第5章曲線與曲面

第二篇幾何第6章曲線與曲面6.1基礎(chǔ)知識(shí)自由曲線和曲面發(fā)展過程自由曲線曲面的最早是出現(xiàn)在工作車間，為了獲得特殊的曲線，人們用一根富有彈性的細(xì)木條或塑料條（叫做樣條），用壓鐵在幾個(gè)特殊的點(diǎn)（控制點(diǎn)）壓住樣條，樣條通過這幾個(gè)點(diǎn)并且承受壓力后就變形為一條曲線。人們調(diào)整不斷調(diào)整控制點(diǎn)，使樣條達(dá)到符合設(shè)計(jì)要求的形狀，則沿樣條繪制曲線。1963年，美國(guó)波音，弗格森提出使用參數(shù)三次方程來(lái)構(gòu)造曲面1964-1967年，美國(guó)MIT，孔斯用封閉曲線的四條邊界來(lái)定義曲面1971年，法國(guó)雷諾汽車，Bezier提出用控制多邊形來(lái)定義曲線和曲面1974年，美國(guó)通用汽車，戈登和里森菲爾德,B樣條理論用于形狀描述1975年，美國(guó)錫拉丘茲大學(xué)，佛斯普里爾提出有理B樣條80年代，皮格爾和蒂勒,將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條，NURBS方法6.1基礎(chǔ)知識(shí)從表示形式來(lái)看，曲線可分成兩大類：規(guī)則曲線——自由曲線——可以用標(biāo)準(zhǔn)方程描述的曲線。如圓、橢圓、拋物線、雙曲線、漸開線、擺線等無(wú)法用標(biāo)準(zhǔn)方程描述的曲線，通常由一系列實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)確定。如汽車的外形曲線、等高線等。曲線6.1基礎(chǔ)知識(shí)從生成算法來(lái)看，曲線可分成兩大類：

擬合型設(shè)計(jì)型對(duì)已經(jīng)存在的離散點(diǎn)列構(gòu)造出盡可能光滑的曲線，以直觀（而忠實(shí)）地反映出實(shí)驗(yàn)特性、變化規(guī)律和趨勢(shì)等。設(shè)計(jì)人員對(duì)其所設(shè)計(jì)的曲線并無(wú)定量的概念，而是在設(shè)計(jì)過程中即興發(fā)揮。6.1.1曲線的表示

曲線的表示方法

參數(shù)表示非參數(shù)表示顯示表示隱式表示6.1.1曲線的表示

顯示表示

隱式表示6.1.1曲線的表示

參數(shù)表示

參數(shù)的含義t：表示時(shí)間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間[0，1]6.1.1曲線的表示--以直線為例已知直線的起點(diǎn)坐標(biāo)P1（x1，y1）和終點(diǎn)坐標(biāo)P2（x2，y2）,直線的顯式方程表示為：直線的隱式方程表示為：6.1.1曲線的表示

直線的參數(shù)方程表示為：，t∈[0,1]

6.1.1曲線的表示

1）用參數(shù)表示的曲線形狀本質(zhì)與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，具有幾何不變性；2）有更大自由度來(lái)控制曲線的形狀；3）容易實(shí)現(xiàn)各種線性變換運(yùn)算；4）曲線的端點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)等計(jì)算簡(jiǎn)單，避免了無(wú)窮大斜率的問題；5）便于曲線的分段描述；6）易于處理多值問題；7）參數(shù)的變化約定為[0,1]，自然規(guī)定了曲線是有界的。參數(shù)表示法的優(yōu)越性：曲線構(gòu)造方法插值法逼近法6.1.2插值

通過測(cè)量或計(jì)算得到的曲線上少量描述曲線幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)。型值點(diǎn)

控制點(diǎn)用來(lái)控制或調(diào)整曲線形狀的特殊點(diǎn)（不一定在曲線上）

插值點(diǎn)在型值點(diǎn)或控制點(diǎn)之間插入的一系列點(diǎn)。6.1.2插值

插值給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。6.1.2插值

–線性插值線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，用線形函數(shù)y=Φ(x)=ax+b近似代替，稱Φ(x)為f(x)的線性插值函數(shù)。6.1.2插值

