向嚴(yán)格的分析理論的研究，不久嶄露頭角。他在哈雷大學(xué)任教（1869-1913）的初期證明了復(fù)合變量函數(shù)三角級(jí)數(shù)展開的唯一性，繼而用有理數(shù)列極限定義無(wú)理數(shù)。

1872年成為該校副教授，1879年任教授。由于學(xué)術(shù)觀點(diǎn)上受到的沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂癥。

1884年，由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)長(zhǎng)期得不到證明，再加上與克羅內(nèi)克（康托爾的老師）的尖銳對(duì)立，精神上屢遭打擊，5月底，他支持不住了，第一次精神崩潰。雖在1887年恢復(fù)了健康，繼續(xù)工作，但晚年一直病魔纏身。1918年1月6日在德國(guó)哈雷（Halle）-維滕貝格大學(xué)附屬精神病院去世。令人唏噓不已…

康托爾愛好廣泛，極有個(gè)性，終身信奉宗教。早期在數(shù)學(xué)方面的興趣是數(shù)論，1870年開始研究三角級(jí)數(shù)并由此導(dǎo)致19世紀(jì)末、20世紀(jì)初最偉大的數(shù)學(xué)成就——集合論和超窮數(shù)理論的建立。除此之外，他還努力探討在新理論創(chuàng)立過(guò)程中所涉及的數(shù)理哲學(xué)問(wèn)題.1888-1893年康托爾任柏林?jǐn)?shù)學(xué)會(huì)第一任會(huì)長(zhǎng)，1890年領(lǐng)導(dǎo)創(chuàng)立德國(guó)數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)并任首屆主席。主要貢獻(xiàn)

康托爾對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是集合論和超窮數(shù)理論。

兩千多年來(lái)，科學(xué)家們接觸到無(wú)窮，卻又無(wú)力去把握和認(rèn)識(shí)它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰(zhàn)?？低袪栆云渌季S之獨(dú)特，想象力之豐富，方法之新穎繪制了一幅人類智慧的精品——集合論和超窮數(shù)理論，令19、20世紀(jì)之交的整個(gè)數(shù)學(xué)界、甚至哲學(xué)界感到震驚。

可以毫不夸張地講，“關(guān)于數(shù)學(xué)無(wú)窮的革命幾乎是由他一個(gè)人獨(dú)立完成的?！痹u(píng)價(jià)

康托爾的集合論得到公開的承認(rèn)和熱情的稱贊應(yīng)該說(shuō)首先在瑞士蘇黎世召開的第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上表現(xiàn)出來(lái)。隨著時(shí)間的推移，人們逐漸認(rèn)識(shí)到集合論的重要性。希爾伯特(Hilbert，1862-1943)高度贊譽(yù)康托爾的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”，“是人類純粹智力活動(dòng)的最高成就之一”，“是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特高度評(píng)價(jià)了康托爾工作的重要性，并把康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列入20世紀(jì)初有待解決的23個(gè)重要數(shù)學(xué)問(wèn)題之首。希爾伯特用堅(jiān)定的語(yǔ)言向世界宣布：“沒(méi)有任何人能將我們從康托爾所創(chuàng)造的伊甸園中驅(qū)趕出來(lái)”。

10.3分析的擴(kuò)展

19世紀(jì)分析的嚴(yán)格化成為這個(gè)時(shí)代分析的特點(diǎn)，但是，加固基礎(chǔ)的工作并沒(méi)有影響到19世紀(jì)的分析學(xué)家們?nèi)ミM(jìn)一步拓廣自己的領(lǐng)域。伴隨著分析的嚴(yán)格化，分析中的一朵奇葩——復(fù)變函數(shù)論成長(zhǎng)壯大起來(lái)；與物理問(wèn)題密切相關(guān)的微分方程繼續(xù)成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家共同關(guān)注的焦點(diǎn)；數(shù)學(xué)家們也開始更自覺地將分析工具應(yīng)用于其他的數(shù)學(xué)分支，解析數(shù)論應(yīng)運(yùn)而生，概率論則為在20世紀(jì)的獨(dú)立發(fā)展作好了準(zhǔn)備(概率論的發(fā)展將在第11章中介紹)．10.3.1復(fù)分析的建立

直到19世紀(jì)初，復(fù)數(shù)的“合法性”仍是一個(gè)未解決的問(wèn)題，但是這并沒(méi)有妨礙18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家如達(dá)朗貝爾和歐拉等人在他們的工作中大量地使用復(fù)數(shù)和復(fù)變量，他們也由此發(fā)現(xiàn)了復(fù)函數(shù)的一些重要性質(zhì)．例如，達(dá)朗貝爾在研究流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)，歐拉在用復(fù)函數(shù)計(jì)算實(shí)積分時(shí)，都得到了現(xiàn)在所稱的柯西—黎曼方程：

