金融數(shù)學(xué)-(南京大學(xué))

金融數(shù)學(xué)南京大學(xué)金融與保險(xiǎn)學(xué)系2/3/20231導(dǎo)論第一章金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二章金融市場第三章資產(chǎn)組合復(fù)制和套利第四章股票與期權(quán)的二叉樹模型第五章連續(xù)時間模型和Black-Scholes公式第六章Black-Scholes模型的解析方法第七章對沖第八章互換第九章債券模型金融數(shù)學(xué)2/3/20232導(dǎo)論在人類發(fā)展史上，伴隨著第一張借據(jù)的出現(xiàn)，金融（finance）就產(chǎn)生了。時至今日，金融學(xué)已形成了宏觀金融學(xué)和微觀金融學(xué)兩個分支，其需要解決的核心問題是：如何在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，通過資本市場對資源進(jìn)行跨期的（intertemporally）最優(yōu)配置（allocation）。金融發(fā)展史表明，伴隨著金融學(xué)兩個分支學(xué)科的深化與發(fā)展，金融數(shù)學(xué)（FinancialMathematics）應(yīng)運(yùn)而生。2/3/20233如何理解：在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，對資源進(jìn)行跨期的最優(yōu)配置？

荒島魯賓遜傳奇（RobinsonCrusoe）思路：求一個終身的跨期最優(yōu)消費(fèi)／投資問題；工具：隨機(jī)最優(yōu)控制（Stochasticoptimalcontrol）導(dǎo)論2/3/20234被薩繆爾森譽(yù)為金融理論“專家中的專家”、站在眾多“巨人肩上的巨人”的莫頓(RobertC．Merton)曾這樣說過：

優(yōu)美的科學(xué)不一定是實(shí)用的，實(shí)用的科學(xué)也未必給人以美感，而現(xiàn)代金融理論卻兼?zhèn)淞藘?yōu)美和實(shí)用。

導(dǎo)論2/3/20235導(dǎo)論一、金融與金融數(shù)學(xué)二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程三、金融數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架2/3/20236一、金融與金融數(shù)學(xué)

金融是一個經(jīng)濟(jì)學(xué)的概念和范疇。通常，“金”是指資金，“融”是指融通，“金融”則指資金的融通，或者說資本的借貸，即由資金融通的工具、機(jī)構(gòu)、市場和制度構(gòu)成的有機(jī)系統(tǒng)，是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的重要組成部分。

金融核心：在不確定的環(huán)境下，通過資本市場，對資源進(jìn)行跨期（最優(yōu)）配置。

如何理解其與傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別？2/3/202372/3/20238微觀金融分析和宏觀金融分析分別從個體和整體角度研究金融運(yùn)行規(guī)律。金融決策分析主要研究金融主體投資決策行為及其規(guī)律，服務(wù)于決策的“金融理論由一系列概念和定量模型組成?！苯鹑谥薪榉治鲋饕芯拷鹑谥薪闄C(jī)構(gòu)的組織、管理和經(jīng)營。包括對金融機(jī)構(gòu)的職能和作用及其存在形態(tài)的演進(jìn)趨勢的分析；金融機(jī)構(gòu)的組織形式、經(jīng)濟(jì)效率、混業(yè)與分業(yè)、金融機(jī)構(gòu)的脆弱性、風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移和控制等。一、金融與金融數(shù)學(xué)2/3/20239宏觀金融分析從整體角度討論金融系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律，重點(diǎn)討論貨幣供求均衡、金融經(jīng)濟(jì)關(guān)系、通貨膨脹與通貨緊縮、金融危機(jī)、金融體系與金融制度、貨幣政策與金融宏觀調(diào)控、國際金融體系等問題。

與經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展歷程相反，金融學(xué)是先有宏觀部分再有微觀部分。一、金融與金融數(shù)學(xué)2/3/202310完整的現(xiàn)代金融學(xué)體系將以微觀金融學(xué)和宏觀金融學(xué)為理論基礎(chǔ)，擴(kuò)展到各種具體的應(yīng)用金融學(xué)學(xué)科，而數(shù)理化（同時輔助以實(shí)證計(jì)量）的研究風(fēng)格將貫穿從理論到實(shí)踐的整個過程。在現(xiàn)代金融學(xué)的發(fā)展歷程中，兩次華爾街革命產(chǎn)生了一門新興的學(xué)科，即金融數(shù)學(xué)。隨著金融市場的發(fā)展，金融創(chuàng)新日益涌現(xiàn)，各種金融衍生產(chǎn)品層出不窮，這給金融數(shù)學(xué)的發(fā)展提出了更高的要求，同時也為金融數(shù)學(xué)這一門學(xué)科的發(fā)展提供了廣闊的空間。一、金融與金融數(shù)學(xué)2/3/202311金融數(shù)學(xué)是金融學(xué)自身發(fā)展而衍生出來的一個新的分支，是數(shù)學(xué)與金融學(xué)相結(jié)合而產(chǎn)生的一門新的學(xué)科，是金融學(xué)由定性分析向定性分析與定量分析相結(jié)合，由規(guī)范研究向?qū)嵶C研究為主轉(zhuǎn)變，由理論闡述向理論研究與實(shí)用研究并重，金融模糊決策向精確化決策發(fā)展的結(jié)果。一、金融與金融數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)：研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。金融學(xué)：研究運(yùn)作“金錢”事務(wù)的科學(xué)。金融數(shù)學(xué)：運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來定量研究金融問題的一門學(xué)科。與其說是一門獨(dú)立學(xué)科，還不如說是作為一系列方法而存在。2/3/202312金融數(shù)學(xué)是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)化。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要研究對象是在證券市場上的投資和交易，金融數(shù)學(xué)則是通過建立證券市場的數(shù)學(xué)模型，研究證券市場的運(yùn)作規(guī)律。金融數(shù)學(xué)研究的中心問題是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（包括衍生金融產(chǎn)品和金融工具）的定價(jià)和最優(yōu)投資策略的選擇，它的主要理論有：資本資產(chǎn)定價(jià)模型，套利定價(jià)理論，期權(quán)定價(jià)理論及動態(tài)投資組合理論。