–拋物線插值拋物線插值(二次插值)

已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)x1,x2,x3的函數(shù)值為y1,y2,y3，要求構(gòu)造函數(shù)y=Φ

(x)=ax2+bx+c,使得Φ(x)在xi處與f(x)在xi處的值相等。6.1.3逼近逼近構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線稱為逼近曲線。用這種方法建立的曲線數(shù)學(xué)模型只是近似地接近已知的控制點(diǎn)，并不一定完全通過所有的控制點(diǎn)。控制點(diǎn)控制多邊形或特征多邊形6.1.4擬合

擬合：在曲線曲面的設(shè)計(jì)過程中，用插值或逼近的方法使生成的曲線曲面達(dá)到某些設(shè)計(jì)要求。6.1.5曲線的連續(xù)性

構(gòu)造復(fù)雜曲線時(shí)，可以首先構(gòu)造一些簡(jiǎn)單的自由曲線,然后將這些簡(jiǎn)單曲線段連接成復(fù)雜曲線。拼接條件：首先必須有連接點(diǎn)，其次必須在連接點(diǎn)處平滑過渡，即需要滿足連續(xù)性條件。連續(xù)性條件有兩種：參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性。6.1.5曲線的連續(xù)性

–參數(shù)連續(xù)性零階參數(shù)連續(xù)性（記作C0）：指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)。6.1.5曲線的連續(xù)性—參數(shù)連續(xù)性

一階參數(shù)連續(xù)性（記作C1）相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)。6.1.5曲線的連續(xù)性—參數(shù)連續(xù)性

二階參數(shù)連續(xù)性（記作C2）指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。6.1.5曲線的連續(xù)性—幾何連續(xù)性

幾何連續(xù)性只要求導(dǎo)數(shù)成比例，而不是相等。

零階幾何連續(xù)性（記作G0）：與零階參數(shù)連續(xù)性相同，即相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處有相同的坐標(biāo)。6.1.5曲線的連續(xù)性—幾何連續(xù)性

一階幾何連續(xù)性（記作G1）指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)成比例，但大小不一定相等。6.1.5曲線的連續(xù)性

–幾何連續(xù)性二階幾何連續(xù)性（記作G2）指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)成比例，即曲率一致。樣條曲線

在汽車制造廠里，傳統(tǒng)上采用樣條繪制曲線的形狀。繪圖員彎曲樣條（如彈性細(xì)木條）通過各實(shí)測(cè)點(diǎn)，其它地方自然過渡，然后沿樣條畫下曲線，即得到樣條曲線（SplineCurve)。樣條曲線

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段（可為規(guī)則/自由曲線段）連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)性條件。樣條曲線的插值通常：進(jìn)行分段插值n+1個(gè)控制點(diǎn)進(jìn)行分段，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型；在線段交點(diǎn)處，設(shè)置邊界條件進(jìn)行光滑連接。構(gòu)造通過5個(gè)型值點(diǎn)的拋物線參數(shù)樣條曲線P1P2P3P4P5這樣構(gòu)造出來(lái)的拋物線參數(shù)樣條曲線完全通過給定的5型值點(diǎn)，除了P1到P2的區(qū)間,P4到P5的區(qū)間其他兩個(gè)型值點(diǎn)之間都是重合區(qū)間6.1.6Hermite樣條曲線

從a3x到a0z有12個(gè)系數(shù)為代數(shù)系數(shù)，它們確定了這條參數(shù)曲線的形狀和位置。系數(shù)不同則曲線不同。把上述的代數(shù)方程改寫為矢量形式P(t)表示曲線上任一點(diǎn)的位置矢量；系數(shù)a0表示(a0x,a0y,a0z)一般的三次參數(shù)樣條曲線的代數(shù)形式6.1.6Hermite樣條曲線

給出端點(diǎn)坐標(biāo)、端點(diǎn)坐標(biāo)的切矢量，即：P(0),P(1),P’(0),P’(1)根據(jù)條件，得出方程：6.1.6Hermite樣條曲線矩陣形式：則：6.1.6Hermite樣條曲線

