第6章彎曲變形

11廣州塔山西應縣木塔趙州橋北京理工大學研制材料力學2

作業(yè)習題：P1916-2(d),3(c)思考：P1866-5,6,7,8復習：第六章w向上為正逆時針為正截面形心在力方向上有位移，垂直于x方向上有縱向線位移截面繞中性軸轉過的角度橫截面，在力的作用下，發(fā)生了縱向位移的同時產(chǎn)生了轉角撓曲線撓度轉角彎曲變形的力學描述上次課內(nèi)容撓曲線微分方程：彎曲變形的數(shù)學意義撓曲線近似微分方程：適用范圍：線彈性、小變形積分一次轉角方程：積分二次撓曲線方程：積分常數(shù)，由梁的約束條件決定上次課內(nèi)容抗彎剛度懸臂梁：xw2、梁的邊界條件——約束L§6-3

用積分法求梁的變形不能產(chǎn)生線位移不能產(chǎn)生角位移固定端不能動簡支梁：xwL2、梁的邊界條件§6-3

用積分法求梁的變形固定鉸和可動鉸都可動都限制線位移，不限制角位移轉角轉角水平方向微小位移，鉛垂不許位移水平、鉛垂方向均不許位移3、連續(xù)性條件CPABaLxw邊界條件；光滑、連續(xù)性條件：撓曲線的連續(xù)性光滑性§6-3

用積分法求梁的變形例：簡支梁上作用有集中力控制界面：3個；梁分成：2段；彎矩方程：2個；撓曲線：2個ABLaCMxw特別強調(diào)：中間鉸兩側轉角不同，撓度是唯一的連續(xù)不光滑§6-3

用積分法求梁的變形邊界條件：連續(xù)性條件：4、靜定多跨梁中間鉸處連續(xù)、不光滑例：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件。xwkCPABaL邊界條件：光滑連續(xù)性條件：§6-3

用積分法求梁的變形例：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件。hEACPABaL邊界條件：光滑連續(xù)性條件：§6-3

用積分法求梁的變形討論：撓曲線分段（1）凡彎矩方程分段處，應作為分段點（2）凡截面有變化處，或材料有變化處，應作為分段點（3）中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系為兩部分間的相互作用力，故應作為分段點§6-3

用積分法求梁的變形（4）凡分段點處應列出連續(xù)條件根據(jù)梁變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉角；在中間鉸兩側轉角不同，但撓度是唯一的。例：懸臂梁受力如圖所示。求wA和A。xwx解：建坐標系1、列寫彎矩方程2、代入撓曲線近似微分方程中積分一次：積分二次：轉角方程撓曲線方程AqBL§6-3

用積分法求梁的變形3、確定常數(shù)C、D邊界條件：AqBL§6-3

用積分法求梁的變形4、計算A截面的撓度和轉角小結：積分法描述了梁內(nèi)各個截面的變化規(guī)律，是基本方法，但是繁雜。CFABaLxw例：一簡支梁受力如圖所示。試求(x),w(x)

和A,wmax。1、求支座反力2、分段列出梁的彎矩方程bBC段AC段xx§6-3

用積分法求梁的變形3、代入各自的撓曲線近似微分方程中4、各自積分§6-3

用積分法求梁的變形5、確定積分常數(shù)邊界條件：連續(xù)條件：§6-3

用積分法求梁的變形FaLxwCABBC段AC段7、求轉角6、撓曲線方程§6-3

用積分法求梁的變形8、求wmax

求wmax的位置值x§6-3

用積分法求梁的變形FaLxwCAB代入得：若則：在簡支梁情況下，不管F作用在何處（支承除外），wmax可用中間撓度代替，其誤差不大，不超過3%?！?-3

用積分法求梁的變形

一、疊加原理在小變形，材料服從胡克定律的情況下，撓曲線的近似微分方程是線性的彎矩M(x)與載荷之間的關系是線性的，對應于幾種不同的載荷，彎矩可以疊加，近似微分方程的解也可以疊加計算彎矩時，使用變形前的位置——原始尺寸原理§6-4用疊加法求梁的變形設彎矩

