第七章應力狀態(tài)

材料力學中南大學土木工程學院1一、應力狀態(tài)的概念

第七章應力狀態(tài)和強度理論§7.1概述一點的應力狀態(tài)是指某點處各截面上的應力情況。

前面各章研究的拉伸、扭轉、橫力彎曲的正應力和切應力都是橫截面上的應力，通過應力狀態(tài)分析，可以了解各點任意斜截面上的應力情況。研究應力狀態(tài)的目的是找出某點處的最大正應力和最大切應力數(shù)值及所在截面的方位，以便進行失效分析并研究構件破壞的原因。材料力學中南大學土木工程學院2軸向拉伸斜截面上的應力軸向拉伸橫截面上的應力幾個問題1、簡單變形（拉壓、扭轉、平面彎曲）某點橫截面有應力，通過該點的斜截面上是否也有應力？FpaFpaaasata材料力學中南大學土木工程學院3

從兩種不同材料的扭轉試驗可知，低碳鋼在橫截面破壞，鑄鐵在斜截面破壞，所以斜截面上的應力當然要研究！2、如果斜截面上有應力，是否需要研究？低碳鋼扭轉斷口斷口鑄鐵扭轉斷口450斷口3、應力的三個概念應力點的概念:不同點處應力不同。應力面的概念：同一點處不同截面上的應力不同。應力狀態(tài)的概念：過一點不同截面上應力的的集合，稱為這一點的應力狀態(tài)。應力必須指明是哪點、哪個截面上的應力。材料力學中南大學土木工程學院4單元體：圍繞構件內一點所截取的微小正六面體。dxdzdy（1）各邊長為無窮小直六面體；dx，dy，dz→0（2）各面應力均勻分布；（3）平行兩面對應應力數(shù)值相等。（4）單元體各個面上的應力已知或可求；二、一點應力狀態(tài)的描述一點應力狀態(tài)xzyOsxsysz正視圖sxsxsysytxytyxtxytyxtxytyxtzytyztzxtxz材料力學中南大學土木工程學院5單元體的取法

原則：各面應力已知或可求。FS平面材料力學中南大學土木工程學院6123S平面5432154321sx1sx2t2t3材料力學中南大學土木工程學院7三、主平面主應力1、主平面——切應力等于零的平面。一點處一般有三個主平面，互相垂直。2、主應力——主平面上的正應力。一點處一般有三個主應力，按代數(shù)值大小排列分別記為s1，

s2，

s3，且xysxztxytxzsytyxsztyztzxtzy旋轉s1y'x'z's2s3材料力學中南大學土木工程學院81、單向應力狀態(tài)——只有一個主應力不為零。單元體四、一點應力狀態(tài)的分類s簡化表示s2、二向（平面）應力狀態(tài)——有兩個主應力不為零。s1s2s1s2純剪應力狀態(tài)tt材料力學中南大學土木工程學院93、三向（空間）應力狀態(tài)——三個主應力都不為零。s2s3s1三向應力狀態(tài)特例二向應力狀態(tài)特例單向應力狀態(tài)純剪應力狀態(tài)材料力學中南大學土木工程學院10薄壁圓筒實例材料力學中南大學土木工程學院11橫截面與縱截面上均存在的正應力，對于薄壁圓筒，可認為沿壁厚均勻分布。軸向應力Asxst材料力學中南大學土木工程學院12周向應力1徑向應力一般忽略不計材料力學中南大學土木工程學院13§7.2平面應力狀態(tài)分析——解析法一、平面應力狀態(tài)的一般情形sxsytxytyxxysysxtxytyx簡化表示特別注意：由x軸正向到y(tǒng)軸正向必須是逆時針轉向。材料力學中南大學土木工程學院14二、任意斜截面上的應力“任意”斜截面是指法線位于xy面內的斜截面，也稱面內任意！

平面應力狀態(tài)下只要知道單元體2個面上的應力，“任意”斜截面上的應力便可通過切開單元體后局部的平衡求出。1、“任意”斜截面的表示方法sxsytxytyxtasanaxsxtxytyxsysata局部平衡×體內任意！材料力學中南大學土木工程學院15a面——斜截面