令三次參數(shù)樣條曲線方程可以寫成：根據(jù)：Hermite矩陣三次Hermite樣條曲線的方程6.1.6Hermite樣條曲線上式展開因?yàn)樗鼈冋{(diào)和了邊界約束值，使在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生曲線的坐標(biāo)值。調(diào)和函數(shù)僅與參數(shù)t有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。

其中:稱為Hermite樣條調(diào)和函數(shù)6.1.6Hermite樣條曲線Hermite樣條曲線通過給定的N個(gè)型值點(diǎn)構(gòu)造，每?jī)蓚€(gè)型值點(diǎn)之間生成一條Hermite曲線段，Hermite樣條曲線由N-1條首尾相連的Hermite曲線構(gòu)成，并且相鄰的Hermite曲線段在連接點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)相等（C2連續(xù)性）Hermite曲線段定義：給定曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)Pi、Pi+1和兩端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)Ri和Ri+1構(gòu)造而成。6.1.6Hermite樣條曲線例1：給定9個(gè)型值點(diǎn)，其中起始點(diǎn)和終止點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，從而其特征多邊形是一個(gè)首尾相接的封閉多邊形，具體坐標(biāo)位置如下：（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)數(shù)值如下：（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,70）,（70,70）,（-70,70）,（-70,70）,（70,-70）用Hermite插值方法繪制曲線。解：p0=(100,300)p1=(120,200)p0’=(70,-70)p1’=(70,-70)For(t=0;t<=1;t=t+0.1)或For(t=0;t<=1;t=t+0.01)或6.1.6Hermite樣條曲線解：兩段三次Hermite曲線分別為：

Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0t1∈[01]Q2(t2)=b3t23+b2t22+b1t21+b0t2∈[01]

依據(jù)C2連續(xù)充要條件為：

Q1(1)和Q2(0)在P點(diǎn)處重合，且其在P點(diǎn)處的切矢量方向相同，大小相等例2：試求兩段三次Hermite曲線達(dá)C2連續(xù)的條件。6.1.6Hermite樣條

即Q1(1)=Q2(0)、Q1’(1)=Q2’(0)、Q1”(1)=Q2”(0)有Q1(1)=a3+a2+a1+a0

Q2(0)=b0因Q1’(t1)=3a3t12+2a2t1+a1

Q2’(t2)=3b3t22+2b2t2+b1

則Q1’(1)=3a3+2a2+a1Q2’(0)=b1

因Q1”(t1)=6a3t1+2a2Q2”(t2)=6b3t2+2b2

則Q1”(1)=6a3+2a2Q2”(0)=2b2

6.1.6Hermite樣條

=>兩段三次Hermite曲線：

Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0t1∈[01]Q2(t2)=b3t23+b2t22+b1t21+b0t2∈[01]

要達(dá)到C2連續(xù)，其系數(shù)必須滿足下列關(guān)系式：

a3+a2+a1+a0=b03a3+2a2+a1=b16a3+2a2=2b26.2Bezier曲線

1962年，法國(guó)雷諾汽車公司的P.E.Bezier提出了一種函數(shù)逼近和幾何表示相結(jié)合的參數(shù)曲線表示方法，用這種方法生成的曲線稱為Bezier曲線。這種方法的特點(diǎn)是所輸入型值點(diǎn)與生成曲線之間的關(guān)系明確，能比較方便地通過修改輸入?yún)?shù)來(lái)改變曲線的形狀和階次。6.2.1Bézier曲線的定義

由一組多邊折線的頂點(diǎn)定義,在多邊折線的各頂點(diǎn)中，只有第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在曲線上,第一條和最后一條折線分別表示出曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處切線方向。曲線的形狀趨向于多邊折線的形狀，因此，多邊折線又稱為特征多邊形，其頂點(diǎn)稱為控制點(diǎn)。Bézier曲線的數(shù)學(xué)表示

u[0,1]Pk為各頂點(diǎn)的位置向量(xk,yk,zk)，稱為伯恩斯坦（Bernstain）基函數(shù)，也稱為特征多邊形各頂點(diǎn)位置向量之間的調(diào)和函數(shù)，其定義如下Bezier曲線次數(shù)嚴(yán)格依賴于確定該段曲線的控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，通常由（n﹢1）個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)n次多項(xiàng)式，曲線上各點(diǎn)參數(shù)方程式為：n次多項(xiàng)式曲線P(u)稱為n次Bezier曲線Bézier曲線的數(shù)學(xué)表示