撓曲線分別滿足各自的近似微分方程兩個微分方程疊加分別計算出每一載荷單獨引起的變形，將所得的變形疊加即為載荷共同作用下引起的變形——疊加原理總的近似微分方程：§6-4用疊加法求梁的變形二、疊加原理的限制條件疊加原理僅適用于線性函數(shù)，要求撓度、轉角是載荷的線性函數(shù)。(1)彎矩與載荷成線性關系，梁發(fā)生小變形，忽略各載荷引起梁的水平位移；(2)曲率1/與彎矩成線性關系，梁處于線彈性范圍內(nèi)，滿足虎克定律；

梁處于小變形條件下§6-4用疊加法求梁的變形(3)撓曲線二階導數(shù)w′′與1/成線性關系幾種載荷共同作用下某截面的撓度和轉角，等于每種載荷單獨作用下引起的同一截面撓度、轉角的向量和。三、疊加原理的特征§6-4用疊加法求梁的變形1、載荷疊加法：查表法——教材P172(1)載荷分解：均布載荷，集中力，集中外力偶(2)查表P172：求單獨載荷作用下梁的變形注意設正：w向上為正，逆時針為正應用于多個載荷作用(3)變形疊加例：已知簡支梁長l，抗彎剛度EIz，受均布載荷q，集中力ql，集中外力偶ql2，求：yC

，B§6-4用疊加法求梁的變形z1、載荷疊加法wC

,B(1)載荷分解qlql2q§6-4用疊加法求梁的變形zqlql2q(2)查表P172：單獨載荷作用下梁的變形§6-4用疊加法求梁的變形P174：9號P174：7號P174：5號3、變形疊加§6-4用疊加法求梁的變形z例：抗彎剛度EI為常量，用疊加法確定C和yC

。L/2L/2qCBA§6-4用疊加法求梁的變形qqq1、載荷分解qq§6-4用疊加法求梁的變形剛體剛性的角位移§6-4用疊加法求梁的變形wz

2、逐段剛化法(1)將梁的撓曲線分成幾段(2)除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段均視為剛體(3)分別計算各段梁的變形在需求處引起的撓度和轉角(4)然后計算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移§6-4用疊加法求梁的變形例：用疊加法確定wCABalFC(1)考慮AB段變形引起的C截面的撓度(BC段看作剛體)外力向研究的AB段上簡化ABalCFFaF：作用在支座上，不產(chǎn)

生變形Fa：使AB梁產(chǎn)生變形§6-4用疊加法求梁的變形ABalCFFaFa引起梁的變形形狀為AB段上凸§6-4用疊加法求梁的變形考慮AB段變形引起

的C截面的撓度

(BC段看作剛體)(2)考慮BC段變形引起C截面的撓度，AB段看作剛體ABalFCaFBCC截面的總撓度§6-4用疊加法求梁的變形B段簡化為固定端例：圖示中懸臂梁，二段為同種材料制成。材料的彈性模量為E，求自由端C端的撓度。PIz1L1Iz2L2ABC§6-4用疊加法求梁的變形彎曲變形的剛度條件：[w]——許用撓度[]——許用轉角1、工程中,[w]常用梁的計算跨度l的若干分之一表示對于橋式起重機梁：對于一般用途的軸：2、在安裝齒輪或滑動軸承處，許用轉角為：§6-4彎曲變形的剛度計算一、改善結構、減小彎矩1、合理安排支座；2、合理安排受力；3、集中力分散；4、

w一般與跨度有關，l3成正比，故可減小跨度；5、增加約束，采用超靜定結構§6-5提高梁剛度的措施尾頂針、跟刀架或加裝中間支架；較長的傳動軸采用三支撐；橋梁增加橋墩；5、增加約束：采用超靜定結構§6-5提高梁剛度的措施超長車輛增加車輪提高車身的抗彎剛度。改變支座形式§6-5提高梁剛度的措施F改變載荷類型Fq=F/L二、選擇合理的截面形狀A幾乎不變，大部分分布在遠離中性軸處的工字形、槽鋼等§6-5提高梁剛度的措施起重機大梁常采工字形或箱形截面§6-5提高梁剛度的措施四、不宜采用高強度鋼，各種鋼材E大致相同三、加強肋集裝箱§6-5提高梁剛度的措施1、y’’=M(x)/EI在

條件下成立？A：小變形；B：材料服從虎克定律；C：撓曲線在XOY面內(nèi)；D：同時滿足A、B、C。2、等直梁在彎曲變形時，撓曲線曲率在最大

處一定

最大。A：撓度；B：轉角；C：彎矩；P3、細長工件，加