一、金融與金融數(shù)學(xué)2/3/202313金融數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容：風(fēng)險(xiǎn)管理效用優(yōu)化金融數(shù)學(xué)的主要工具是隨機(jī)分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì)（特別是非線性時間序列分析）。一、金融與金融數(shù)學(xué)2/3/202314一、金融與金融數(shù)學(xué)依據(jù)研究方法：2/3/202315規(guī)范金融數(shù)學(xué)：強(qiáng)調(diào)運(yùn)用高等數(shù)學(xué)、最優(yōu)化、概率論、微分方程等知識對金融原理進(jìn)行推導(dǎo)。如：第一次華爾街革命（資產(chǎn)組合問題、資本資產(chǎn)定價(jià)模型）；第二次華爾街革命（期權(quán)定價(jià)公式）。實(shí)證金融數(shù)學(xué)：強(qiáng)調(diào)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、時間序列分析等知識對金融原理進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，并得出一些經(jīng)驗(yàn)結(jié)論。如：資產(chǎn)定價(jià)模型的檢驗(yàn)、行為金融學(xué)的檢驗(yàn)。一、金融與金融數(shù)學(xué)2/3/202316金融數(shù)學(xué)的研究歷程大致可分為三個時期：第一個時期為發(fā)展初期：代表人物有阿羅（K.Arrow

）、德布魯（G.Debreu）、林特納（J.Lintner

）、馬柯維茨（H.M.Markowitz）、夏普（w.Sharp）和莫迪利亞尼（F.Modigliani）等。二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程2/3/202317盡管早在1900年，法國人L·巴恰利爾(LouisBachelier)在一篇關(guān)于金融投機(jī)的論文中，已經(jīng)開始利用隨機(jī)過程工具探索那時尚無實(shí)物的金融衍生資產(chǎn)定價(jià)問題，但巴恰利爾僅是那個時代的一顆孤星，因?yàn)樵陔S后的半個世紀(jì)中，他的論文只是在幾個數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家手中流傳（奠定了現(xiàn)代金融學(xué)發(fā)展的基調(diào)）。馬科維茨(H．Markowitz)1952年發(fā)表的那篇僅有14頁的論文既是現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論的發(fā)端，同時也標(biāo)志著現(xiàn)代金融理論的誕生。稍后，莫迪利亞尼和米勒(ModiglianiandMiller，1958)第一次應(yīng)用無套利原理證明了以他們名字命名的M-M定理。直到今天，這也許仍然是公司金融理論中最重要的定理。同時，德布魯(Debreu，1959)和阿羅(Arrow，1964)將一般均衡模型推廣至不確定性經(jīng)濟(jì)中，為日后金融理論的發(fā)展提供了靈活而統(tǒng)一的分析框架。二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程2/3/202318這些基礎(chǔ)性的工作在后來的10年內(nèi)得到了兩個重要的發(fā)展：其一是，在馬科維茨組合理論的基礎(chǔ)上，夏普(Sharpe，1964)、林特納(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市場出清狀態(tài)，所有投資者都將選擇無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與市場組合證券的線性組合；另一重要發(fā)展是對阿羅-德布魯理論的推廣。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)顯示了阿羅-德布魯理論在一些基本的金融理論問題中的應(yīng)用，并在一般均衡體系中證明了M-M定理，第一次將阿羅-德布魯框架與套利理論聯(lián)系起來。二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程2/3/202319第二個時期為1969-1979年：這一時期是金融數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金時代，主要代表人物有莫頓（R.Merton）、布萊克（F.Black）、斯科爾斯(M.Scholes

）、考克斯（J.Cox）、羅斯（Ｓ.Ross）、魯賓斯坦（M.Rubinstein）、萊克(S.Lekoy）、盧卡斯（D.Lucas）、布雷登（D.Breeden）和哈里森（J.M.Harrison)等。二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程2/3/202320首先，CAPM理論得到一系列的發(fā)展。在夏普-林特納-莫辛單期CAPM基礎(chǔ)上，布萊克(Black，1972)對借貸引入限制，推導(dǎo)了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)不存在情況下的“CAPM”。薩繆爾森(1969)、魯賓斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克勞斯和利曾伯格(KrausandLitzenberger，1978)以及布倫南(Brennan，1970)等將馬科維茨的靜態(tài)分析擴(kuò)充至離散時間的多期分析，得到了跨期CAPM。莫頓(Merton，1969，1971，1973a)則提供了連續(xù)時間的CAPM版本(稱為ICAPM)。羅斯(Ross，1976a)提出與CAPM競爭的套利定價(jià)理論(APT)。值得強(qiáng)調(diào)的是，莫頓的這些文獻(xiàn)不僅是建立了連續(xù)時間內(nèi)最優(yōu)資產(chǎn)組合模型和資產(chǎn)定價(jià)公式，而且首次將伊藤積分引入經(jīng)濟(jì)分析。

二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程2/3/202321二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程

1970年代最具革命性意義的事件無疑當(dāng)數(shù)布萊克和斯科爾斯(BlackandScholes，1973)推導(dǎo)出簡單的期權(quán)定價(jià)公式，以及莫頓(Merton，1973b)對該定價(jià)公式的發(fā)展和深化。在這個階段的后期，哈里森和克雷普斯(HarrisonandKreps，1979)發(fā)展了證券定價(jià)鞅理論(theoryofmartingalepricing)，這個理論在目前也仍然是金融研究的前沿課題。同一時期另一引人注目的發(fā)展是非對稱信息分析方法開始使用。2/3/202322金融數(shù)學(xué)發(fā)展的第三個時期：

1980年至今是金融數(shù)學(xué)發(fā)展的第三個時期，是成果頻出、不斷成熟完善的時期。該期間的代表人物有達(dá)菲（D.Duffie

）、卡瑞撤斯（I.Karatzas

）、考克斯（J.Cox）、黃（C.F.Huang）等。二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程2/3/202323

