第8章假設(shè)檢驗(yàn)

第八章

假設(shè)檢驗(yàn)1上一章介紹了兩種常用的參數(shù)估計(jì)方法——點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì),在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,還有另一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，即假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。

假設(shè)檢驗(yàn)是另一種有重要理論和應(yīng)用價(jià)值的統(tǒng)計(jì)推斷形式.它的基本任務(wù)是,在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式但不知其參數(shù)的情況下,為了推斷總體的某些性質(zhì),首先提出某些關(guān)于總體的假設(shè),然后根據(jù)樣本所提供的信息,對(duì)所提假設(shè)做出“是”或“否”的結(jié)論性判斷.假設(shè)檢驗(yàn)有其獨(dú)特的統(tǒng)計(jì)思想,許多實(shí)際問(wèn)題都可以作為假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題而得以有效地解決.2讓我們先看一個(gè)例子.第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念3

生產(chǎn)流水線上罐裝可樂(lè)不斷地封裝，然后裝箱外運(yùn).怎么知道這批罐裝可樂(lè)的容量是否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯,看看容量是否合于標(biāo)準(zhǔn).

罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.這樣做顯然不行！4

如每隔1小時(shí),抽查5罐，得5個(gè)容量的值X1，…，X5，根據(jù)這些值來(lái)判斷生產(chǎn)是否正常.每隔一定時(shí)間,抽查若干罐.

如發(fā)現(xiàn)不正常，就應(yīng)停產(chǎn)，找出原因，排除故障，然后再生產(chǎn)；如沒(méi)有問(wèn)題，就繼續(xù)按規(guī)定時(shí)間再抽樣，以此監(jiān)督生產(chǎn)，保證質(zhì)量.通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查.5

很明顯，不能由5罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)

不正常，因?yàn)橥．a(chǎn)的損失是很大的.

當(dāng)然也不能總認(rèn)為正常，有了問(wèn)題不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)，這也要造成損失.

如何處理這兩者的關(guān)系，假設(shè)檢驗(yàn)面對(duì)的就是這種矛盾.6它的對(duì)立假設(shè)是：稱H0為原假設(shè)（或零假設(shè)）；稱H1為備擇假設(shè).在實(shí)際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設(shè).

H0：（=355）H1：

一般可以認(rèn)為X1,…,X5是取自正態(tài)總體

的樣本，是一個(gè)常數(shù).

當(dāng)生產(chǎn)比較穩(wěn)定時(shí)，現(xiàn)在要檢驗(yàn)的假設(shè)是：7那么，如何判斷原假設(shè)H0

是否成立呢？

較大、較小是一個(gè)相對(duì)的概念，合理的界限在何處？應(yīng)由什么原則來(lái)確定？來(lái)判斷H0

是否成立.

由于

是正態(tài)分布的期望值，它的估計(jì)量是樣本均值，因此可以根據(jù)與

的差距較小時(shí)，可以認(rèn)為H0是成立的；當(dāng)不正常.當(dāng)較大時(shí)，應(yīng)認(rèn)為H0不成立，即生產(chǎn)已8問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)差異作定量的分析，以確定其性質(zhì).差異可能是由抽樣的隨機(jī)性引起的，稱為“抽樣誤差”或“隨機(jī)誤差”這種誤差反映偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機(jī)波動(dòng).

然而，這種隨機(jī)性的波動(dòng)是有一定限度的,如果差異超過(guò)了這個(gè)限度，則我們就不能用抽樣的隨機(jī)性來(lái)解釋了.

此時(shí)必須認(rèn)為這個(gè)差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”.9

問(wèn)題是，根據(jù)所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產(chǎn)確實(shí)不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個(gè)量的界限.一般依據(jù)人們?cè)趯?shí)踐中普遍采用的一個(gè)原則：概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生.“小概率原理”:10下面我們用一例說(shuō)明這個(gè)原則.概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生.某箱子中有白球和黑球共100個(gè)，但不知兩種球各占多少。

現(xiàn)在提出假設(shè)：其中99個(gè)是白球。

假定正確，則任取一球?yàn)楹谇虻母怕蕿?.01，

我們認(rèn)為這是一個(gè)小概率事件。

如果任抽一球居然抽得黑球，那么自然要懷疑的正確性，或者說(shuō)否定。

11這個(gè)例子中所使用的推理方法，可以稱為帶概率性質(zhì)的反證法不妨稱為概率反證法.

它不同于一般的反證法,數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的推斷并不是形式邏輯推斷而是統(tǒng)計(jì)推斷.

概率反證法的依據(jù)是：如果小概率事件在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生，我們就以很大的把握否定原假設(shè).

一般的反證法要求在原假設(shè)成立的條件下導(dǎo)出的結(jié)論是絕對(duì)成立的,如果事實(shí)與之矛盾,則完全絕對(duì)地否定原假設(shè).12現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂(lè)的問(wèn)題中.

