廣東省中山市2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題(二模)

廣東省中山市2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．1.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．3B．C．5D．2．在△ABC中，已知b＝4，c＝2，∠A＝120°，則（）A．2

B．6

C．2或6

D．23．設(shè)a＞1＞b＞0，則下列不等式中正確的是（A）(-a)7＜(-a)9（B）b-9＜b-7（C）（D）4.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為則拋物線的方程是()A.B.C.D. 5．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（A）若且，則（第6題圖）正（第6題圖）正視圖側(cè)視圖俯視圖2221（C）若且，則（D）若且，則6．已知某錐體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該錐體的體積為（A）2（B）4（C）6（D）87．的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（A）48（B）﹣48（C）112（D）﹣1128．袋子里有3顆白球，4顆黑球，5顆紅球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一個(gè)球，抽取后不放回．若每顆球被抽到的機(jī)會(huì)均等，則甲、乙、丙三人所得之球顏色互異的概率是（A）（B）（C）（D）二．填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答．9．已知復(fù)數(shù)z滿足=i（其中i是虛數(shù)單位），則．10．設(shè)，其中實(shí)數(shù)滿足且，則的取值范圍是．11．已知拋物線上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰是方程的兩個(gè)實(shí)根，則直線的方程是．12．口袋中裝有大小質(zhì)地都相同、編號(hào)為1，2，3，4，5，6的球各一只．現(xiàn)從中一次性隨機(jī)地取出兩個(gè)球，設(shè)取出的兩球中較小的編號(hào)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是．13．在△ABC中，∠C=90，點(diǎn)M滿足，則sin∠BAM的最大值是．（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題．14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若直線的極坐標(biāo)方程為，曲線：上的點(diǎn)到直線的距離為，則的最大值為.15.(幾何證明選講選做題)如圖圓的直徑,是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,連接,若,則.三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分13分)在某校高三學(xué)生的數(shù)學(xué)校本課程選課過程中，規(guī)定每位同學(xué)只能選一個(gè)科目。已知某班第一小組與第二小組各有六位同學(xué)選擇科目甲或科目乙，情況如下表：科目甲科目乙總計(jì)第一小組156第二小組246總計(jì)3912現(xiàn)從第一小組、第二小組中各任選2人分析選課情況.（1）求選出的4人均選科目乙的概率；（2）設(shè)為選出的4個(gè)人中選科目甲的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（本題滿分14分）如圖所示，⊥平面，PABCDM（第20題圖）△為等邊三角形，，PABCDM（第20題圖）為中點(diǎn)．（=1\*ROMANI）證明：∥平面；（=2\*ROMANII）若與平面所成角的正切值為，求二面角--的正切值．19．（本小題滿分14分）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且SKIPIF1<0．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（=1\*ROMANI）求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；（=2\*ROMANII）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．OFACBDxy（第20題圖）20．（本題滿分14分）已知橢圓Γ：的離心率為，其右焦點(diǎn)與橢圓Γ的左頂點(diǎn)的距離是3．兩條直線交于點(diǎn)，其斜率滿足．設(shè)交橢圓Γ于A、C兩點(diǎn)，交橢圓ΓOFACBDxy（第20題圖）（=1\*ROMANI）求橢圓Γ的方程；（=2\*ROMANII）寫出線段的長(zhǎng)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求四邊形面積的最大值．21．（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若，求函數(shù)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；16．（本題滿分14分）解：（Ⅰ）由，得，……1分又，代入得，由，得，……3分，………5分得，……7分（Ⅱ），……9分，，則……11分……14分17.（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)“從第一小組選出的2人選科目乙”為事件，“從第二小組選出的2人選科目乙””為事件.由于事件、相互獨(dú)立，且,.………………4分所以選出的4人均選科目乙的概率為……………6分（2）設(shè)可能的取值為0,1,2,3.得,,，…9分的分布列為∴的數(shù)學(xué)期望…………13分（19）（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）由題意，，得．…………3分，，，兩式相減，得數(shù)列為等比數(shù)列，．…………7分（Ⅱ）．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=．……………10分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（法一）為偶數(shù)，……………13分（法二）．……………13分……………14分18．（本題滿分15分）解：（Ⅰ）證明：因?yàn)镸為等邊△ABC的AC邊的中點(diǎn)，所以BM⊥AC．依題意CD⊥AC，且A、B、C、D四點(diǎn)共面，所以BM∥CD．…………3分又因?yàn)锽M平面PCD，CD平面PCD，所以BM∥平面PCD．…………5分PABCDM（第18題圖）FE（Ⅱ）因?yàn)镻ABCDM（第18題圖）FE所以CD⊥平面PAC，故PD與平面PAC所成的角即為∠CPD．……………7分不妨設(shè)PA=AB=1，則PC=．由于，所以CD=．……………9分（方法一）在等腰Rt△PAC中，過點(diǎn)M作ME⊥PC于點(diǎn)E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于點(diǎn)F．因?yàn)镸E⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．又EF⊥PD，所以∠EFM即為二面角C-PD-M的平面角．……………12分易知PE=3EC，ME=，EF=，PABCDM（第18題圖）PABCDM（第18題圖）xyz即二面角C-PD-M的正切值是．……………15分（方法二）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．則P（0,0,1），M（），C（1,0,0），D．則，，．若設(shè)和分別是平面PCD和平面PMD的法向量，則，可?。桑扇。?2分所以，故二面角C-PD-M的余弦值是，其正切值是．……………15分21．（本題滿分14分）解：（Ⅰ）設(shè)右焦點(diǎn)（其中），依題意，，所以．……………3分所以，故橢圓Γ的方程是．……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)（1,0）．將通過焦點(diǎn)F的直線方程代入橢圓Γ的方程，可得，其判別式．特別地，對(duì)于直線，若設(shè)，則，.………………10分又設(shè)，由于B、D位于直線的異側(cè)，所以與異號(hào)．因此B、D到直線的距離之和21．（本小題滿分14分）解:(1)，……………1分依題設(shè)，有，即，……………2分解得……………3分．……………4分(2)方程，即，得，………5分記，則.……6分令，得………7分當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：∴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)取極小值；當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)取極大值…………8分作出直線和函數(shù)的大致圖象，可知當(dāng)或時(shí)，它們有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，………9分(3),得，又。，．…10分由，得，………11分，即………12分又………13分即，故的整數(shù)部分為．…………l4分．………12分綜合可得，四邊形ABCD的面積．因?yàn)椋?，于是?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，四邊形