量子力學(xué)2波函數(shù)和薛定諤方程

第二章波函數(shù)和

薛定諤方程§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋§2.2態(tài)疊加原理§2.3薛定諤方程§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律§2.5定態(tài)薛定諤方程§2.6一維無(wú)限深方勢(shì)阱§2.7線(xiàn)性諧振子§2.8勢(shì)壘貫穿微觀粒子的特性是波粒二象性，經(jīng)典物理無(wú)法描述。量子力學(xué)引入幾個(gè)假設(shè)，微觀粒子是物質(zhì)波，用波函數(shù)完全描述波函數(shù)滿(mǎn)足波動(dòng)方程-薛定諤方程幾個(gè)問(wèn)題：

如何體現(xiàn)波粒二象性的？

是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)ㄒ唬┎ê瘮?shù)（二）波函數(shù)的解釋?zhuān)ㄈ┎ê瘮?shù)的性質(zhì)如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫(xiě)，而必須用較復(fù)雜的波描寫(xiě)，一般記為：回憶：自由粒子的波函數(shù)一、波函數(shù)微觀粒子的波本質(zhì)是什么？1、歷史上兩種錯(cuò)誤的看法（1）.波由粒子組成來(lái)源：如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布矛盾：?jiǎn)坞娮友苌鋵?shí)驗(yàn)。電子一個(gè)一個(gè)的通過(guò)小孔，但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。根源：波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面。電子源感光屏PPOQQO佐證：正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，才能理解氫原子（只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。（2）.粒子由波組成電子是波包。即認(rèn)為描述粒子的波是由無(wú)限多波長(zhǎng)不同的平面波迭加而成的波包。來(lái)源：孤波。矛盾：波包經(jīng)過(guò)一段時(shí)間就會(huì)散開(kāi)。電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？

“電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波， 但是我們也可以說(shuō)，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一”

這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。二、波粒二象性經(jīng)典概念粒子

1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;2．有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置和速度經(jīng)典概念波

1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。電子源感光屏QQOPP再看一下電子的衍射實(shí)驗(yàn)1.

強(qiáng)電子束，屏上迅速顯示出衍射圖樣2.

弱電子束(電子一個(gè)一個(gè)電子射向雙縫)屏上就出現(xiàn)了一個(gè)個(gè)亮點(diǎn),表明電子是作為完整的顆粒一個(gè)一個(gè)地到達(dá)屏上的3.

弱電子束作長(zhǎng)時(shí)間曝光屏上出現(xiàn)和強(qiáng)電子束相同的衍射圖樣電子的波動(dòng)性電子的粒子性電子的波粒二象性現(xiàn)代的觀點(diǎn)：電子、電磁波等在運(yùn)動(dòng)傳播過(guò)程中，表現(xiàn)出波動(dòng)性，有干涉、衍射特性。當(dāng)和物質(zhì)發(fā)生相互作用時(shí)，表現(xiàn)出粒子性。電子衍射實(shí)驗(yàn)的理解：?jiǎn)蝹€(gè)電子以場(chǎng)的形式運(yùn)動(dòng)，在空間各個(gè)位置出現(xiàn)有一定概率——波動(dòng)性；而一旦出現(xiàn)在某個(gè)位置就是整個(gè)電子——粒子性三、波函數(shù)的幾率解釋描寫(xiě)粒子的波是概率波。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例。不同于經(jīng)典物理，量子力學(xué)中，微觀粒子的物理量沒(méi)有確定的值，而是有多個(gè)可能值，每個(gè)值有一定的出現(xiàn)概率。波函數(shù)給出每個(gè)物理量的可能值及其概率。1926年，Born

提出的波函數(shù)的幾率解釋?zhuān)橇孔恿W(xué)的基本原理。微觀粒子的波是一種物質(zhì)波它以波的形式在空間傳播，表現(xiàn)出波的特性，如干涉、衍射等；和其他物質(zhì)相互作用時(shí)，表現(xiàn)出一份一份的，即量子性，或粒子性。波函數(shù)形式上是波，具有相干疊加性，可以表現(xiàn)出相干性；給出空間位置和其他物理量出現(xiàn)的概率（一旦到那里，就以粒子形式出現(xiàn)在那里），表示出粒子性。在t時(shí)刻，r點(diǎn)，dτ=dxdydz體積內(nèi)，找到粒子的概率是：