在提出原假設(shè)H0后，如何作出接受和拒絕H0的結(jié)論呢？

的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定。常取

在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們稱這個(gè)小概率為顯著性水平，用

表示.H0：13它能衡量差異大小,且分布已知.

罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.一批可樂(lè)出廠前應(yīng)進(jìn)行抽樣檢查,現(xiàn)抽查了n罐，測(cè)得容量為X1,X2,…,Xn，問(wèn)這一批可樂(lè)的容量是否合格？(1)提出假設(shè)(2)選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中已知，(3)對(duì)給定的顯著性水平

，可以在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查到分位數(shù)的值,使14(2)選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)給定的顯著性水平

，可以在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查到分位點(diǎn)的值,使也就是說(shuō),“”是一個(gè)小概率事件.(4)由樣本值算得U的值；如果,則拒絕H0；否則,不能拒絕H0.為拒絕域.我們稱W：15

不否定H0并不是肯定H0一定對(duì)，而只是說(shuō)差異還不夠顯著，還沒(méi)有達(dá)到足以否定H0的程度.所以假設(shè)檢驗(yàn)又叫“顯著性檢驗(yàn)”注意當(dāng)作出接受H0的判斷時(shí),所依據(jù)的既不是邏輯推理,也不是小概率原理,而只是因?yàn)椴荒堋靶判氖恪钡鼐芙^H0而不得不作出接受的“無(wú)奈”抉擇.

16上面所提到的“有違常理”的現(xiàn)象,并不是形式邏輯上的絕對(duì)不可能現(xiàn)象,而是基于小概率原理或統(tǒng)計(jì)推斷原理基礎(chǔ)上的不可能.因此在對(duì)H0的取舍上可能要犯以下兩類錯(cuò)誤：(1)當(dāng)H0為真時(shí)，作出否定H0的決策——稱為第一類錯(cuò)誤(或稱“棄真”錯(cuò)誤)；

(2)當(dāng)H0不真時(shí)，作出接受H0的決策——稱為第二類錯(cuò)誤(或稱“存?zhèn)巍卞e(cuò)誤)。

犯這兩類錯(cuò)誤所造成的影響常常很不一樣。例如我們要求檢驗(yàn)病人是否患某種疾病。若假設(shè)H0表示該人患病，則第二類錯(cuò)誤(無(wú)病當(dāng)有病)造成后果是使用不必要的藥品而引起病人的痛苦和經(jīng)濟(jì)上的浪費(fèi)，但第一類錯(cuò)誤(有病當(dāng)無(wú)病)就有可能導(dǎo)致病人的死亡。

17通常顯著性水平的選取帶有一點(diǎn)隨意性，習(xí)慣上選取為0.1，0.05，0.01等,當(dāng)然，水平的選取也依賴于我們關(guān)于假設(shè)的先驗(yàn)知識(shí)。如果我們根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)非常相信H0是真的，此時(shí)要使人樂(lè)意放棄這個(gè)信念就要有非常令人信服的依據(jù)，此時(shí)就需要取得小一點(diǎn)。

我們當(dāng)然希望犯這兩類錯(cuò)誤的概率同時(shí)盡可能地小，最好全為零，但實(shí)際上這是不可能的。當(dāng)樣本容量確定后，犯這兩類成為的概率就不能同時(shí)被控制，正好象在區(qū)間估計(jì)中，要想增大可靠性(即置信概率)，就會(huì)使區(qū)間長(zhǎng)度增加而降低精度。我們的做法是限制第一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò)某指定值,再在這限制下,使犯第二類錯(cuò)誤的概率盡可能小。

18P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯(cuò)誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯(cuò)誤的概率.假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯(cuò)誤正確正確第二類錯(cuò)誤19

犯兩類錯(cuò)誤的概率是互相關(guān)聯(lián)的,當(dāng)樣本容量固定時(shí),一類錯(cuò)誤概率的減少導(dǎo)致另一類錯(cuò)誤概率的增加.

要同時(shí)降低兩類錯(cuò)誤的概率，或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量.假設(shè)檢驗(yàn)的另一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是如何根據(jù)問(wèn)題的需要來(lái)合理地提出原假設(shè)和備擇假設(shè).由以上的討論知,在顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題中,若沒(méi)有非常充足的理由,原假設(shè)是不能輕易拒絕的,因此原假設(shè)是受到保護(hù)的假設(shè).一般地我們總是將被拒絕時(shí)導(dǎo)致的后果更嚴(yán)重的假設(shè)作為原假設(shè).