自x軸正向逆時針轉到a

面外法線時a

角定義為正。2、應力的正負號規(guī)定正應力以拉應力為正，壓應力為負。

xsxtxytyxsyaatasanaxsxtxytyxsysata簡化表示切應力以繞單元體或其局部順時針方向轉動為正；反之為負。txytyxta應力的正負號規(guī)定是為畫出應力的指向及畫應力圓用，不表示應力的指向與圖示相反。材料力學中南大學土木工程學院163、“任意”斜截面上的應力平衡對象——用

斜截面截取的局部單元。參加平衡的量——應力乘以其作用的面積。平衡方程——

xsxtxytyxsyaatasant圖示單元各截面面積如圖所示。dAdAcosadAsinasadA-sx(dAcosa)cosa+txy

(dAcosa)sina

+tyx(dAsina)cosa

-sy(dAsina)sina=0這里要特別指出，式中tyx要按其大小計算，不考慮負號。材料力學中南大學土木工程學院17

tadA-sx(dAcosa)sina-txy(dAcosa)cosa+tyx(dAsina)sina+sy(dAsina)cosa=0

xsxtxytyxsyaatasantdAdAcosadAsina根據切應力互等定理tyx=txy，及三角函數(shù)關系整理后得到（7-1）（7-2）材料力學中南大學土木工程學院18由式（7-1）、（7-2）可得，

某點處互相垂直的兩個截面上的正應力之和為常數(shù)。

某點處互相垂直的兩個截面上的切應力大小相等，(負號表示)方向相反。（切應力互等定理）材料力學中南大學土木工程學院19解：C點應力狀態(tài)如圖所示，其拉應力和切應力為：已知圖示圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力偶矩M=7kN·m。求C點=300截面上的應力。FFMMCsxtxytyxC圖示斜截面上應力分量為：n300s-300t-300材料力學中南大學土木工程學院20式（7－1）對a求導，得當時，必有單元體正應力取極值的截面上其切應力為零，即為主平面。主平面上的正應力為主應力，為該點處的最大值或最小值。三、主平面及位置由得（7-3）材料力學中南大學土木工程學院21

式（7-3）可求出相差900的兩個角a0，對應兩個互相垂直的截面上，一個是最大正應力所在截面，另一個是最小正應力所在截面。（7-4）四、面內最大切應力及位置式（7-2）對a求導，得由可確定面內切應力取極值的截面。（7-5）面內是指截面法線是位于xy平面內的。材料力學中南大學土木工程學院22

式（7-5）可求出相差900的兩個角a1，對應兩個互相垂直的截面上，作用著大小相等，同時指向或背離交線的切應力所在截面。（7-6）式（7-3）和式（7-5）有：所以有材料力學中南大學土木工程學院2325MPa75MPa40MPa單元體的應力狀態(tài)如圖所示，求該點的主應力并確定主平面的位置。解：建立圖示坐標，其拉應力和切應力為：xy因為，且朝上，所以主平面如圖所示。按主應力規(guī)定s1s319.330材料力學中南大學土木工程學院24已知圖示圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力偶矩M=7kN·m。求C點處的主平面和主應力及面內最大切應力和位置。FFMMC解：C點應力狀態(tài)如圖所示，其拉應力和切應力為：sxtxytyxC由得a=24.10和114.10單元體旋轉s1s324.10CC點處的主單元體材料力學中南大學土木工程學院25單元體旋轉

面內最大切應力的位置不必計算，由主單元體旋轉450就可得作用面內最大切應力的單元體，但是必須強調指出的是，此時單元體不是純剪切應力狀態(tài)，截面上有正應力作用，且正應力大小為平均正應力。平均正應力為單元體旋轉s1s324.10CsxtxytyxCsm450Csmtmaxtmin69.1024.10材料力學中南大學土木工程學院26一、應力圓方程sa，ta為變量a

為參數(shù)§7.2平面應力狀態(tài)分析——圖解法材料力學中南大學土木工程學院27二、應力圓的作法ROstsxtxyAA(sx,txy)BsytyxB(sy,tyx)CA1B1材料力學中南大學土木工程學院28三、應力圓的應用