(k﹦0,1,...,n)其中：參數(shù)u的取值范圍為[0,1]，n是多項(xiàng)式次數(shù),也是曲線次數(shù)。規(guī)定0！=1，00=1。注意：Bezier曲線是一個(gè)階數(shù)比控制點(diǎn)少1的多項(xiàng)式。

一次Bézier曲線n=1時(shí)，有兩個(gè)控制點(diǎn)P0和P1一次Bezier曲線是連接起點(diǎn)P0和終點(diǎn)P1的直線段。二次Bézier曲線n=2，有三個(gè)控制點(diǎn)P0、P1和P2：二次Bezier曲線是一條以P0為起點(diǎn)，P2為終點(diǎn)的拋物線。三次Bézier曲線n=3，有四個(gè)控制點(diǎn)P0、P1、P2和P3：三次Bezier曲線是自由曲線。6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與特征多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合對(duì)伯恩斯坦基函數(shù)來(lái)說，有：

當(dāng)u﹦0時(shí)，只有k﹦0的項(xiàng)不為0，其它項(xiàng)都為uk﹦0k﹦0

當(dāng)u﹦1時(shí)，只有k=n的項(xiàng)不為0，其它項(xiàng)都為(1-u)n-k﹦0n-k﹦06.2.2Bézier曲線的性質(zhì)端點(diǎn)切線Bezier曲線在起點(diǎn)處的切線位于前兩個(gè)控制點(diǎn)的連線上，而終點(diǎn)處的切線位于最后兩個(gè)控制點(diǎn)的連線上，即曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向與起始折線段和終止折線段的走向一致。6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)在起始點(diǎn)u﹦0,B’1,n-1(0)﹦1，其余項(xiàng)均為0，故有:P’(0)﹦n(P1﹣P0)在終止點(diǎn)u﹦1,Bn-1,n-1(1)﹦1，其余項(xiàng)均為0，故有:P’(1)=n(Pn﹣Pn-1)Bezier曲線在端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)只同相近的兩個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，其方向相同于兩點(diǎn)的連線方向。6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)二階導(dǎo)數(shù)對(duì)參數(shù)t求二階導(dǎo)數(shù)可得：

在起始點(diǎn)t﹦0處的二階導(dǎo)數(shù)為：

P”(0)﹦n(n﹣1)(P2﹣2P1﹢P0)=n(n-1)((P2﹣P1)-(P1-P0))在終止點(diǎn)t﹦1處的二階導(dǎo)數(shù)為：

P”(1)﹦n(n﹣1)(Pn﹣2Pn-1﹢Pn-2)=n(n-1)((Pn-2﹣Pn-1)-(Pn-1﹣Pn))結(jié)論：Bezier曲線在端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)只同相近的三個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)。那么，Bezier曲線在端點(diǎn)處的r階導(dǎo)數(shù)是由與端點(diǎn)r+1個(gè)鄰近的控制多邊形頂點(diǎn)來(lái)決定。6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)

由Bezier曲線的數(shù)學(xué)定義知，曲線的形狀由特征多邊形的頂點(diǎn)Pk(k﹦0,1,...,n)唯一確定，與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān),這就是幾何不變性。幾何不變性

保持控制多邊形的頂點(diǎn)位置不變，僅僅把它們的順序顛倒一下，將下標(biāo)為k的控制點(diǎn)Pk改為下標(biāo)為n-k的控制點(diǎn)Pn-k時(shí)，曲線保持不變，只是走向相反而已。對(duì)稱性6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)