20§2單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)一、已知時(shí)關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)(1)第六章證明,若

則21§2單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)一、已知時(shí)關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)U檢驗(yàn)法(1)(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)給定的顯著性水平

，查表得；(4)由樣本值算得U的值；如果,則拒絕H0；否則,不能拒絕H0.22例1根據(jù)經(jīng)驗(yàn)與歷史資料知某液化氣廠生產(chǎn)的罐裝液化氣重量服從正態(tài)分布.現(xiàn)改革了罐裝工藝后隨機(jī)抽查了16罐液化氣,得如下數(shù)據(jù)(單位:公斤)：29.329.830.229.630.528.429.130.028.830.429.429.529.530.629.930.8

問(wèn)改革了罐裝工藝后罐裝液化氣平均重量與過(guò)去相比有無(wú)顯著差異？解待檢驗(yàn)的假設(shè)是已知所以取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量23解待檢驗(yàn)的假設(shè)是已知所以取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給定的,查表得由樣本值算得因?yàn)樗圆环穸ㄔ僭O(shè)，即改革了罐裝工藝后罐裝液化氣平均重量與過(guò)去相比無(wú)顯著差異。24(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(4)由樣本值算得U的值；如果,則拒絕H0；否則,不能拒絕H0.(1)(3)對(duì)給定的顯著性水平

，查表得；類似可得，若要檢驗(yàn)假設(shè)，25類似可得，若要檢驗(yàn)假設(shè)，則否定域?yàn)?2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(4)由樣本值算得U的值；如果,則拒絕H0；否則,不能拒絕H0.(1)(3)對(duì)給定的顯著性水平

，查表得；單側(cè)檢驗(yàn)26解待檢驗(yàn)的假設(shè)是已知所以取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量例2某電子產(chǎn)品的壽命服從正態(tài)分布今從某廠生產(chǎn)流水線上抽檢了36個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得其平均壽命為，問(wèn)該廠此產(chǎn)品的使用壽命有無(wú)顯著提高？對(duì)于給定的,查表得由樣本值算得故否定原假設(shè)，即認(rèn)為此產(chǎn)品的使用壽命有顯著提高。27第六章證明,若

則二、未知時(shí)關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)(1)28t檢驗(yàn)法(4)由樣本值算得t的值；如果,則拒絕H0；否則,不能拒絕H0.(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)給定的顯著性水平

，查表得；二、未知時(shí)關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)(1)29兩家生產(chǎn)同一類產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)假定都服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格為均值等于120.現(xiàn)從甲廠抽出5件產(chǎn)品,測(cè)得其指標(biāo)值為119,120,119.2,119.7,119.6;從乙廠也抽出5件產(chǎn)品,測(cè)得其指標(biāo)值為110.5,106.3,122.2,113.8,117.2。試判斷這兩家廠的產(chǎn)品是否符合標(biāo)準(zhǔn).

例3解待檢驗(yàn)的假設(shè)是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量30解待檢驗(yàn)的假設(shè)是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量甲廠:算得乙廠:算得即乙廠的產(chǎn)品可以認(rèn)為符合標(biāo)準(zhǔn)。

31(4)由樣本值算得t的值；如果,則拒絕H0；否則,不能拒絕H0.(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)給定的顯著性水平

，查表得；(1)類似地，若要檢驗(yàn)假設(shè)，則否定域?yàn)?2(4)由樣本值算得t的值；如果,則拒絕H0；否則,不能拒絕H0.(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)給定的顯著性水平

，查表得；(1)類似地，若要檢驗(yàn)假設(shè)，則否定域?yàn)?3例4某種牌號(hào)的20瓦節(jié)能燈正常使用下的使用壽命均值為2500小時(shí)，現(xiàn)生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行了技術(shù)革新，從新生產(chǎn)的這種節(jié)能燈中抽取了16只檢測(cè)，得節(jié)能燈的平均使用壽命為2700小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為140，已知節(jié)能燈的使用壽命服從正態(tài)分布，問(wèn)新生產(chǎn)的這種節(jié)能燈的平均使用壽命有無(wú)顯著提高？解待檢驗(yàn)的假設(shè)是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給定的,查表得由樣本值算得所以拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為新生產(chǎn)的這種節(jié)能燈的平均使用壽命有顯著提高。34第六章證明,若

則三、關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)(1)35(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)給定的顯著性水平

，查表得(4)由樣本值算得

的值；則拒絕H0；否則,不能拒絕H0.

檢驗(yàn)法三、關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)(1)36例5解待檢驗(yàn)的假設(shè)是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量查表得由樣本值算得

即認(rèn)為方差顯著地改變了.