點面對應——應力圓上某一點的坐標值對應著單元體某一截面上的正應力和切應力值；

轉向對應——半徑旋轉方向與單元體斜截面法線旋轉方向一致；

二倍角對應——半徑轉過的角度是斜截面旋轉角度的兩倍。1、單元體與應力圓的對應關系ABsOtCA(sx,txy)B(sy,tyx)轉向對應nx2二倍角對應點面對應D(sa,ta)sataDsxtxysytyxtxy材料力學中南大學土木工程學院292、單元體斜截面上的應力ABsOtCA(sx,txy)B(sy,tyx)nx2D(sa,ta)sataDsxtxysytyxtxy2a0D1材料力學中南大學土木工程學院303、主應力值及主平面方位主應力值平均應力值主平面方位COstABA1B1FsmaxEsmin20BsytyxsxtxyAFEsmaxsmina0材料力學中南大學土木工程學院31COstABA1B1FsmaxEsmin20BsytyxsxtxyA4、面內最大切應力值及其作用面方位

應力圓上的最高點的切應力最大，即為面內最大切應力，其作用面與主平面的夾角為450。C2C1(sm,tmax)a0FEsmaxsminsmtmax材料力學中南大學土木工程學院32純剪切tsOttABA(0,t)B(0,－t)CDEDEs1=ts3=－t單向拉伸ssABEDtsOBCA(s,0

)DEsm=s/2tmax=s/2sm=s

/2材料力學中南大學土木工程學院33求：1、指定斜截面上的應力；

2、主平面；

3、主應力；

4、面內最大切應力；

5、畫出主應力單元體。

x=－20MPa；

y=

40MPa；

xy=10MPa；

=300

解析法:（1）建立坐標系已知單元體如圖，圖中應力單位為MPa。401020300（2）求sa

，ta=－13.7MPasa

，ta

算好后按實際方向畫在原圖上300nyxx軸正向到y(tǒng)軸正向是逆時針的tasa材料力學中南大學土木工程學院34（3）求主平面a0=9.220，99.220（4）求主應力401020300tasa∴s1=41.6MPa，s2=0，s3=－21.6MPa（5）畫主應力單元體注：主應力smax

的方向是sx與sy中的較大者，順單元體切應力t

的指向偏轉a0角中絕對值較小角而得。s1s39.2209.220（6）求面內最大切應力材料力學中南大學土木工程學院35圖解法:（1）畫應力圓401020300sOtA(-20,10)A(-20,10)B(40,-10)C（2）求應力圓上的幾何數(shù)據應力圓半徑B截面與最大正應力所在主平面夾角a020B(40,-10)B1a0=9.220FEs1s39.2209.220材料力學中南大學土木工程學院36（3）求sa

，ta401020300A(-20,10)B(40,-10)sOtA(-20,10)C20B(40,-10)B1FE300n20a0=9.220D(sa,ta)600（4）求面內最大切應力材料力學中南大學土木工程學院37a114MPa483828已知平面應力狀態(tài)某點處的兩個截面上的應力如圖所示。求該點處的主應力和主平面方位，并求出兩截面的夾角a值。圖中應力單位為MPa。P252.7-11解析法：設圖中的x面和1800-

a面如圖示。xn1800-a則：sx=114MPa，txy=-48MPa；

s180-a=38MPa，t180-a=28MPa代入以上數(shù)據求得sy=58MPa1144848xysyas180-at180-a材料力學中南大學土木工程學院38主應力為于是：s1=142MPa，s2=30MPa，s3=0a0=29.90，119.90由s180-a和t180-a消去cos2a得，sin2a=0.5，a=150，750