落在特征多邊形頂點(diǎn)所形成的凸包內(nèi)。即當(dāng)特征多邊形為凸時(shí)，Bezier曲線也是凸的；當(dāng)特征多邊形有凹有凸時(shí)，其曲線的凸凹形狀與之對(duì)應(yīng)。

Bezier曲線的凸包性質(zhì)保證了曲線隨控制點(diǎn)平穩(wěn)前進(jìn)而不會(huì)振蕩。凸包性6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)變差縮減性

對(duì)于平面Bezier曲線，平面內(nèi)任意一條直線與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于該直線與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。Bezier曲線比特征多邊形的折線更光滑。6.2.3Bézier曲線的拼接

幾何設(shè)計(jì)中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。由于增加特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)，會(huì)引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項(xiàng)式又會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的困難。一般采用分段設(shè)計(jì)，然后將各段曲線相互連接起來(lái)，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達(dá)到不同階幾何連續(xù)的條件。設(shè)有兩段三次Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控制點(diǎn)為Pi(i=0,1,...,n)和Qj(j=0,1,...,m)，如下圖所示。6.2.3Bézier曲線的拼接an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)6.2.3Bézier曲線的拼接（1）要使它們達(dá)到G0連續(xù)的充要條件是：Pn=Q0；（2）要使它們達(dá)到G1連續(xù)的充要條件：P2P3(Q0)Q1三點(diǎn)共線第一段曲線終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為：

P’(1)﹦3(P3﹣P2)第二段曲線起點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為：

Q’(0)﹦3(Q0﹣Q1)一階導(dǎo)數(shù)要連續(xù)，則應(yīng)有P’(1)﹦αQ’(0)，即:P3﹣P2﹦α

（Q1﹣Q0）

也即要求P2P3(Q0)Q1三點(diǎn)共線。6.2.3Bézier曲線的拼接（3）要使它們達(dá)到G2連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，滿足Pn-2、Pn-1、Pn(Q0)、Q1、Q2

五點(diǎn)共面，且Pn-2和Q2或者同在直線Pn-1Q1上或位于Pn-1Q1同側(cè)。

第一段曲線終點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為：

P”(1)﹦6(Pn﹣2Pn-1﹢Pn-2)第二段曲線起點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為：

Q”(0)﹦6(Q2﹣2Q1﹢Q0)要達(dá)到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則應(yīng)有P”(1)﹦βQ”(0)，即:Pn-2﹣2Pn-1﹢Pn﹦β(Q2﹣2Q1﹢Q0)an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)6.2.4Bézier曲線的離散生成

根據(jù)貝塞爾曲線的參數(shù)表達(dá)式，讓參數(shù)t在區(qū)間(0,1)內(nèi)取多個(gè)值，例如100，計(jì)算出這100個(gè)值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，依次連接這些點(diǎn)就得到一條Bezier曲線。

以三次貝塞爾曲線為例：注意：再添加一個(gè)z坐標(biāo)，就可得到空間Bezier曲線。For(t=0;t<=1;t=t+0.01)依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分割點(diǎn)就是第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)，對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，重復(fù)操作，直到得出一個(gè)中間頂點(diǎn)，即為所求曲線上的點(diǎn)。6.2.4Bézier曲線生成--decasteljau算法

依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的中點(diǎn)分割，所得分點(diǎn)就是由第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)

,對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的中點(diǎn)分割，得第二級(jí)中間頂點(diǎn)。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級(jí)遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn)，即為所求曲線上的點(diǎn)。同時(shí)控制點(diǎn)列被分成左分段和右分段兩段折線，繼續(xù)對(duì)這兩段折線作類似遞歸分割，直至滿足要求為止。6.2.4Bézier曲線生成算法--二分遞歸法三次Bézier曲線：控制點(diǎn)是p0，p1，p2和p3。以中點(diǎn)分割，令：p10=(p0+p1)/2，p11=(p1+p2)/2，