2.概率密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)找到粒子的幾率3.歸一性：粒子在全空間出現(xiàn)的概率為1-平方可積1.概率：波函數(shù)的模方表示粒子出現(xiàn)在空間的相對(duì)概率。4.歸一化因子：概率的相對(duì)強(qiáng)度有意義，所以，可以給波函數(shù)乘上任意常數(shù)C，不改變基本性質(zhì)：Ψ和Φ描述同一態(tài)。Ψ是歸一化的波函數(shù)，用Φ描寫(xiě)：歸一化因子5.相因子：歸一化后的波函數(shù)，也可以乘上任意相因子：相因子6.某些波函數(shù)不是平方可積的，如自由粒子波函數(shù)作業(yè)補(bǔ)充題§2.2態(tài)疊加原理一、態(tài)疊加原理二、動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)一、態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個(gè)相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱(chēng)波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱(chēng)為態(tài)疊加原理。PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過(guò)狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度電子穿過(guò)狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度相干項(xiàng)：正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。例：電子雙縫衍射一個(gè)電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態(tài)，它們的線(xiàn)性疊加也是一種可能狀態(tài)空間找到電子的幾率則是：粒子各種可能態(tài)構(gòu)成空間-Hilbert空間，每個(gè)態(tài)標(biāo)記為：態(tài)疊加原理：這是態(tài)空間中的一個(gè)矢量若是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線(xiàn)性疊加(其中C1,C2,...,Cn,...為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。處于Ψ態(tài)的體系，部分的處于Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...，相應(yīng)的概率分別為：態(tài)疊加原理一般表述：例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動(dòng)量p

運(yùn)動(dòng)。具有確定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用de

Broglie平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成

p取各種可能值的平面波的線(xiàn)性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。dΨΨp若動(dòng)量是連續(xù)變化的，求和變成積分：任意的波函數(shù)Ψ(r,t)可看做各種不同動(dòng)量的平面波的疊加：二、動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)其中，動(dòng)量為p的平面波：它出現(xiàn)的概率：系數(shù)C(p)：總結(jié)：Ψ和c互為傅里葉變換它們是波函數(shù)的兩種不同描述方式-坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象。Ψ是坐標(biāo)空間波函數(shù)；c是動(dòng)量空間（表象）波函數(shù)。兩種表象的意義：t時(shí)刻，粒子出現(xiàn)在r處的概率密度為；具有動(dòng)量p的概率密度為。一維情況：經(jīng)典力學(xué)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用位置、動(dòng)量等力學(xué)量描述。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化規(guī)律由牛頓方程描述。若知道力學(xué)體系的初始條件，利用牛頓方程即可求出體系在任何時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子力學(xué)量子體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)(r,t)決定。波函數(shù)隨時(shí)間變化滿(mǎn)足什么樣方程？若知道量子體系的初始狀態(tài)，通過(guò)波函數(shù)隨時(shí)間變化規(guī)律就可預(yù)測(cè)出量子體系在任何時(shí)刻的狀態(tài)§2.3Schrodinger方程在德布羅意提出粒子波動(dòng)性后，德拜指出，既然是波，就應(yīng)該有個(gè)波動(dòng)方程。1926年，薛定諤提出這樣一個(gè)方程。注意，量子力學(xué)中的基本方程實(shí)際上是個(gè)公設(shè)，它既不能由其它理論導(dǎo)出，更不能由經(jīng)典概念給出，基本方程的正確如否只能由它導(dǎo)出的結(jié)論和實(shí)驗(yàn)是否符合來(lái)檢驗(yàn)。一、自由粒子滿(mǎn)足的方程對(duì)坐標(biāo)二次微商，得：自由粒子波函數(shù):對(duì)

t微商，得：上面的推導(dǎo)過(guò)程意味著

能量、動(dòng)量和微分算符有對(duì)應(yīng)關(guān)系：自由粒子有關(guān)系：該方程稱(chēng)為Schrodinger方程，也稱(chēng)為波動(dòng)方程。若粒子處于勢(shì)場(chǎng)V(r)