消去sin2a

得，cos2a

=－0.87，a

=750，1050最終得a=750a114MPa483828114484858xy14229.9030x材料力學中南大學土木工程學院39A面的正應力s=114MPa，切應力t=-48MPaB面的正應力s=38MPa，切應力t=28MPa在應力坐標軸上做A、B兩點如圖所示。ABstOA(114,-48)B(38,28)連接AB，做AB的垂直平分線交橫軸于C，連CA、CB。以C為圓心，CA或CB為半徑做應力圓于圖示。應力圓半徑求得sm=86，R=56于是：s1=

sm+R=142MPas2=sm－R=30MPas3=0C(sm,0)Da114MPa483828材料力學中南大學土木工程學院402a0因為三角形ACB的頂角為2a。aastOA(114,-48)B(38,28)C(sm,0)Da0=29.90因為sm=86，R=56a114MPa483828ABa=750材料力學中南大學土木工程學院41四、梁的主應力和主應力跡線梁在橫力彎曲時的正應力和切應力為：lhbqsxMFStxym—m截面上的應力分布mm材料力學中南大學土木工程學院42mm梁內任意一點處的單元體及主應力為：sxtxys1s3m—m截面上各點的主應力方向s3s1s3s1s3s1s3s1注：中性軸以上橫截面受壓，主應力s1

與鉛直方向的夾角小于450。中性軸以下橫截面受拉，主應力s1的方向與水平方向的夾角小于450。材料力學中南大學土木工程學院43主應力跡線：在梁的平面內繪制的兩組正交的曲線，曲線上各點的切線方向為該點的主應力方向。

圖示受均布荷載作用簡支梁的主應力跡線。及根據主應力跡線做的配筋圖。實線——主應力s1

的跡線；虛線——主應力s3的跡線。材料力學中南大學土木工程學院44一、定義

三個主應力都不為零的應力狀態(tài)。二、三向應力狀態(tài)應力圓

可利用主應力單元體作出。s1s2s3三向應力狀態(tài)的主應力單元體§7.3空間應力狀態(tài)分析三種特殊的斜截面s3s1s2平行于s1的斜截面s3s1s2平行于s2的斜截面s3s1s2平行于s3的斜截面材料力學中南大學土木工程學院45

平行于s1的斜截面上的應力與s1無關，其應力由s2

、s3作出的應力圓I上的點確定。s3s1s2平行于s1的斜截面tsOs2Ⅰs3

平行于s3的斜截面上的應力與s3無關，其應力由s1

、s2作出的應力圓Ⅱ上的點確定。s3s1s2平行于s3的斜截面s1Ⅱ材料力學中南大學土木工程學院46Ⅲs3s1s2平行于s2的斜截面

平行于s2的斜截面上的應力與s2無關，其應力由s1

、s3作出的應力圓Ⅲ上的點確定。三向應力圓三種特殊斜截面上的應力在對應圓上s1Ⅱs3s2ⅠtsO單元體任意斜截面上的應力在三個應力圓所圍區(qū)域內K材料力學中南大學土木工程學院471、極值正應力

smax=s1

smin=s3三、極值應力Ⅲs1Ⅱs3s2ⅠtsO2、極值切應力各面內最大切應力某點處最大切應力最大切應力位于平行于s2的斜截面上。s1s2s3tmax材料力學中南大學土木工程學院48試確定圖示應力狀態(tài)的主應力和最大切應力，并確定主平面和最大切應力作用面位置。30015014090解：①建立坐標，給定應力狀態(tài)中有一個主應力是已知的，即sz=90MPa。因此，可將該應力狀態(tài)沿z方向投影，得到平面應力狀態(tài)，可直接求主應力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=－150MPa，因此：③根據s1、s2、s3的排列順序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPaxyz材料力學中南大學土木工程學院49④主應力方位最大切應力所在平面法線與主平面夾角成450即與x軸夾角760或-140。⑤單元體內的最大切應力材料力學中南大學土木工程學院5030015014090stOABA(300,-150)(140,

150)BC20應力圓半徑smax=39050=smin材料力學中南大學土木工程學院51x300150y140z90Asy=140txy=150sx=300A視圖xzys2y'31o31os1x's3材料力學中南大學土木工程學院52解：①這是主應力單元體，由定義s1=60MPa，s2=30MPa，s3=－50MPa①求圖示單元體的主應力和最大切應力。30(MPa)605030(MPa)3040②②已知一個主應力40MPa，另兩個主應力可按純剪切應力狀態(tài)結論直接寫出。s1=40MPa，s2=30MPa，s3=－30MPa材料力學中南大學土木工程學院53