p12=(p2+p3)/2；p20=(p10+p11)/2，p21=(p11+p12)/2；p30=(p20+p21)/2。6.2.4Bézier曲線生成算法--二分遞歸法可以證明點(diǎn)P30位于曲線上p30=(p20+p21)/2=(p0+3p1+3p2+p3)/8=p(1/2)6.2.4Bézier曲線生成算法--二分遞歸法例題1、給定四個(gè)頂點(diǎn)P0（10，110），P1（110，110），P2（110，10），P3（10，10），用其作為特征多邊形來(lái)繪制一條3次Bezier曲線的形狀示意圖。要求：簡(jiǎn)要說明作圖過程，保留作圖輔助線，作出（或文字說明）曲線上各特征點(diǎn)的切線矢量。Bézier曲線小結(jié)Bezier曲線是一種逼近參數(shù)曲線，通過幾個(gè)已知點(diǎn)構(gòu)成的特征多邊形來(lái)定義，曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與該多邊形起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，并且多邊形的第一條邊和最后一條邊表示曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢量方向。Bezier曲線次數(shù)嚴(yán)格依賴于確定該段曲線的控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，通常由（n﹢1）個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)n次多項(xiàng)式，即n次Bezier曲線。3個(gè)已知控制點(diǎn)就可以構(gòu)造2次Bezier曲線，4個(gè)已知控制點(diǎn)就可以構(gòu)造3次Bezier曲線。Bézier曲線小結(jié)端點(diǎn)的性質(zhì)端點(diǎn)切線二階導(dǎo)數(shù)對(duì)稱性幾何不變性凸包性變差縮減性所生成的曲線與特征多邊形的外形相距較遠(yuǎn)確定了多邊形的頂點(diǎn)數(shù)(m個(gè))，也就決定了所定義的Bezier曲線的階次(m–1次)，這樣很不靈活控制頂點(diǎn)數(shù)增多時(shí)，生成曲線的階數(shù)也增高，此時(shí)，多邊形對(duì)曲線形狀的控制將明顯減弱。

局部控制能力弱曲線拼接需要附加條件Bézier曲線的不足6.3B樣條曲線1972年，Gordon,Rie-feld等人拓展了Bezier曲線，用B樣條基函數(shù)代替Bernstein基函數(shù)，形成了B樣條曲線。除保持了Bezier曲線的直觀性和凸包性等優(yōu)點(diǎn)之外，具有以下優(yōu)點(diǎn)：逼近特征多邊形的精度更高曲線的次數(shù)可根據(jù)需要指定具有局部修改性我們先來(lái)實(shí)際體會(huì)一下B樣條曲線和Bezier曲線的差別，看下面例子：B樣條也是逼近曲線，不一定過控制點(diǎn)，甚至不過起控制點(diǎn)和終控制點(diǎn)6.3B樣條曲線6.3B樣條曲線Bezier曲線如果5個(gè)控制點(diǎn)那么只能是4次曲線調(diào)整任何一個(gè)控制點(diǎn)，會(huì)影響整個(gè)4次曲線B樣條曲線如果5個(gè)控制點(diǎn)可以使用3次曲線，也可以使用4次曲線來(lái)構(gòu)造整個(gè)曲線使用4次曲線那么就是1段曲線使用3次曲線那么就構(gòu)造2段曲線，并且這2段曲線可以自然拼接起來(lái)，調(diào)節(jié)P4點(diǎn)位置只會(huì)影響第二段曲線6.3.1B樣條曲線的定義Ｂ樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:Pi：B樣條曲線的控制節(jié)點(diǎn)。n次B樣條曲線至少應(yīng)該有n+1個(gè)控制點(diǎn)。K：B樣條曲線的階數(shù)，（k-1）稱為次數(shù)，曲線連接點(diǎn)處有（k-2）階連續(xù)，n+1個(gè)控制點(diǎn)構(gòu)造的k階B樣條曲線由L=n+1-（k-1）段B樣條曲線段組合而成的。如，3次B樣條曲線的階數(shù)是4，次數(shù)是3，2階連續(xù)，n+1控制點(diǎn)的曲線共有n-2段3次B樣條組合而成。6.3.1B樣條曲線的定義(i=0,1,..,n)稱為k階（k-1次)B樣條基函數(shù)，i表示序號(hào)。B樣條基函數(shù)是一個(gè)稱為節(jié)點(diǎn)矢量的參數(shù)u的非遞減序列所決定的k階分段多項(xiàng)式，這個(gè)序列稱為節(jié)點(diǎn)向量。6.3.1B樣條曲線的定義deBoor-Cox遞推定義：約定：6.3.1B樣條曲線的定義欲確定第i個(gè)k-1次B樣條Bi,k(u)，需要用到ui，ui+1，…,ui+k共k+1個(gè)節(jié)點(diǎn)。區(qū)間[ui,ui+k]稱為Bi,k(u)的支撐區(qū)間。曲線方程中，n+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)，要用到n+1個(gè)k階B樣條Bi,k(t)。它們支撐區(qū)間的并集定義了這一組B樣條基的節(jié)點(diǎn)矢量T=[u0,u1,...,un+k]。每個(gè)控制點(diǎn)pi僅與一個(gè)基函數(shù)Bi,k(t)作乘法，故該控制點(diǎn)的改變僅影響到子區(qū)間[ui,ui+k]上的曲線段。6.3.1B樣條曲線的定義1階B-樣條基函數(shù)K=1時(shí)的基函數(shù)6.3.1B樣條曲線的定義2階B-樣條基函數(shù)K=2時(shí)的基函數(shù)6.3.1B樣條曲線的定義3階B-樣條基函數(shù)K=3時(shí)的基函數(shù)6.3.1B樣條曲線的定義續(xù)前頁(yè)：6.3.1B樣條曲線的定義續(xù)前頁(yè)：6.3.1B樣條曲線的定義續(xù)前頁(yè)：6.3.1B樣條曲線的定義6.3.1B樣條曲線的定義3階B-樣條基函數(shù)圖形6.3.2B樣條曲線的分類