中運(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系為：二、勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子三、多粒子體系的Schrodinger方程設(shè)體系由N個(gè)粒子組成，質(zhì)量和坐標(biāo)分別為：體系的總勢(shì)能包括單個(gè)粒子在外場(chǎng)中的勢(shì)能，粒子間相互作用勢(shì)能：（一）定域幾率守恒（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律在經(jīng)典物理中有各種各樣的守恒定律，如：電荷、質(zhì)量等守恒定律，類(lèi)似定律也存在于量子力學(xué)中。在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們可以導(dǎo)出這些定律。在討論了波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。粒子在t時(shí)刻r點(diǎn)周?chē)鷨挝惑w積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：一、概率（粒子數(shù)）守恒考慮低能非相對(duì)論實(shí)物粒子情況，因沒(méi)有粒子的產(chǎn)生和湮滅問(wèn)題，粒子數(shù)保持不變-概率（粒子數(shù)）守恒取共軛考慮Schrodinger方程及其共軛式：定義概率流密度：概率（粒子數(shù)）守恒的微分形式，與流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同分量形式：練習(xí)：求自由粒子波函數(shù)的概率流密度1.一維情況2.三維情況可以求出各個(gè)分量：實(shí)際上：在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：閉區(qū)域V上找到粒子的總概率在單位時(shí)間內(nèi)的增量概率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式：令V趨于∞，真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零：使用Gauss定理單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)V的封閉表面S流入（面積分前面的負(fù)號(hào)）V內(nèi)的幾率SV令V趨于∞，真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零：討論：表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。概率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。粒子數(shù)守恒是最基本的，可以導(dǎo)出其他守恒：量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律：量子力學(xué)的電荷守恒定律：由Born的統(tǒng)計(jì)解釋可知，描寫(xiě)粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布已知ψ(r,t)，則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說(shuō)，描寫(xiě)粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱(chēng)為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。知道體系所受力場(chǎng)和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。1、波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)二、再論波函數(shù)的性質(zhì)2、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件概率密度和概率流密度是連續(xù)的，要求波函數(shù)在空間任一點(diǎn)有限、連續(xù)且微商也連續(xù)。根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋?duì)?ψ*ψ是粒子出現(xiàn)的概率，要求ψ是r,t的單值函數(shù)且有限。概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿(mǎn)足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱(chēng)為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。量子力學(xué)基本假定I

波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)量子力學(xué)基本假定II

波函數(shù)隨時(shí)間的演化遵從Schrodinger方程三、量子力學(xué)基本假定I、II（一）定態(tài)Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定態(tài)問(wèn)題的步驟（四）定態(tài)的性質(zhì)§2.5定態(tài)Schrodinger方程Schrodinger方程就像牛頓方程一樣，原則上可以解決量子力學(xué)問(wèn)題。在某些特殊情況下，可以有簡(jiǎn)化形式。一類(lèi)普遍、重要的情況是，勢(shì)能與時(shí)間無(wú)關(guān)（如氫原子）——定態(tài)U與t無(wú)關(guān)可以分離變量令：一、定態(tài)Schrodinger方程Schrodinger方程的一般形式為：于是：等式兩邊是相互無(wú)關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與

t,r無(wú)關(guān)的常數(shù)（設(shè)為E）該方程稱(chēng)為定態(tài)Schrodinger方程，ψ(r)也可稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時(shí)刻ψ(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。此波函數(shù)與時(shí)間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率ω=2πE/h。由deBroglie關(guān)系可知：E就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫(xiě)的狀態(tài)時(shí)的能量。體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱(chēng)為定態(tài)，這種形式的波函數(shù)Ψ(r,t)稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)。空間波函數(shù)ψ(r)可由方程量子力學(xué)自然給出定態(tài)1.Hamilton算符（2）對(duì)定態(tài)波函數(shù)：這兩個(gè)算符是相當(dāng)?shù)?，都稱(chēng)為能量算符，稱(chēng)H為哈密頓算符。（1）由薛定諤方程：二、Hamilton算符和能量本征值方程2、能量本征值方程（1）一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程+邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題；（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿(mǎn)足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱(chēng)為波函數(shù)的自然邊界條件。因此在量子力學(xué)中稱(chēng)與上類(lèi)似的方程為束縛的本征值方程。常量E稱(chēng)為算符

H

的本征值；Ψ稱(chēng)為算符

H的本征函數(shù)。（3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)（簡(jiǎn)稱(chēng)能量本征態(tài)）時(shí)，粒子能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是與這個(gè)本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。改寫(xiě)成定態(tài)問(wèn)題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψ(r,t)