1980年代以后，資產(chǎn)定價(jià)理論和不完全信息金融市場分析繼續(xù)發(fā)展。在資產(chǎn)定價(jià)理論方面，各種概念被統(tǒng)一到阿羅-德布魯一般均衡框架下，顯得更為靈活和適用。鞅定價(jià)原理逐漸在資產(chǎn)定價(jià)模型中占據(jù)了中心位置，達(dá)菲和黃(DuffleandHuang，1985)等在此基礎(chǔ)上大大地推廣了布萊克-斯科爾斯模型。在非對稱信息分析方面，非合作博弈論及新產(chǎn)業(yè)組織理論的研究方法得到廣泛應(yīng)用。戴蒙德(Diamond，1984)在利蘭-派爾模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步揭示了金融中介因風(fēng)險(xiǎn)分散產(chǎn)生的規(guī)模經(jīng)濟(jì)利益，并提出了金融中介代理最終貸款者監(jiān)督借款企業(yè)的效率優(yōu)勢。戴蒙德和迪布維克(DiamondandDybvig，1983)建立了提供流動性調(diào)節(jié)服務(wù)的銀行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龍和梯羅爾(HolmstromandTirole，1993)又以道德危險(xiǎn)(moralhazard)現(xiàn)象為基礎(chǔ)，解釋了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的經(jīng)濟(jì)功能得到了較為完整的模型刻畫。二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程2/3/202324三、金融數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架2/3/202325第一部分是金融數(shù)學(xué)方法篇，闡述了金融數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)方法和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，重點(diǎn)講述了微積分、線性代數(shù)、概率論、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。第二部分是金融數(shù)學(xué)方法核心篇，闡述了資本資產(chǎn)定價(jià)模型和期權(quán)定價(jià)模型。第三部分是金融數(shù)學(xué)應(yīng)用篇，闡述了金融數(shù)學(xué)在貨幣市場、外匯市場、證券市場的應(yīng)用。三、金融數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架2/3/202326第一章金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202327第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用一、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用（一）連續(xù)復(fù)利和實(shí)際利率

若在任何時刻，某人在銀行存款總額為A(t)，計(jì)算周期為h>0，則在t=h，初始的存款總額A(0)增至A(h)2/3/202328第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用利息僅僅考慮利息的大小是沒有意義的，必須考慮本金和存期稱單位時間內(nèi)的相對回報(bào)率r(h)為[0,h]上的利率2/3/202329第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202330第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用一般而言，利率r不是常數(shù)，若記rj為時間區(qū)間[jh,(j+1)h]上的定期存款利率，則在時刻t=kh，存款總額為：若h=1，

rj=r，則2/3/202331第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用通常利率是指年利率，活期利率類似于期限為1天的定期，但它始終是單利。在美國的利率史上，曾經(jīng)有過長期利率低于短期利率的例子，這種情況會在什么情況下出現(xiàn)？

在經(jīng)濟(jì)由高速增長階段進(jìn)入衰退階段時會出現(xiàn)。2/3/202332第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用對給定t>0(由于r為年利率，t的單位為年)，記k=[t/h]，則在時刻t的存款總額A(t;h)(其中對任意h大于0，A(0;h)=A(0)，2/3/202333第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用A(t)稱為是由（常值）利率為r連續(xù)復(fù)利得到的存款總額。注意：是的一個近似，而不是相反。2/3/202334第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用考慮任何一個時間區(qū)間[t,t+h](h>0)，則瞬時利率被定義為瞬時單位時間中的相對回報(bào)率，即解此微分方程得2/3/202335第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用只要利率是非負(fù)的，總有即，銀行存款總額是非減的。基于此，銀行存款是無風(fēng)險(xiǎn)的。2/3/202336第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用附：2/3/202337例：求100元本金，以10%復(fù)利兩年的終值

⑴每年計(jì)算復(fù)利一次

⑵半年計(jì)算復(fù)利一次

⑶連續(xù)計(jì)算復(fù)利能得出什么結(jié)論？第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202338第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202339（二）實(shí)際利率與名義利率第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202340第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用例：名義利率為10%，期限為2年，求：（1）半年計(jì)算復(fù)利一次的實(shí)際年利率；（2）連續(xù)計(jì)算復(fù)利的實(shí)際年利率。

能得出什么結(jié)論？2/3/202341第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202342（三）銀行按揭貸款第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用貸款P元，年利率為r，分n期等額償還，每期應(yīng)償還多少？已知現(xiàn)值求年金（資金還原公式）2/3/202343例：某人貸款余額為20萬元，年利率為6%，計(jì)劃辦理5年銀行按揭，每個月月未應(yīng)向銀行還款多少錢？第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202344第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202345第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用例：汽車每輛售價(jià)100000元，成交時付款34000元，其余66000元分11個月付款，即每月6000元，試以月息4.2‰，求其現(xiàn)值。（四）分期付款已知年金求現(xiàn)值2/3/202346第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202347（五）銀行貼現(xiàn)第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用應(yīng)得兌現(xiàn)額實(shí)得兌現(xiàn)額2/3/202348例