各向同性材料，應力不超過材料的比例極限。胡克定律成立

§7.4應力與應變的關系一、廣義胡克定律yxn--泊松比sxsx材料力學中南大學土木工程學院54三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律——疊加法疊加s2s3s1同理。其它方向的應變?yōu)椴牧狭W中南大學土木工程學院55xzyOsxsysztxytyxtzytyztzxtxz三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律——疊加法（1）線應變只與正應力有關，與切應力無關；切應變只與切應力有關，與正應力無關。（2）一個方向的線應變不僅與該方向的正應力有關，而且與兩個垂直方向的正應力有關。因此，考察一個方向的線應變時，需要考慮三個互相垂直方向的正應力。材料力學中南大學土木工程學院56二、體積胡克定律單元體變形前體積V=dxdydz單元體變形后體積定義體積應變?yōu)槎x體積彈性模量為其中平均應力dzdydxs3s1s2于是材料力學中南大學土木工程學院572、求t3、求Me

解：1、應力狀態(tài)分析畫單元體已知軸扭轉時的d，E，v，e45o，求Me。450MeKMettK450s1=tKs3=－t材料力學中南大學土木工程學院58解：k點的應力狀態(tài)為圖示純剪應力狀態(tài)。圖示簡支梁k點450方向的線應變?yōu)?50，材料的彈性模量為E，泊松比為n，求作用的荷載F。450Fl/32l/3hbttK450s1=tKs3=－t求得材料力學中南大學土木工程學院59解：銅塊應力狀態(tài)如圖所示，橫截面上的壓應力為：如圖所示邊長a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大變形不計的鋼凹槽中。當受到F=300kN的均布壓力作用時，試求銅塊的主應力、體積應變以及最大切應力。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比=0.34。aaaFszsxsy

受鋼槽的限制，銅塊在另兩個方向的應變?yōu)榱?，并產生壓應力。材料力學中南大學土木工程學院60解得：最大切應力為：則銅塊的主應力為：由此可得其體積應變?yōu)椋翰牧狭W中南大學土木工程學院61一、外力功與應變能

1、外力功W荷載在其作用點位移上所作的功。(1)

常力作功§7.5彈性固體的應變能W=FDFADFBqW=MqMM(2)

靜載(變力)作功

靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性體上的荷載，靜載作功屬于變力作功。材料力學中南大學土木工程學院62D

FDFdDF對于一般彈性體F—D圖下方面積對于線性彈性體，即位移與力成正比的彈性體FDD

FF為廣義力，D為廣義位移。2、應變能Ve彈性體因變形而儲存的能量，稱為應變能。

由能量守恒定律，儲存在彈性體內的應變能Ve在數(shù)值上等于外力所作的功W。（忽略能量損失）即Ve=W材料力學中南大學土木工程學院63二、線彈性體的應變能1、軸向拉壓FN為變量時lFFFDlDlF材料力學中南大學土木工程學院642、扭轉T為變量時MejMejMe材料力學中南大學土木工程學院653、平面彎曲橫力彎曲時忽略剪力對應變能的影響，如矩形截面，當l/b=10時，剪力的應變能只占彎矩應變能的3﹪。純彎曲時橫力彎曲M(x)為變量MdxMdq材料力學中南大學土木工程學院66

應變能Ve是內力（FN、T、M）的二次函數(shù)，應變能一般不符合疊加原理。但若幾種荷載只在本身的變形上作功，而在其它載荷引起的變形上不作功，則應變能可以疊加。三、線彈性體的應變能密度