和在這些態(tài)中的能量

E。具體步驟：（1）列出定態(tài)薛定諤方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量E的本征值問(wèn)題：三、求解定態(tài)問(wèn)題的步驟（3）寫(xiě)出對(duì)應(yīng)第n個(gè)本征值En的定態(tài)波函數(shù)（5）通過(guò)歸一化確定歸一化系數(shù)Cn（4）知道了定態(tài)解（特解），薛定諤方程的一般解可寫(xiě)成這些定態(tài)波函數(shù)的線(xiàn)性疊加，即：（四）定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)（1）粒子在空間幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)

綜上所述，當(dāng)Ψ滿(mǎn)足下列三個(gè)等價(jià)條件中的任何一個(gè)時(shí)，Ψ就是定態(tài)波函數(shù)：1.Ψ描述的狀態(tài)其能量有確定的值；2.Ψ滿(mǎn)足定態(tài)Schrodinger方程；3.|Ψ|2

與t無(wú)關(guān)。（3）任何不顯含t得力學(xué)量平均值與t無(wú)關(guān)§2.6一維無(wú)限深方勢(shì)阱在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用薛定諤方程來(lái)處理一類(lèi)簡(jiǎn)單的問(wèn)題——一維定態(tài)問(wèn)題（一維無(wú)限深方勢(shì)阱，一維諧振子,勢(shì)壘散射）。處理一維問(wèn)題，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單，從而能對(duì)結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問(wèn)題中展現(xiàn)出來(lái)；一維無(wú)限深方勢(shì)阱問(wèn)題來(lái)源：量子線(xiàn)，一維導(dǎo)體等。一、問(wèn)題求解求解S—方程步驟：（1）列出各勢(shì)域的一維S—方程（2）解方程（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解（4）定歸一化系數(shù)（5）討論-a0aV(x)IIIIII1、列出各勢(shì)域的S—方程方程可簡(jiǎn)化為：-a0aV(x)IIIIII22勢(shì)U(x)分為三個(gè)區(qū)域，用I、II和III表示，其上的波函數(shù)分別為ψI(x),ψII(x)和ψIII(x)2、解方程：簡(jiǎn)單看，I和III區(qū)勢(shì)能無(wú)限大，波函數(shù)的有限性要求ψI和ψIII為0；從物理考慮，粒子不能透過(guò)無(wú)窮高的勢(shì)壁。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)笤谮灞谏虾挖灞谕獠ê瘮?shù)為0.II區(qū)同于經(jīng)典諧振子3、使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件-a0aV(x)IIIIII波函數(shù)連續(xù)，要求各區(qū)域的波函數(shù)在邊界處相同：ψI和ψIII為0；為簡(jiǎn)單，把ψII記為ψ，薛定諤方程的解為：波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在有無(wú)窮跳躍處不連續(xù)。A和B不能同時(shí)為0，因此有兩組解：總的：粒子有無(wú)窮多個(gè)分立總的本征能量：能量最低的態(tài)稱(chēng)為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類(lèi)推。本征波函數(shù)：或?qū)懗赏恍问剑河纱丝梢?jiàn)，對(duì)于一維無(wú)限深方勢(shì)阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無(wú)限遠(yuǎn)處，ψ=0。這樣的狀態(tài)，稱(chēng)為束縛態(tài)。一維有限運(yùn)動(dòng)能量本征值是分立能級(jí)，組成分立譜。4、由歸一化條件定系數(shù)A（1）定態(tài)波函數(shù)是相反方向傳播的平面波形成的駐波5、對(duì)解的物理意義討論能級(jí)分立性的本質(zhì)來(lái)源于波動(dòng)性。在駐波邊界下，本征態(tài)是一系列駐波，它們的波長(zhǎng)分立，因而能量分立；所以，能級(jí)分立性不能由薛定諤方程本得到，而是通過(guò)邊界條件表現(xiàn)出來(lái)的。量子力學(xué)自然得到能量的分立性！而不需要額外的假設(shè)（2）分立能級(jí)（3）.束縛態(tài)與分立能級(jí)粒子被束縛在(-a,a)小區(qū)域內(nèi)，不可能到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)處。若粒子被束縛在有限區(qū)域內(nèi)，其狀態(tài)為束縛態(tài)。若粒子可到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)處，其狀態(tài)為非束縛態(tài)。一般而言，只要是束縛態(tài)，其能級(jí)肯定是分立的。束縛態(tài)的例子很多：如原子外電子被限制在核外空間，其能級(jí)就是一系列束縛態(tài)，是分立的。（4）基態(tài)與激發(fā)態(tài)n=1,是能量最低的束縛態(tài)——基態(tài)與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒(méi)有意義的。在經(jīng)典物理中，粒子的能量可以為零，這意味著粒子靜止，即粒子的坐標(biāo)有確定值且動(dòng)量為零。但在量子力學(xué)中，因?yàn)椴６笮?，坐?biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)確定，因此基態(tài)能量不能為零。高于基態(tài)的其他束縛態(tài)分別稱(chēng)為第一、二、……，激發(fā)態(tài)相鄰兩激發(fā)態(tài)的能量間隔當(dāng)量子數(shù)n很大時(shí)，量子效應(yīng)消失而過(guò)渡到經(jīng)典情況。相對(duì)能量間隔為：能量分立性消失波動(dòng)性消失（5）波函數(shù)宇稱(chēng)本例題之所以有確定的宇稱(chēng)源于勢(shì)場(chǎng)對(duì)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)宇稱(chēng)：坐標(biāo)鏡面反射對(duì)稱(chēng)性6.關(guān)于納米問(wèn)題為什么到納米尺度才能觀察到量子效應(yīng)？