其中分別是復(fù)變量的一個(gè)復(fù)函數(shù)的實(shí)部和虛部．他們的工作導(dǎo)致了分析技巧和函數(shù)概念的重要發(fā)展然而不論是歐拉還是達(dá)朗貝爾都沒(méi)有進(jìn)一步研究復(fù)函數(shù)的性質(zhì)，在他們那里復(fù)函數(shù)并不是一個(gè)基本的實(shí)體，相反，他們是依靠把的實(shí)部和虛部分開來(lái)進(jìn)行其分析工作的．下面簡(jiǎn)單回顧一下：達(dá)朗貝爾和歐拉達(dá)朗貝爾(法,1717-1783)

自學(xué)成才，進(jìn)入巴黎科學(xué)院：院士、終身秘書1751-1757年與狄德羅(1713-1784)共同主編《百科全書》“科學(xué)處于17世紀(jì)的數(shù)學(xué)時(shí)代到18世紀(jì)的力學(xué)時(shí)代，力學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的主要興趣。”《動(dòng)力學(xué)》、《數(shù)學(xué)手冊(cè)》數(shù)學(xué)分析的重要開拓者之一，其成就僅次于歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼爾?伯努利

18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、分析的化身、“數(shù)學(xué)家之英雄”

圣彼得堡科學(xué)院(1727-1741,1766-1783)柏林科學(xué)院(1741-1766)1748年《無(wú)窮小分析引論》、1755年《微分學(xué)原理》、1768-1770年《積分學(xué)原理》最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家、《歐拉全集》84卷李善蘭譯的《代數(shù)學(xué)》（1859）等著作記載了歐拉的學(xué)說(shuō)“讀讀歐拉，他是我們大家的老師”“四杰”：阿基米德、牛頓、歐拉、高斯歐拉(瑞士,1707-1783)

復(fù)分析真正作為現(xiàn)代分析的一個(gè)研究領(lǐng)域，是在19世紀(jì)建立起來(lái)的，而且主要是通過(guò)柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯三個(gè)人的工作而發(fā)展的．

柯西的第一篇復(fù)變函數(shù)論方面的重要論文是他1814年所寫的“關(guān)于定積分理論的報(bào)告”．確切地說(shuō)，柯西討論的是計(jì)算反常(實(shí))積分的值，這是自歐拉時(shí)代起數(shù)學(xué)家們所研究的一個(gè)課題．

柯西認(rèn)為，在計(jì)算定積分的值時(shí)，歐拉以及后來(lái)的拉普拉斯等人使用了“一種基于從實(shí)到虛的過(guò)程的歸納法”，而他本人的目的則是將這一過(guò)程用“直接的和嚴(yán)格的分析來(lái)建立”．他還討論了二重積分的換序問(wèn)題，正是在這里，他引入了我們上面提到的那個(gè)著名方程．

然而，柯西在這篇文章中仍舊像歐拉和拉普拉斯那樣沒(méi)有把復(fù)函數(shù)作為一個(gè)基本實(shí)體來(lái)考慮．事實(shí)上，直到1825年，柯西在這方面并沒(méi)有前進(jìn)幾步．柯西在1825年出版的一本小冊(cè)子《關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的報(bào)告》可以看成是復(fù)分析發(fā)展史上的一個(gè)里程碑．在其中他建立了我們現(xiàn)在所稱的柯西積分定理．柯西本人對(duì)這個(gè)定理的敘述如下：如果對(duì)于和是有窮的并且是連續(xù)的，，并令，其中取實(shí)值，那么積分的值與函數(shù)和的形式無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)與積分路徑無(wú)關(guān)．柯西還考慮了在矩形區(qū)域內(nèi)部或邊界上成為無(wú)窮的情形．這時(shí)沿著兩條不同路徑的積分的值一般是不同的．他在各種假設(shè)下計(jì)算了它們之間的差．例如只在位于兩條積分路徑之間的一點(diǎn)處成為無(wú)窮，并且以下極限存在，即在有一個(gè)單極點(diǎn)，他證明積分之間的差是．柯西在1826年的一篇論文中稱量本身為積分留數(shù)．另外柯西還指出，當(dāng)一個(gè)函數(shù)在兩條積分路徑之間有幾個(gè)極點(diǎn)時(shí)，積分之差必須取留數(shù)之和.從1826年起，柯西發(fā)表了一系列有關(guān)留數(shù)計(jì)算的文章，并給出了留數(shù)的新的表達(dá)式．留數(shù)的概念和發(fā)展是柯西的一個(gè)重要貢獻(xiàn)．然而，直到1846年，柯西所關(guān)心的中心問(wèn)題還是實(shí)積分及其值的計(jì)算．標(biāo)志著柯西復(fù)變函數(shù)觀點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)變的是他在1846年發(fā)表的兩篇文章，其中他把與路徑無(wú)關(guān)的基本定理和留數(shù)定理分別推廣到了任意閉曲線的情形。到1850年前后，柯西已完全認(rèn)識(shí)到他的工作作為復(fù)變函數(shù)基本結(jié)果的重要性．