根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量中的節(jié)點(diǎn)分布情況的不同，可將B樣條曲線分為三類：均勻B樣條曲線、開放均勻B樣條曲線、非均勻B樣條曲線。

均勻B樣條曲線：節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均勻等距分布，即uk+1-uk=常數(shù)時(shí)。6.3.2B樣條曲線的分類均勻B樣條曲線均勻B樣條的基函數(shù)呈周期性。即給定n和k，所有的基函數(shù)有相同形狀。每個(gè)后續(xù)基函數(shù)僅僅是前面基函數(shù)在新位置上的重復(fù)：其中，△u是相鄰節(jié)點(diǎn)值的間距，等價(jià)地，也可寫為：均勻B樣條曲線的參數(shù)節(jié)點(diǎn)矢量的典型取法：[0,1,2,……,n+k]6.3.2B樣條曲線的分類均勻B樣條曲線

為使所有區(qū)間上的B樣條基函數(shù)具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可將定義在整個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間上用整體參數(shù)u表示的Ｂ樣條基函數(shù)，轉(zhuǎn)換成局部坐標(biāo)參數(shù)t∈[０,1]表示：t=u-uiu∈[ui,ui+1],i=k,k+1,……n6.3.2B樣條曲線的分類均勻B樣條曲線定義:

給定m+n+1個(gè)頂點(diǎn)Pi(i=0，1，…，m+n)，可以定義m+1段n次的參數(shù)曲線段：6.3.2B樣條曲線的分類均勻二次B樣條曲線n=2,k=0,1,26.3.2B樣條曲線的分類6.3均勻B樣條曲線的定義均勻二次B樣條曲線的分段表達(dá)式可以寫成如下的形式：