由上面的討論我們知道對(duì)于大量子數(shù)n，問(wèn)題回到經(jīng)典情況，這就是為什么當(dāng)我們需要強(qiáng)調(diào)量子效應(yīng)時(shí)，必須到納米尺度時(shí)才有意義。電子的deBroglie波長(zhǎng)～0.1nmn=1a～0.025nmn=10a～0.25nmn=100a～2.5nmn=1000a～25nmn=10000a～250nm§2.7線(xiàn)性諧振子在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中，諧振子都是重要的例子，是少有的幾個(gè)可以嚴(yán)格求解的例子。本節(jié)學(xué)習(xí)用定態(tài)薛定諤方程求解，重點(diǎn)要求掌握關(guān)鍵性結(jié)論，不要求學(xué)習(xí)求解的細(xì)節(jié)。后面的章節(jié)還要學(xué)習(xí)更簡(jiǎn)單的求解方法1、經(jīng)典諧振子量子力學(xué)中的線(xiàn)性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子。其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子。一、背景自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。axV(x)0V02、為什么研究線(xiàn)性諧振子例：雙原子分子兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢(shì)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V0可見(jiàn)，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線(xiàn)性諧振動(dòng)來(lái)近似描述。取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a,V0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式：1、方程的建立為簡(jiǎn)單計(jì)，引入無(wú)量綱變量ξ代替x，二、線(xiàn)性諧振子的量子力學(xué)解是變系數(shù)的二階常微分方程。如果直接用冪級(jí)數(shù)方法求解，系數(shù)遞推公式將會(huì)非常復(fù)雜，常用方法是先求方程的漸近解，然后再求方程再整個(gè)區(qū)間的解（這也是解薛定諤方程的一種常用方法）1.漸近解：為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當(dāng)ξ→±∞時(shí)波函數(shù)ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變?yōu)椋河?yàn)證解的正確性，可將其代回方程，2、求解其解為：波函數(shù)有限性條件要求，當(dāng)ξ→±∞時(shí)，應(yīng)有c2=0其中H(ξ)必須滿(mǎn)足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：

①當(dāng)ξ有限時(shí)，H(ξ)有限；②當(dāng)ξ→∞時(shí)，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0。考慮漸近行為，把波函數(shù)設(shè)為：2.H(ξ)滿(mǎn)足的方程保證波函數(shù)有限性，要求λ為奇數(shù)，相鄰能級(jí)等間隔：基態(tài)（n=0）有非零能量——零點(diǎn)能：3、厄密多項(xiàng)式滿(mǎn)足該方程的解是多項(xiàng)式——厄米多項(xiàng)式可寫(xiě)成封閉形式定態(tài)波函數(shù)：4、討論（1）ψn具有n宇稱(chēng)（2）