面值5000元的匯票，20天后到期，銀行月息為6‰，求貼息額與兌現(xiàn)額。第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202349第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用課后思考⑴應(yīng)得兌現(xiàn)額（4980.08）⑵應(yīng)貼利息(19.92)⑶實(shí)際貼息(20)⑷實(shí)際兌現(xiàn)額(4980)2/3/202350（六）利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)計(jì)算時間最優(yōu)問題例為投資買入的土地以下面的公式增值：在連續(xù)計(jì)算復(fù)利下貼現(xiàn)率為0.09，為使土地的現(xiàn)值最大，應(yīng)該持有該土地多久？第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202351第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202352第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用二、微分方法的運(yùn)用（一）邊際效用函數(shù)的分析例：已知總成本函數(shù)利用微積分知識做出總成本、平均成本和邊際成本三者之間關(guān)系的圖形。課后習(xí)題！2/3/202353某債券面額為1000元，5年期，票面利率為10%，現(xiàn)以950元的發(fā)行價(jià)向全社會公開發(fā)行。（1）若投資者認(rèn)購后持至第3年末以995元的市價(jià)出售，則持有期收益率是多少？（2）若投資者認(rèn)購后持至期滿，則其到期收益率是多少？第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202354第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用（12.11%，11.58%）2/3/202355（二）經(jīng)濟(jì)函數(shù)最優(yōu)化例：已知一個企業(yè)的總收益水平是總成本函數(shù)是設(shè)，求其最大利潤第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202356第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：⑴建立利潤函數(shù)⑵一階條件⑶二階條件2/3/202357某個企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為，其中K和L分別為資本和勞動的投入量，資本和勞動的價(jià)格分別為r和w。請寫出該企業(yè)的成本函數(shù)C（q,r,w）的具體形式。第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202358第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用由該企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)可以知道，該企業(yè)必定會在K=L時組織生產(chǎn)，否則有一種要素存在浪費(fèi)現(xiàn)象。（3分）因此，生產(chǎn)函數(shù)可以表示為（2分）可以得到成本最小化時的（2分）所以企業(yè)的成本（3分）2/3/202359第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用三、積分方法的運(yùn)用（一）凈投資時間積分的測度例：給定凈投資，且當(dāng)時初始資本存量是150，求資本函數(shù)，即時間路徑2/3/202360第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：為什么？2/3/202361第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用例：邊際儲蓄傾向，當(dāng)收入是25時，儲蓄為5。求儲蓄函數(shù)。2/3/202362第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202363第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用（二）消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余的測度例：若市場所銷售商品的數(shù)量和市場價(jià)格是由需求函數(shù)決定的，設(shè)一個利益最大化的廠商所面臨的需求函數(shù)是，其邊際成本函數(shù)為求消費(fèi)者剩余。2/3/202364第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：⑴收益函數(shù)TR⑵邊際成本等于邊際收益⑶市場均衡價(jià)格與產(chǎn)量⑷消費(fèi)者剩余2/3/202365第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用四、微分方程和差分方程的運(yùn)用（一）運(yùn)用微分方程決定動態(tài)平衡點(diǎn)例：給定需求函數(shù)和供給函數(shù)，均衡價(jià)格是：。若市場上價(jià)格的變化率是正的，且為關(guān)于超額需求的線性函數(shù)分析在什么條件下，當(dāng)時，將趨近于，這個條件就是市場上的動態(tài)價(jià)格穩(wěn)定的條件。2/3/202366第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202367第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202368第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用（二）運(yùn)用可分離變量微分方程求投資函數(shù)例：若邊際儲蓄傾向s和邊際資本—產(chǎn)出比率R都是常數(shù)，計(jì)算可達(dá)到預(yù)期增長所需的投資函數(shù)。2/3/202369第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202370第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用（三）運(yùn)用差分方程制定滯后收入決定模型2/3/202371第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用例：給出求解。2/3/202372第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：計(jì)算Y1,Y0并檢驗(yàn)。2/3/202373第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用（一）矩陣的運(yùn)用對于一個簡單的二部門經(jīng)濟(jì)，當(dāng)Y=C+I，商品市場是均衡的，當(dāng)貨幣供給（Ms）等于貨幣需求（Md）時，貨幣市場是均衡的，貨幣需求由貨幣的預(yù)備交易需求（Mt）和特殊需求（Mz）組成。例：一個二部門經(jīng)濟(jì)

求均衡收入和均衡利率。2/3/202374第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202375第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用（二）證券組合收益率和風(fēng)險(xiǎn)的測度例：某投資組合由一個風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和一個無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合中包括兩個證券A、B，它們的預(yù)期收益率分別為10%和8%，證券A的方差為，證券B的方差為，協(xié)方差為，兩種證券權(quán)重均為0.5，無風(fēng)險(xiǎn)證券的預(yù)期收益率為5%，在證券組合中的權(quán)重為0.25，試計(jì)算該投資組合的總預(yù)期收益率和總風(fēng)險(xiǎn)。2/3/202376第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202377第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用二、特殊行列式和矩陣的應(yīng)用（一）雅可比(Jacobi)行列式

對m個n（m=n）元函數(shù)2/3/202378第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用例：已知利用雅可比行列式判斷其函數(shù)相關(guān)性。2/3/202379第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用設(shè)種產(chǎn)品的市場需求映射為其中為價(jià)格向量為需求向量就是第種產(chǎn)品的需求函數(shù)2/3/202380第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用根據(jù)隱函數(shù)存在定理，只要對任何價(jià)格向量雅可比(Jacobi)行列式都不為零，就能存在需求映射的逆映射雅可比行列式2/3/202381第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用假定雅可比行列式處處不為零，從而的逆映射存在。把寫成則可把叫做第種產(chǎn)品的反需求函數(shù)設(shè)第種產(chǎn)品的成本函數(shù)，則廠商的總成本函數(shù)為。第種產(chǎn)品的收益函數(shù)為，廠商的總收益為2/3/202382壟斷廠商的利潤函數(shù)為廠商要決定一個產(chǎn)出向量，使利潤最大化，根據(jù)一階條件即每種產(chǎn)品的邊際成本都等于這種產(chǎn)品的各種邊際收益之和第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202383第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用（二）海塞行列式2/3/202384第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用如果|H|的所有主子式為正，則|H|為正定的，滿足極小值的二階條件；如果|H|的所有主子式的符號在負(fù)與正之間交替出現(xiàn)，則|H|為負(fù)定的，滿足極大值的二階條件；2/3/202385第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用例：已知需求函數(shù)和總成本函數(shù)為：試求：（1）；（2）檢驗(yàn)利潤函數(shù)的一階條件；（3）利用海塞行列式檢驗(yàn)二階條件，使利潤最大化。2/3/202386第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用解：2/3/202387第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202388第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用一、隨機(jī)過程的含義1.如果對變化過程的全過程做一次觀察,得到一個位置與時間關(guān)系的函數(shù)x1(t),若再次觀察，又得到函數(shù)x2(t),…,因而得到一族函數(shù).2.如果在時刻t觀察質(zhì)點(diǎn)的位置x(t),則x(t)是一個隨機(jī)變量,這樣對于每個時刻t便得到一個隨機(jī)變量X(t),于是就得到一族隨機(jī)變量{X(t),t≥0}（最初始時刻為t=0）,它描述了此隨機(jī)的運(yùn)動過程.2/3/202389定義1

設(shè)E是一隨機(jī)實(shí)驗(yàn),樣本空間為Ω={}，參數(shù)

T(-,+),如果對每個

,總有一個確定的時間函數(shù)X(,t)與之對應(yīng),這樣對于所有的

,就得到一族時間t的函數(shù),稱此族時間t的函數(shù)為隨機(jī)過程,而族中每一個函數(shù)稱為這個隨機(jī)過程的樣本函數(shù)。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202390定義2：設(shè)E是一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，樣本空間為Ω={}，參數(shù)T(-,+),如果對任意tT

，有一定義在Ω上的隨機(jī)變量X(,t)與之對應(yīng),則稱{X(,t),t

T}為隨機(jī)過程，簡記為X(t),t

T或X(t),也可記為X(t).第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202391注釋：(1)隨機(jī)過程X(t),t