Pi(t)=B0,2(t)Pi+B1,2(t)Pi+1十B2,2（t）Pi+2

(i=0,1,2，…．m)6.3均勻B樣條曲線的定義∴

6.3均勻B樣條曲線的定義

二次均勻B樣條曲線的起點(diǎn)在特征多邊形第一條邊的中點(diǎn)，切矢為P0P1的走向，且等于P1-P0

終點(diǎn)在特征多邊形第二條邊的中點(diǎn)，切矢為P1P2的走向，且等于P2-P1

正好是三角形P(0)P1P(1)的中線P1M的中點(diǎn)，且在該處的切線平行于P(0)P(1)。均勻二次B樣條曲線下圖為均勻二次B樣條曲線的控制多邊形，共有4個(gè)控制點(diǎn)P0P1P2P3，繪制出二次B樣條曲線的示意圖。要求：簡(jiǎn)要說明作圖過程，保留作圖輔助線，做出（或文字說明）曲線上各特征點(diǎn)的切線矢量。均勻二次B樣條曲線A為P0P1的中點(diǎn)，A點(diǎn)的切矢為P0P1的走向且等于(P1-P0)；B為ΔAP1C中線P1M的中點(diǎn)，B點(diǎn)的切矢平行于AC，且等于1/2(P2-P0)；C為P1P2的中點(diǎn)，C點(diǎn)的切矢為P1P2的走向且等于(P2-P1)；D為ΔCP2E中線P2M1的中點(diǎn)，其切矢平行于CE，且等于1/2(P3-P1)；E為P2P3的中點(diǎn)，其切矢為P2P3的走向且等于(P3-P2)。6.3.3均勻B樣條曲線的性質(zhì)1.局部性根據(jù)定義式可知，第i段n次B樣條曲線只與n+1個(gè)頂點(diǎn)Pk(k=i，i+1，…，i+n)有關(guān)，因此，當(dāng)改動(dòng)其中一個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，最多只會(huì)對(duì)相鄰的n+1段產(chǎn)生影響。如左圖所示，六個(gè)控制頂點(diǎn)控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個(gè)頂點(diǎn)控制。B樣條曲線的性質(zhì)2.凸包性對(duì)任何t∈〔0，1〕，P(t)必定在控制頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包之中。如左圖所示，六個(gè)控制頂點(diǎn)控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個(gè)頂點(diǎn)控制且包含在四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包之中。B樣條曲線的性質(zhì)3.幾何不變性由于定義式所表示的B樣條曲線是參數(shù)形式，因此，和Bezier曲線一樣，B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)。4.連續(xù)性

當(dāng)給定的n+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pi(i=0，1，…，n)互不相重，則所控制的整條n次B樣條曲線具有n-1階幾何連續(xù)(Gn-1)。當(dāng)給定的控制頂點(diǎn)相鄰最大重頂點(diǎn)數(shù)為h（即h

個(gè)控制頂點(diǎn)重合在一起），則整條n次B樣條曲線具有n-h-1階幾何連續(xù)(G

n-h-1)。

B樣條曲線的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：與控制多邊形的外形更接近局部修改能力任意形狀，包括尖點(diǎn)、直線的曲線易于拼接階次低，與型值點(diǎn)數(shù)目無(wú)關(guān)，計(jì)算簡(jiǎn)便缺點(diǎn)：不能精確表示圓習(xí)題1、下面給出的4個(gè)選項(xiàng)中，_____不是Bezier曲線具有的

性質(zhì)。A局部性 B幾何不變性

C變差縮減性 D凸包性2、B樣條曲線中，按照節(jié)點(diǎn)矢量t的分布不同可以將B樣條曲線分為均勻B樣條、非均勻B樣條以及開放均勻B樣條，以下選項(xiàng)中屬于均勻B樣條節(jié)點(diǎn)矢量的是____。At={0,1,2,3,4,5,6} Bt={0,0,1,1,2,2,3,3}Ct={0,0,0,1,2,3,4,5,5,5}Dt={0,0.1,0.2,0.2,0.5,1}

AA習(xí)題3、由K個(gè)控制點(diǎn)Pi（i=1,……,k）所決定的n次B樣條曲線，由______段n次B樣條曲線段光滑連接而成。A、k-n-2 B、k-n-1 C、k-n D、k-n+14、下列關(guān)于B樣條曲線性質(zhì)的敘述中，錯(cuò)誤的結(jié)論是____A、B樣條曲線可用其特征多邊形來(lái)定義；B、B樣條曲線不一定通過其特征多邊形的各頂點(diǎn)；C、B樣條曲線起始控制點(diǎn)和終止控制點(diǎn)都在曲線上；D、B樣條曲線都具有控制點(diǎn)的鄰近影響性。CC習(xí)題5