遞推關(guān)系：（3）

非零基態(tài)能。這與無(wú)窮深勢(shì)阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒(méi)有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)。（4）.波函數(shù)的局域性在ξ=0處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零。以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在|αx|<1范圍中運(yùn)動(dòng)。粒子被限制在阱內(nèi)。然而，量子情況與此不同對(duì)于基態(tài)，其幾率密度是：-101ω0(ξ)n=0n=1n=2（5）.概率密度-3-2-10123E0E1E2ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2-22-44|10|2粒子在原點(diǎn)出現(xiàn)的幾率要么最大（n偶），要么為0（n為奇）；粒子可在經(jīng)典禁區(qū)中出現(xiàn)；當(dāng)n越大時(shí)，其幾率密度分布與經(jīng)典幾率密度分布越來(lái)越接近，當(dāng)n∞時(shí)，量子和經(jīng)典無(wú)差別——當(dāng)量子數(shù)很大時(shí)，量子體系過(guò)渡到經(jīng)典情況?！?.8勢(shì)壘貫穿——一維勢(shì)散射問(wèn)題前面兩個(gè)例子的特點(diǎn)是，無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，波函數(shù)也為零，粒子在有限區(qū)域運(yùn)動(dòng)，本征態(tài)是分立的束縛態(tài)；本節(jié)講散射問(wèn)題，無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能不為無(wú)窮大，因而波函數(shù)不為零。沒(méi)有這個(gè)約束，粒子的能量可以取任意的連續(xù)譜一、問(wèn)題勢(shì)壘穿透是粒子入射被勢(shì)壘散射的一維運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。典型勢(shì)壘是方勢(shì)壘，其定義如下：現(xiàn)在的問(wèn)題是已知粒子以能量E沿x正向入射。0aV(x)V0IIIIIIE二、方程求解（1）E>U0情況三個(gè)區(qū)域的薛定諤方程：定態(tài)波函數(shù)ψ1,ψ2,ψ3

分別乘以含時(shí)因子exp[-iEt/]即可看出：式中第一項(xiàng)是沿x正向傳播的平面波，第二項(xiàng)是沿x負(fù)向傳播的平面波。由于在x>a區(qū)沒(méi)有反射波，所以C'=0，于是解為：

物理分析利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來(lái)定系數(shù)。解單值、有限條件：波函數(shù)連續(xù)；波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)綜合整理得到關(guān)于5個(gè)系數(shù)的線(xiàn)性方程組：3.求解線(xiàn)性方程組4.透射系數(shù)和反射系數(shù)求解方程組得:為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被勢(shì)壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。I透射系數(shù)：透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱(chēng)為透射系數(shù)D=JD/JIII反射系數(shù)：反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱(chēng)為反射系數(shù)R=JR/JI幾率流密度矢量：其中負(fù)號(hào)表示與入射波方向相反。則入射波幾率流密度由以上二式顯然有D+R=1，說(shuō)明入射粒子一部分貫穿勢(shì)壘到x>a的III區(qū)，另一部分則被勢(shì)壘反射回來(lái)。（2）E<V0情況引入：三、結(jié)果討論（1）散射問(wèn)題主要是計(jì)算透過(guò)勢(shì)壘區(qū)的透射系數(shù)和反射系數(shù)。從以上計(jì)算過(guò)程看，系數(shù)A沒(méi)有意義，以后計(jì)算中，可以設(shè)A=1，相當(dāng)于設(shè)入射粒子概率密度為1，則方程簡(jiǎn)化為：0aV(x)xV0入射波+反射波透射波隧道效應(yīng)（tunneleffect）粒子能夠穿透比它動(dòng)能更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象。這是純量子力學(xué)效應(yīng)，是粒子具有波動(dòng)性的表現(xiàn)。（2）即使E<U0，在一般情況下，透射系數(shù)D并不等于零。（3）厚度的影響。估算厚度的影響，假設(shè)相對(duì)入射能量很高的勢(shì)壘透射率隨厚度增加，e指數(shù)減小。對(duì)電子，在納米范圍有可觀測(cè)的透射效應(yīng)。例1:入射粒子為電子。設(shè)E=1eV,V0=2eV,a=2×10-8cm=2?，算得D≈0.51。若a=5×10-8cm=5?，則D≈0.024，可見(jiàn)透射系數(shù)迅速減小。

質(zhì)子與電子質(zhì)量比

μp/μe≈1840。對(duì)于a=2?

則D≈2×10-38?？梢?jiàn)透射系數(shù)明顯的依賴(lài)于粒子的質(zhì)量和勢(shì)壘的寬度。量子力學(xué)提出后，Gamow首先用勢(shì)壘穿透成功的說(shuō)明了放射性元素的α衰變現(xiàn)象。例2:入射粒子換成質(zhì)子。0abV(x)E對(duì)每一小方勢(shì)壘透射