T是定義在Ω×T上的二元函數(shù)，可以從兩個角度去理解,因而有如上的兩個定義。

在理論分析往往用隨機(jī)變量族的描述方式，在實(shí)際測量和處理中往往采用樣本函數(shù)族的描述方式。(2)通常將隨機(jī)過程X(t),t

T解釋為一個物理系統(tǒng)，X(t)表示系統(tǒng)在時刻t所處的狀態(tài),X(t)的所有可能狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間，記為I，對于給定的t0T，及xI,

X(t0)=x說成是在時刻t0，系統(tǒng)處于狀態(tài)x。(3)從定義2的角度上看，隨機(jī)過程是有限維隨機(jī)變量的推廣。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202392隨機(jī)變量：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是Ω

＝｛ω｝,如果對其中的每一個ω

i，總有一個實(shí)數(shù)X(ω

i)與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在S上的單值實(shí)值函數(shù)X=X(ω)，稱之為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量X是定義在樣本空間上的取值為實(shí)數(shù)的函數(shù)，即樣本空間中每一個點(diǎn)，也就是每個基本事件都有實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)與之對應(yīng)。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202393利用拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)定義此時，樣本空間相應(yīng)的樣本函數(shù)第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202394第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202395第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202396二、隨機(jī)過程的分類第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用1．按狀態(tài)空間I和時間T是可列集還是連續(xù)集分類：(1).連續(xù)型隨機(jī)過程:T是連續(xù)集,且tT,X(t)是連續(xù)型隨機(jī)變量,則稱過程{X(t),tT}為連續(xù)型隨機(jī)過程.(2).離散型隨機(jī)過程:T是連續(xù)集，且tT,X(t)是離散型隨機(jī)變量，則稱過程{X(t),tT}為離散型隨機(jī)過程。2/3/202397第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用(3).連續(xù)型隨機(jī)序列:T是可列集,且tT,X(t)是連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱過程{X(t),tT}為連續(xù)型隨機(jī)序列.

(4).離散型隨機(jī)序列:T是可列集,且tT,X(t)為離散型隨機(jī)變量,則稱過程{X(t),tT}為離散型隨機(jī)序列。通常T取為T={0,1,2…}或T={0,±1，±2…},此時隨機(jī)序列常記成{Xn,n=0,1,…}或{Xn,n0}。2/3/2023982．按分布特性分類：依照過程在不同時刻狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系分類。⑴獨(dú)立增量過程⑵馬爾可夫過程⑶平穩(wěn)過程

等等第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/202399

1．n維分布函數(shù)：

設(shè){X(t),tT}是隨機(jī)過程，對于任意整數(shù)n≥1及T中任意n個不同的參數(shù)t1,t2，…，tn，稱隨機(jī)向量（X(t1),X(t2),…,X(tn)）的分布函數(shù)為隨機(jī)過程{X(t),tT}的n維分布函數(shù).三、隨機(jī)過程的概率分布第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023100

變化n及t1,t2，…，tn所得到的有限維分布函數(shù)的全體

稱為{X(t),tT}的有限維分布函數(shù)族。

當(dāng)n=1時,得到一維分布函數(shù)F(x;t)=P{X(t)≤x},一維分布函數(shù)的全體{F(x;t),t∈T}稱為一維分布函數(shù)族.第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/20231012．隨機(jī)過程的數(shù)字特征①為{X(t),tT}的均方值函數(shù).

為{X(t),tT}的方差函數(shù).

為{X(t),tT}的協(xié)方差函數(shù).

為{X(t),tT}的均值函數(shù).

②③④第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用⑤Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]為{X(t),tT}的自相關(guān)函數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù)2/3/2023102均值函數(shù)表示{X(t),t∈T}在各時刻擺動的中心；方差函數(shù)表示{X(t),t∈T}在各時刻關(guān)于均值函數(shù)的平均偏離程度；

Rx(s,t)，Cx(s,t)表示{X(t),t∈T}在兩個不同時刻狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用釋義：2/3/2023103第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023104第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023105

3.諸數(shù)字特征的關(guān)系第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用其中，最重要的數(shù)字特征是均值函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)。2/3/2023106例:設(shè)隨機(jī)過程

X(t)=Ycosωt+Zsinωt,t≥0,其中Y,Z是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(Y)=E(Z)=0,

D(Y)=D(Z)=2，求{X(t),t≥0}均值函數(shù)x(t)和自相關(guān)函數(shù)Rx(s,t)。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023107第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用解:

x(t)=E[X(t)]=E[Ycosωt+Zsinωt]

=cosωtE(Y)+sinωt

E(Z)=0,因?yàn)閅與Z相互獨(dú)立,于是

2/3/2023108第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用例2:考慮隨機(jī)過程

X(t)=acos(ωt+Θ),t(-∞,+∞)

其中a和ω是常數(shù)，Θ是在（0，2π）上服從均勻分布的

隨機(jī)變量，通常稱此隨機(jī)過程為隨機(jī)相位正弦波，求隨機(jī)

相位正弦波的均值函數(shù)、方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù).

2/3/2023109解:Θ的概率密度為于是第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023110例3:設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Y+Zt,tT=(-∞,+∞),其中Y，Z是相互獨(dú)立的服從N(0,1)的隨機(jī)變量，求{X(t),-∞<t<+∞}的一，二維概率密度。注：有限個相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023111解:tT，由正態(tài)分布的性質(zhì)知X(t)服從正態(tài)分布:

E[X(t)]=E(Y)+tE(Z)=0

D[X(t)]=D(Y)+t2

=1+t2

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用所以一維概率密度為

2/3/2023112又由正態(tài)分布的性質(zhì)知，對于任意s,t∈T，(X(s),X(t))服從二維正態(tài)分布而

E[X(s)]=E[X(t)]=0

D[X(s)]=1+s2

D[X(t)]=1+t2

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023113所以二維概率密度為

其中=X(t1,t2).