也就在這個(gè)時(shí)候，黎曼以他的一篇關(guān)于復(fù)分析基礎(chǔ)的論文在哥廷根大學(xué)獲得博士學(xué)位．正如著名數(shù)學(xué)家阿爾福斯(L.V.Ahlfors)所說(shuō)，這篇論文不僅包含了現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)論主要部分的萌芽，而且開啟了拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究，革新了代數(shù)幾何，并為黎曼自己的微分幾何研究鋪平了道路．

就復(fù)變函數(shù)論來(lái)講，這篇論文最突出的特征是其中的幾何觀點(diǎn)．正是在這里，黎曼引入了一個(gè)全新的幾何概念，即黎曼曲面．

引入這種曲面的出發(fā)點(diǎn)在于對(duì)多值函數(shù)進(jìn)行研究．黎曼面可以看作是由一些互相適當(dāng)連接的重疊的平面構(gòu)成．例如考察函數(shù)，對(duì)于每個(gè)值，一般有的兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)．為了研究這個(gè)函數(shù)并保持兩個(gè)值集和(或者說(shuō)函數(shù)的兩個(gè)分支)分開，黎曼給每個(gè)分支引進(jìn)一個(gè)值平面，還在每個(gè)平面上引進(jìn)一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于，將這兩個(gè)平面看成是一個(gè)位于另一個(gè)的上方，它們?cè)趦蓚€(gè)分支給出相同值的那些值處，即和處連接起來(lái)．這樣的這兩個(gè)平面(或稱葉)就構(gòu)成了黎曼面．因此，當(dāng)在黎曼面上變動(dòng)時(shí)，就變?yōu)榈囊粋€(gè)單值函數(shù)．

雖然黎曼面是一個(gè)幾何概念，但它遠(yuǎn)非是直觀的，我們也不可能在三維空間里準(zhǔn)確地表示出黎曼面，為此，黎曼的觀點(diǎn)還遭遇到了一些同時(shí)代人的反對(duì)．例如魏爾斯特拉斯就稱黎曼面不過(guò)是一種“幾何幻想物”．

黎曼非歐幾何黎曼(1826-1866）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家。1846年，進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)神學(xué)，后在數(shù)學(xué)家的影響下，放棄神學(xué)改學(xué)數(shù)學(xué)，有幸成為高斯晚年的學(xué)生。獲博士后留校。

黎曼（1826-1866）魏爾斯特拉斯本人為復(fù)變函數(shù)論開辟了又一條研究途徑．魏爾斯特拉斯的工作一向以嚴(yán)格著稱，這一點(diǎn)我們?cè)谏弦还?jié)已經(jīng)領(lǐng)略到了．同樣，他關(guān)于解析函數(shù)的工作也是以追求絕對(duì)的嚴(yán)格性為特征的．因此，魏爾斯特拉斯不僅拒絕使用柯西通過(guò)復(fù)積分所獲得的結(jié)果(包括柯西積分定理和留數(shù)理論)，他也不能接受黎曼提出的那種幾何“超驗(yàn)”方法．他相信函數(shù)論的原理必須建立在代數(shù)真理的基礎(chǔ)上，所以他把目光投向了冪級(jí)數(shù)．用冪級(jí)數(shù)表示已用解析形式給出的復(fù)函數(shù)，對(duì)于魏爾斯特拉斯來(lái)說(shuō)并不是一個(gè)新的創(chuàng)造．但是，從已知的一個(gè)在限定區(qū)域內(nèi)定義某個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)出發(fā)，根據(jù)冪級(jí)數(shù)的有關(guān)定理，推導(dǎo)出在其他區(qū)域中定義同一函數(shù)的另一些冪級(jí)數(shù)，這個(gè)問(wèn)題是魏爾斯特拉斯解決的．上述過(guò)程也稱為解析開拓，它在魏爾斯特拉斯的理論中起著基本的作用．使用這種方法，已知某個(gè)解析函數(shù)在一點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)，通過(guò)解析開拓，我們就可以完全得到這個(gè)解析函數(shù)．在19世紀(jì)末，魏爾斯特拉斯的方法占據(jù)了主導(dǎo)地位，正是這種影響，使得