37(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)給定的顯著性水平

，查表得(4)由樣本值算得

的值；(1)則拒絕H0；否則,不能拒絕H0.類似地有左側(cè)檢驗(yàn)。38例6要求某種導(dǎo)線電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過(guò)0.005(歐姆).今在一批導(dǎo)線中取樣品9根,測(cè)得,設(shè)總體為正態(tài)分布.問(wèn)在水平下能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大？

提出假設(shè)解檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)給定的顯著性水平

，查表得由樣本值算得即可以認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差明顯偏大.39例7我國(guó)自2002年起向北美某國(guó)出口蘋果，按供貨要求除每個(gè)蘋果外形、色澤基本相同外，還要求蘋果的平均重量為200克，標(biāo)準(zhǔn)差不能超過(guò)10克?，F(xiàn)出口企業(yè)從待出口蘋果中抽出20只檢驗(yàn)，得蘋果重量的樣本均值為202克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為8克，已知蘋果重量服從正態(tài)分布，問(wèn)這批蘋果是否符合供貨要求？解設(shè)X為蘋果重量，依題意需要分別檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量40由樣本值算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量即可認(rèn)為這批蘋果平均重量為200克。41檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)給定的顯著性水平

，查表得由樣本值算得即可認(rèn)為這批蘋果重量的標(biāo)準(zhǔn)差不超過(guò)10克。綜上可以認(rèn)為這批蘋果符合供貨要求。42練習(xí)：P160習(xí)題8-21.補(bǔ)充題：43補(bǔ)充題：1、解檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量查表得由樣本值算得442、解檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量45§3兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比

的假設(shè)檢驗(yàn)記46(1)則第六章證明,若

47(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(4)由樣本值算得U的值；(3)對(duì)給定,查表得如果,則拒絕H0；否則,不拒絕H0.(1)48解例1已知有甲、乙兩種工藝從某種礦石中提煉金屬銅，兩種工藝的提煉率分別服從正態(tài)分布和，為比較兩種工藝的優(yōu)劣，現(xiàn)用甲、乙兩種工藝各進(jìn)行了10次和12次試驗(yàn)，得金屬銅的提煉率(%)如下：甲：18.9

17.6

18.2

19.0

18.8

17.5

17.7

18.4

18.1

18.5乙：16.6

15.9

17.1

17.7

17.2

16.7

16.4

17.0

15.8

16.516.416.3問(wèn)兩種工藝對(duì)金屬銅的提煉率有無(wú)顯著差異？設(shè)甲、乙兩種工藝金屬銅的提煉率分別是X和Y，待檢驗(yàn)的假設(shè)是49選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由樣本值計(jì)算得：對(duì)于給定的,查表得所以不否定原假設(shè)，即可認(rèn)為甲、乙兩種工藝金屬銅的提煉率無(wú)顯著差異。50(1)(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(4)由樣本值算得U的值；(3)對(duì)給定,查表得如果,則拒絕H0；否則,不拒絕H0.51例2為比較吸煙與否對(duì)人的壽命的影響，專家從不吸煙的成人人群和吸煙的成人人群中各抽取400名和600名根跟蹤調(diào)查，測(cè)得其平均壽命分別是78.2歲和70.4歲，已知兩種情形下人的壽命都服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差分別是8.5歲和8.8歲，問(wèn)不吸煙的成人人群是否比吸煙的成人人群的壽命要高些？解設(shè)不吸煙的成人人群的壽命為X，吸煙的成人人群的壽命為Y，依題意得：待檢驗(yàn)的假設(shè)是52選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由樣本值計(jì)算得：對(duì)于給定的,查表得所以否定原假設(shè)，即可認(rèn)為不吸煙的成人人群比吸煙的成人人群的壽命要高些。53(1)第六章證明,若

則其中54(1)(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(4)由樣本值算得T

的值；(3)對(duì)給定,查表得如果,則拒絕H0；否則,不拒絕H0.其中55若兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，問(wèn)：兩個(gè)總體的均值是否有顯著差異？

解待檢驗(yàn)的假設(shè)是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量甲車床：

乙車床：

例3兩臺(tái)車床生產(chǎn)同一型號(hào)滾珠，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可以認(rèn)為兩車床生產(chǎn)的滾珠的直徑均服從正態(tài)分布，且方差相同?，F(xiàn)從兩臺(tái)車床的產(chǎn)品中分別抽出8個(gè)和9個(gè)，測(cè)得滾珠直徑的有關(guān)數(shù)據(jù)如下：56解待檢驗(yàn)的假設(shè)是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中由樣本值算得

即均值無(wú)明顯差異。

57(1)(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(4)由樣本值算得T

的值；(3)對(duì)給定,查表得如果,則拒絕H0；否則,不拒絕H0.其中58解建立假設(shè)例4某地區(qū)高考負(fù)責(zé)人想知道某年來(lái)自城市中學(xué)考生的平均成績(jī)是否比來(lái)自農(nóng)村中學(xué)考生的平均成績(jī)高，已知總體服從正態(tài)分布且方差相同，從抽樣得到的資料：

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由樣本值算得

所以無(wú)