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023114四、二維隨機(jī)過程

1．定義：

X(t)、Y(t)為定義在同一樣本空間Ω和同一參數(shù)集T上的隨機(jī)過程，對于任意tT，

(X(t),Y(t))是二維隨機(jī)變量，則稱{(X(t),Y(t)),tT}為二維隨機(jī)過程。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/20231152．有限維分布函數(shù)和獨(dú)立性

(1){(X(t),Y(t)),tT}為二維隨機(jī)過程,對于任意的正整數(shù)n和m，以及任意的t1,t2,…,tn；t1,t2,…,tmT

，任意的x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym

R,稱n+m元函數(shù)F(x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym；t1,t2,…,tn；t1,t2,…,tm)

=P{X(t1)x1,…,

X(tn)xn；Y(t1)y1,…,Y(tm)ym}

為{(X(t),Y(t)),tT}的n+m維分布函數(shù)，類似的可定義有限維分布函數(shù)族。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023116（2）若對于任意的正整數(shù)n和m，以及任意的t1,t2,…,tn；

t1,t2,…,tmT，任意的x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym

R,有

F(x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym；t1,t2,…,tn；t1,t2,…,tm)

=FX{X(t1)x1,…,

X(tn)xn}

FY{Y(t1)y1,…,Y(tm)ym}第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用稱{X(t)}與{Y(t)}相互獨(dú)立，其中FX，F(xiàn)Y分別為{X(t)}，{Y(t)}的有限維分布函數(shù).2/3/20231173．二維隨機(jī)過程的數(shù)字特征(1)互相關(guān)函數(shù):稱RXY(s,t)=E[X(s)Y(t)]

為{(X(t),Y(t)),tT}的互相關(guān)函數(shù).

若對于任意的s,t∈T,RXY(s,t)=0,稱{X(t)}與{Y(t)}正交.

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023118(2)互協(xié)方差函數(shù)：

若對于任意的s,t∈T,有CXY(s,t)=0,稱{X(t)},{Y(t)}不相關(guān).若{X(t)},{Y(t)}相互獨(dú)立，且二階矩存在，則{X(t)},{Y(t)}不相關(guān).

稱為{(X(t),Y(t)),tT}的互協(xié)方差函數(shù).顯然第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023119例:設(shè)有兩個隨機(jī)過程X(t)=g1(t+)和Y(t)=g2(t+)，其中g(shù)1(t

)和g2(t)都是周期為L的周期函數(shù),是在(0,L)上服從均勻分布的隨機(jī)變量.求互相關(guān)函數(shù)RXY(s，t)的表達(dá)式.第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023120第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用令v=s+x,利用g1(t

)和g2(t)的周期性，有

解:

2/3/2023121例:設(shè)X(t)為信號過程,Y(t)為噪聲過程，令W(t)=X(t)+Y(t)，則

(1)W(t)的均值函數(shù)為W(t)=X(t)+Y(t).(2)其自相關(guān)函數(shù)為

RW(s,t)=E{[X(s)+Y(s)][X(t)+Y(t)]}=RX(s,t)+RXY(s,t)+RYX(s,t)+RY(s,t)

兩個隨機(jī)過程之和的自相關(guān)函數(shù)為各個隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與它們的互相關(guān)函數(shù)之和。若兩個隨機(jī)過程的均值函數(shù)均恒為零，且互不相關(guān)時，有

RW(s,t)=RX(s,t)+RY(s,t)第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023122五、各態(tài)歷經(jīng)性如果能對過程{X(t)}進(jìn)行多次重復(fù)觀察從而得到多條樣本曲線，用統(tǒng)計(jì)方法可以估計(jì)其均值及自相關(guān)函數(shù)在實(shí)際中,常用如下的方法確定μx及Rx()：

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023123由于所采用的極限(收斂)的標(biāo)準(zhǔn)不同得到的遍歷性定理也不同，關(guān)于平穩(wěn)過程的遍歷性主要有兩類：(1)對強(qiáng)平穩(wěn)過程在幾乎處處收斂的意義下的遍歷性定理；(2)對弱平穩(wěn)過程在均方收斂的意義下的遍歷性定理；

其中T充分大，X(t)是{X(t)}的一個樣本函數(shù)。

即：集平均（均值和自相關(guān)函數(shù)等）實(shí)際上可以用一個樣本函數(shù)在整個時間軸上的平均值代替。這樣節(jié)約了大量的工作量。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023124平穩(wěn)過程遍歷性的定義：首先引入平穩(wěn)過程{X(t)，-<t<+}沿整個時間軸上的兩種時間平均：設(shè){X(t)}為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，且對固定的，{X(t)X(t+)}也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程

時間相關(guān)函數(shù)：

時間均值：第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023125

1．定義(1).設(shè){X(t)}為平穩(wěn)過程，若<X(t)>=E[X(t)]=μx以概率1成立，稱{X(t)}的均值具有均方遍歷性。(2)．若對，<X(t)X(t+)>=E[X(t)X(t+)]=Rx()以概率1成立，稱{X(t)}的自相關(guān)函數(shù)具有均方遍歷性。(3)．若(1)、(2)均成立，則稱該過程具有均方遍歷性，或稱為遍歷過程。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023126均方收斂的定義：設(shè)有二階矩隨機(jī)序列｛Xn,n=1,2,…｝和隨機(jī)變量X,E(X2)<+,若有則稱｛Xn｝均方收斂于X,記作

均方極限的性質(zhì)

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023127均方連續(xù)

設(shè){X(t),tT}是隨機(jī)過程,若對某t0T,有

稱{X(t),tT}在t0均方連續(xù)，若對任意tT，{X(t),tT}均方連續(xù)，稱{X(t),tT}在T上均方連續(xù)。記為

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023128解：此過程為平穩(wěn)過程即：用時間平均和集平均算得的均值和自相關(guān)函數(shù)相同。但并不是任意一個平穩(wěn)過程都是具有遍歷性的。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用例：計(jì)算隨機(jī)相位正弦波

X(t)=acos(t+)=a[costcos-sintsin]的時間平均<X(t)>和<X(t)X(t+)>.

2/3/2023129

事實(shí)上，<X(t)>=<Y>=

=Y.