應變能密度

1、單向拉壓的應變能密度sdxdydz材料力學中南大學土木工程學院672、純剪切的應變能密度dxdydzttg3、復雜應力狀態(tài)下的應變能密度

三向應力狀態(tài)下，假定各主應力按比例同時從零增加到最終值，每一主應力與相應的主應變仍為線性關系。

由廣義胡克定律材料力學中南大學土木工程學院68于是對k積分得復雜應力狀態(tài)下的應變能密度為復雜應力狀態(tài)下的應變能密度v

e體積改變能密度vV形狀改變能密度vd因體積變化、形狀不變而儲存的應變能密度。

因形狀改變體積不變而儲存的應變能密度。材料力學中南大學土木工程學院69s1s2s3=smsmsm+圖示單元體三個正應力相等，只有體積改變能。圖示單元體三個正應力不相等，且三個正應力之和為零，只有形狀改變能。材料力學中南大學土木工程學院70smsmsm注意：由于應力、應變與應變能密度不是線性關系，所以應變能密度一般不符合疊加原理。材料力學中南大學土木工程學院71上式展開，并注意有復雜應力狀態(tài)下的應變能密度為得形狀改變能密度vd單向應力狀態(tài)時材料力學中南大學土木工程學院72軸向拉伸ss§7.6強度理論及相當應力一、建立強度條件的復雜性單向應力狀態(tài)強度條件橫力彎曲st

軸向拉伸橫截面上任一點和橫力彎曲邊緣上的點均處于單向應力狀態(tài)。材料力學中南大學土木工程學院73t扭轉t純剪切強度條件橫力彎曲st

扭轉橫截面上邊緣上的點和橫力彎曲中性軸上的點均處于純剪切應力狀態(tài)。st平面應力狀態(tài)強度條件？×材料力學中南大學土木工程學院74

復雜應力狀態(tài)的形式是無窮無盡的，建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，采用模擬的方法幾乎是不可能的，即逐一用試驗的方法建立強度條件是行不通的，需要從理論上找出路。二、利用強度理論建立強度條件

（1）對破壞形式分類；（2）同一種形式的破壞，可以認為是相同的原因造成的；（3）至于破壞的原因是什么，可由觀察提出假說，這些假說稱為強度理論;

（4）利用簡單拉伸實驗建立強度條件。三常用四種強度理論脆性斷裂塑性屈服破壞形式分類

強度理論也可分為兩類，分別對不同的破壞形式提出強度條件。材料力學中南大學土木工程學院75鑄鐵扭轉材料力學中南大學土木工程學院76低碳鋼扭轉材料力學中南大學土木工程學院77

無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要最大拉應力達到極限值，材料就會發(fā)生脆性斷裂。Ⅰ、脆性斷裂理論

1、最大拉應力理論（第一強度理論）破壞原因：stmax

（最大拉應力）破壞條件：s1=s

0

（sb）s1s2s3s0=sb強度條件適用范圍:脆性材料拉、扭；一般材料三向拉；鑄鐵二向拉-拉，拉-壓（st>sc）材料力學中南大學土木工程學院78拉斷！鑄鐵斷口450ttABDEs1=ts3=－t材料力學中南大學土木工程學院79

無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要最大伸長線應變達到極限值，材料就發(fā)生脆性斷裂。破壞原因：etmax

（最大伸長線應變）破壞條件：e1=e02、最大伸長線應變理論（第二強度理論）強度條件：s1－n（s2+s3

）≤sb/n=[s]適用范圍：石、混凝土壓；鑄鐵二向拉—壓（st

≤sc）材料力學中南大學土木工程學院80

無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要最大切應力達到極限值，就發(fā)生屈服破壞。破壞原因：tmax

破壞條件:tmax=t

0

Ⅱ、塑性屈服理論1、最大切應力理論（第三強度理論）s1s2s3s0=sss1－s3=s

0=ss強度條件適用范圍：塑性材料屈服破壞；一般材料三向壓。材料力學中南大學土木工程學院812、形狀改變能理論（第四強度理論）

無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要形狀改變能密度達到極限值，就發(fā)生屈服破壞。只改變體積只改變形狀s1s2s3s0=ss破壞條件材料力學中南大學土木工程學院82適用范圍：塑性材料屈服；一般材料三向壓。強度條件四、相當應力強度條件中直接與許用應力[s]比較的量，稱為相當應力sr(形狀改變能理論)(最大切應力理論)(最大拉應力理論)(最大伸長線應變理論)強度條件的一般形式sr