即：時間均值隨Y取不同的可能值而不同。

因Y的方差異于0，這樣<X(t)>就不可能以概率1等于確定函數(shù)E[X(t)]=E[Y]。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用例如：平穩(wěn)過程X(t)=Y，Y是方差異于0的隨機(jī)變量，就不是遍歷的。2/3/2023130

平穩(wěn)過程遍歷性的充要條件(均值遍歷性定理)：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t)關(guān)于均值具有遍歷性

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023131證明：由遍歷性定義，只須證：

與上式等價(jià)（方差為零）。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023132第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用其中，令

，則

2/3/2023133第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023134推論1.均方連續(xù)的平穩(wěn)過程關(guān)于均值具有遍歷性

推論2.均方連續(xù)的平穩(wěn)過程{X(t)}，

若滿足，則它關(guān)于平均值具有均

方遍歷性X=0。

證：因?yàn)?/p>

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/20231352．(自相關(guān)函數(shù)遍歷性定理)

均方連續(xù)的平穩(wěn)過程{X(t)}，且對給定,{X(t)X(t+)}也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則{X(t)}關(guān)于自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性

令=0，即得均方值遍歷性定理。在實(shí)際問題中，通常只考慮定義在0≤t<+∞上的平穩(wěn)過程，此時上兩定理所有時間平均應(yīng)以0≤t<+∞上的平均代替，相應(yīng)的各態(tài)歷經(jīng)性如下：第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023136

1.{X(t)}關(guān)于均值具有遍歷性

2.{X(t)}關(guān)于自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023137說明：各態(tài)歷經(jīng)性定理的重要價(jià)值在于它從理論上給出了如下保證：

一個平穩(wěn)過程X(t)，只要滿足上述兩條件，便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義，從一次試驗(yàn)所得到的樣本函數(shù)x(t)來確定該過程的均值和自相關(guān)函數(shù)。即：第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023138六、幾類隨機(jī)過程第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用（一）平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程弱平穩(wěn)隨機(jī)過程2/3/2023139嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程1．定義：設(shè){X(t),tT}是隨機(jī)過程,如果對于任意的常數(shù)h和任意正整數(shù)n,及任意的n維隨機(jī)向量(X(t1),X(t2),…,X(tn))和(X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))具有相同的分布,則稱隨機(jī)過程{X(t),tT}具有平穩(wěn)性,并同時稱此過程為嚴(yán)平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程的參數(shù)集T,一般為(-,+),0,+,

{0,1,2,…},{0,1,2,…},以下如無特殊說明，均認(rèn)為參數(shù)集T=(-,+).當(dāng)定義在離散參數(shù)集上時,也稱過程為嚴(yán)平穩(wěn)時間序列。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023140例：

設(shè){Xn,n1}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且

XnU(0,1),n=1,2,…,

討論{Xn,n1}是否為嚴(yán)平穩(wěn)時間序列

并求E(Xn)與E(Xn

Xm),n、m=1,2,….第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023141解：設(shè)U(0,1)的分布函數(shù)為F(x),則對任意的正整數(shù)k,任意0<n1

<n2<…<nk,及的分布函數(shù)均為可見，滿足定義條件，故{Xn,n0}是嚴(yán)平穩(wěn)時間序列。因?yàn)閄nU(0,1)，且相互獨(dú)立，所以E(Xn)=1/2，第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/20231422．嚴(yán)平穩(wěn)過程的數(shù)字特征定理如果{X(t),tT}是嚴(yán)平穩(wěn)過程，且對任意的tT，

E[X2(t)]<+（二階矩過程）,則有

(1)E[X(t)]=常數(shù)，tT；

(2)E[X(s)X(t)]只依賴于t-s,而與s,tT的具體取值無關(guān)。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023143證：(1)由Cauchy-Schwarze不等式

{E[X(t)]}2E[X2(t)]<+,

所以E[X(t)]存在。在嚴(yán)平穩(wěn)過程的定義中，令h=-s,由定義X(s)與X(0)同分布，所以E[X(t)]=E[X(0)]為常數(shù)。一般記為X.第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023144(2)由Cauchy-Schwarze不等式

{E[X(s)X(t)]}2

E[X2(s)]E[X2(t)]<+,

所以E[X(s)X(t)]存在。在嚴(yán)平穩(wěn)過程的定義中，令h=-s,由定義(X(s),X(t))與(X(0),X(t-s))同分布，即有E[X(s)X(t)]=E[X(0)X(t-s)],即Rx(t,t+)=E[X(0)X()]=Rx()

所以，Rx(s,t)只依賴于t-s,而與s,tT的具體取值無關(guān)。進(jìn)而，Cx()=E{[X(t)-x][X(t+)-x]}=Rx()-x2只與有關(guān)；

x2=Cx

(0)=Rx(0)-x2為常數(shù).第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023145(弱)平穩(wěn)過程1．定義

設(shè){X(t),tT}是二階矩過程(E[X2(t)]<+),如果

(1)E[X(t)]=x(常數(shù))，tT；

(2)對任意的t,t+T,Rx()=E[X(t)X(t+)]只依賴于。

則稱{X(t),tT}為寬平穩(wěn)過程,簡稱為平穩(wěn)過程.第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023146特別地，當(dāng)T為離散參數(shù)集時，若隨機(jī)序列{Xn(t)}滿足E(Xn2)<+,以及

(1)E[Xn]=X(常數(shù))，nT；

(2)R

X(m)=E[XnXn+m]只與m有關(guān)。稱{Xn}為寬平穩(wěn)隨機(jī)序列或?qū)捚椒€(wěn)時間序列。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/20231472．嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關(guān)系(1)．嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程,因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)的過程不一定是二階矩過程,但當(dāng)嚴(yán)平穩(wěn)過程是二階矩過程時,則它一定是寬平穩(wěn)過程。(2)．寬平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程,但對于正態(tài)過程,兩者是等價(jià)的。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023148證明：“”因正態(tài)過程是二階矩過程，由嚴(yán)平穩(wěn)過程性質(zhì)，顯然成立?！啊庇梢阎害蘕(t)=μX，Rx(t,t+)只與有關(guān)。由嚴(yán)平穩(wěn)過程定義，對任意的正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tnT,t1+h,t2+h,…,tn+hT,要證：（X(t1),X(t2),…,X(tn)）與（X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h)）同分布（*）。而正態(tài)過程的分布由μX及CX(s,t)決定，μX為常數(shù)。即(*)式成立。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023149（二）獨(dú)立增量過程1．定義

設(shè){X(t),t0}為一隨機(jī)過程,對于0s<t,稱隨機(jī)變量X(t)-X(s)為隨機(jī)過程在區(qū)間[s,t]上的增量.

若對于任意的正整數(shù)n及任意的0t0<t1<t2<…<tn,n個增量

X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)相互獨(dú)立，稱{X(t),t0}為獨(dú)立增量過程。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023150第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用

若對于任意的實(shí)數(shù)s,t和0s+h＜t+h,X(t+h)－X(s+h)與X(t)－X(s)具有相同的分布,則稱增量具有平穩(wěn)性,并稱相應(yīng)的獨(dú)立增量過程為齊次的或時齊的。

2/3/20231512．獨(dú)立增量過程的性質(zhì)

(1)獨(dú)立增量過程{X(t),t

0}在X(0)=0的條件下,{X(t)}的有限維分布函數(shù)可以由增量X(t)-X(s)，0s＜t的分布確定.第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023152證：令Yk=

X(tk

)-X(tk-1

),k=1,2,…,n.t0=0.

由條件，增量的分布已知，且具有獨(dú)立增量，則Y1,Y2,…,Yn的聯(lián)合分布即可確定，而X(t1)=Y1，

X(t2)

=Y1+Y2，

……

X(tn)

=Y1+Y2+……+

Yn，即X(tk)

是Y1，…Yn的線性函數(shù)，Y1,Y2,…,Yn的聯(lián)合分布確定了{(lán)X(t)}的有限維分布函數(shù)。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023153(2)獨(dú)立增量過程{X(t),t

0}在X(0)=0的條件下,{X(t)}的協(xié)

方差函數(shù)為

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023154第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用證明:記Y(t)=X(t)-X(t),當(dāng)X(t)具有獨(dú)立增量時，Y(t)也具有獨(dú)立增量；且Y(0)=0,E[Y(t)]=0,DY(t)=E[Y2(t)].所以，當(dāng)0s＜t時，有

2/3/2023155于是可知對于任意的s,t≧0,協(xié)方差函數(shù)可表示為：

同理，當(dāng)0t＜s時，有第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/20231561．維納過程的定義給定二階矩過程{W(t),t≥0}，如果它滿足

(1)具有平穩(wěn)的獨(dú)立增量；

(2)對任意的t>s≥0，W(t)-W(s)服從正態(tài)分布N(0,2(t-s))；

(3)W(0)=0.

(三)維納過程

則稱此過程為維納過程，下圖展示了它的一條樣本曲線。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/20231572/3/20231582．維納過程的性質(zhì)(1).

維納過程{W(t)，t≥0}為正態(tài)過程(每一個有限維分布均為正態(tài)分布)。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023159它是獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和，所以它是正態(tài)隨機(jī)變量，由正態(tài)分布的性質(zhì)知(W(t1)，W(t2)，…，W(tn))服從n維正態(tài)分布，因此W(t)為正態(tài)過程。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用證明:對于任意正整數(shù)n和任意時刻t1,t2,…,tn(0≤t1<t2<…<tn)以及任意實(shí)數(shù)u1，u2，…，un，記

2/3/2023160

(2).維納過程的均值函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)分別為

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023161（四）馬爾科夫過程

直觀上，過程（或系統(tǒng)）在時刻t0所處的狀態(tài)為已知的條件下,過程在時刻t＞t0所處狀態(tài)的條件分布與過程在時刻t0之前所處的狀態(tài)無關(guān)。

用分布函數(shù)表達(dá)此性質(zhì)，設(shè)隨機(jī)過程{X(t),tT}，狀態(tài)空間為，若對于t

的任意n個值t1<t2<…<tn,n3,

有

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023162則稱過程{X(t),tT}具有馬爾可夫性，或稱{X(t),tT}為馬爾可夫過程。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023163狀態(tài)和時間參數(shù)都是離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈，或馬氏鏈。記為｛Xn=X(n),n=0,1，2，…｝,記鏈的狀態(tài)空間為＝a1，a2，…，aiR

.在鏈的情況，馬爾可夫性通常用分布率表示。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023164其中a.,稱｛Xn,n=0,1，2，…｝為馬氏鏈。稱為馬氏鏈在時刻m系統(tǒng)處于狀態(tài)ai的條件下，在時刻m+n轉(zhuǎn)移到狀態(tài)aj的轉(zhuǎn)移概率。定義1

若對于任意的正整數(shù)n，r和任意的

1.馬氏鏈的定義第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023165則稱｛Xn,n0｝為馬氏鏈。

定義2設(shè){Xn,n0},其狀態(tài)空間為,若對于任意的正整數(shù)n和任意的,第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023166例.記第m次從數(shù)1,2,…,N中任取一數(shù)為Ym，當(dāng)n1時，記從數(shù)1,2,…,Yn-1中任取一數(shù)為Xn,證明｛Xn,n=0，1，2,…｝是一個馬氏鏈。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023167證：｛Xn,n=0，1，2,…｝的狀態(tài)空間={i,1iN},可見,｛Xn,n=0，1，2,…｝是一個馬氏鏈。

第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/20231682．轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì)

(1)

Pij0；

事實(shí)上，因?yàn)殒溤趍時刻從狀態(tài)ai出發(fā)，到m+n時刻

必然轉(zhuǎn)移到a1，a2，狀態(tài)中的一個，從而第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023169（五）更新過程第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023170在更新過程中將事件發(fā)生一次叫做一次更新，從定義可知，Xn就是第n-1次和第n次更新相距的時間，Tn是第n次更新發(fā)生的時刻，而N(t)就是t時刻之前發(fā)生的總的更新次數(shù)。第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023171（六）鞅過程第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023172第三節(jié)隨機(jī)過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用2/3/2023173THANKYOU!THEＥND2/3/2023174第二章金融市場第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)

第二節(jié)遠(yuǎn)期

第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品

第四節(jié)期貨合約定價(jià)

第五節(jié)債券市場

第六節(jié)利率期貨

第七節(jié)利率理論

第八節(jié)外匯2/3/2023175第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)一、金融市場金融市場是指資金供求雙方運(yùn)用各種金融工具，通過各種途徑實(shí)現(xiàn)貨幣借貸和資金融通的交易活動的總稱。其含義有廣義和狹義之分。廣義是指金融機(jī)構(gòu)與客戶之間、各金融機(jī)構(gòu)之間、客戶與客戶之間所有以資金商品為交易對象的金融交易，包括存款、貸款、信托、租賃、保險(xiǎn)、票據(jù)抵押與貼現(xiàn)、股票債券買賣等全部金融活動。狹義則一般限定在以票據(jù)和有價(jià)證券為交易對象的融資活動范圍之內(nèi)。2/3/2023176金融市場運(yùn)作流程圖直接金融工具直接金融工具貨幣資金貨幣資金

貨幣資金貨幣資金間接金融工具間接金融工具資金盈余部門直接融資資金不足部門間接融資第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)2/3/2023177第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)