【教案】余弦定理、正弦定理第2課時教學設(shè)計-2022-2023學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

9/9§6.4.3余弦定理、正弦定理(第2課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：正弦定理．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學人教A版必修2第六章第4節(jié)的內(nèi)容．本節(jié)課主要學習正弦定理，用正弦定理來解三角形.《正弦定理》是三角形理論中的一個重要內(nèi)容,與初中學習的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系.在此之前,學生已經(jīng)學習過了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)、余弦定理,知識儲備已足夠.它是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù),也是解決實際生活中許多測量問題的工具.因此熟練掌握正弦定理能為接下來學習解三角形打下堅實基礎(chǔ),并能在實際應(yīng)用中靈活變通.二、目標和目標解析目標：（1）能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系并掌握正弦定理，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．（2）能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．目標解析：（1）用向量的方法證明正弦定理，或者其他方法證明，在證明中培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，特別是外接圓法和分類討論的方法，推導(dǎo)出比值為外接圓直徑和三角形的面積公式．（2）結(jié)合正弦定理的結(jié)構(gòu)特點可以發(fā)現(xiàn)正弦定理的變形形式比較多，拆分式、連比式、分體式，每種形式都有著廣泛的應(yīng)用，這也為學生選擇合適的形式解決問題增加了難度．（3）數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教學的重要目標，但數(shù)學核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機會去落實．在正弦定理的教學中，從特殊的三角形的邊角特點即勾股定理歸納概括一般三角形的特點是進行數(shù)學抽象教學的很好機會．基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題．三、教學問題診斷分析1．教學問題一：怎樣證明正弦定理是本節(jié)課的第一個教學問題．是本節(jié)課的重點．解決方案：利用向量法證明，體現(xiàn)向量的工具作用，關(guān)鍵在于闡明“過點A作與垂直的單位向量j”的思維過程．2．教學問題二：利用正弦定理解決解三角形的問題是本節(jié)的第二個教學問題．．解決方案：類比全等三角形的證明條件，說明方程解得個數(shù)，根據(jù)大邊對大角或內(nèi)角和為π進行解得個數(shù)的取舍，從而解決問題．基于上述情況，本節(jié)課的教學難點定為：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明．四、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示．為了讓學生通過觀察、歸納得到正弦定理，應(yīng)該為學生創(chuàng)造積極探究的平臺．因此，在教學過程中通過學生分組探究，合作交流的教學方式，可以讓學生從被動學習狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學習狀態(tài)中來．在教學設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學．問題的設(shè)置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點．在教學過程中，重視正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學生體會到從特殊到一般是數(shù)學抽象的基本過程，同時，定理的證明與定理的應(yīng)用其實就是數(shù)學模型的建立與應(yīng)用的典范．因此，本節(jié)課的教學是實施數(shù)學具體內(nèi)容的教學與核心素養(yǎng)教學有機結(jié)合的嘗試．五、教學過程與設(shè)計教學環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境生成問題古埃及時代，尼羅河經(jīng)常泛濫，古埃及人為了研究尼羅河水運行的規(guī)律，準備測量各種數(shù)據(jù).當尼羅河漲水時，古埃及人想測量某處河面的寬度(如圖)，如果古埃及人通過測量得到了AB的長度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的寬度CD.古埃及人是如何利用這些數(shù)據(jù)計算的呢？通過實際問題，激發(fā)學生的研究興趣探索交流獲得結(jié)論[問題1]如圖，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)各自等于什么？[問題2]對于一般的三角形，仍然成立嗎？[問題3]這個比值是多少？如何求解？[問題4]利用正弦定理可以解決一些怎么樣的解三角形問題呢？[問題5]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C對嗎？教師1：提出問題1．學生1：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c．教師2：提出問題2．學生2：分銳角三角形、鈍角三角形證明.（1）在銳角三角形中.過點A作單位向量垂直于.由，兩邊同乘以單位向量得，，則，所以整理得同理，過點C作與垂直的單位向量，可得所以.（2）在鈍角三角形中，不妨設(shè)A為鈍角，如圖.過點A作與垂直的單位向量.同理可得.教師3：總結(jié)正弦定理．(1)文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，（2）符號語言：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).教師4：提出問題3.學生3：該比值為該三角形外接圓的直徑.作銳角三角形ABC的外接圓直徑CD，連結(jié)DB．根據(jù)同弧所對的圓周角相等及直徑所對的圓周角是直角得，∠A=∠D,∠DBC=90°,（為⊿ABC的外接圓半徑）．所以，所以．同理．因此．師生共同總結(jié)：正弦定理的變形形式設(shè)三角形的三邊長分別為a，b，c，外接圓半徑為R，正弦定理有如下變形：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).教師5：提出問題4．學生4：正弦定理可用于兩類：（1）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊與另一角；（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，計算其他的角與邊.教師6：提出問題5．學生5：不對.根據(jù)正弦定理，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.所以a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.通過探究，由直角三角形得一結(jié)論，提高學生的解決問題、分析問題的能力.通過思考，分析在銳角三角形、鈍角三角形該式子成立，得正弦定理.提高學生分析問題、概括能力.通過思考，進一步理解正弦定理的運用，提高學生分析問題的能力.典例分析鞏固落實1.已知兩角及一邊解三角形例1.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.2.已知兩邊及一邊的對角解三角形例2.在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，求A，C和c.3.判斷三角形形狀例3.已知在△ABC中，bsinB＝csinC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．[課堂練習]1.已知在△ABC中，A＝45°，c＝eq\r(6)，a＝2，解此三角形.2.(1)若acosB＝bcosA，則△ABC是________三角形；(2)若acosA＝bcosB，則△ABC是________三角形.教師7：完成例1.學生6：根據(jù)正弦定理，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.所以b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2)).教師8：完成例2．學生7：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，知sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2)，∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.當A＝60°時，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；當A＝120°時，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).故當A＝60°時，C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；當A＝120°時，C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).教師9：完成例3．學生8：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R得sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).∵bsinB＝csinC，∴b·eq\f(b,2R)＝c·eq\f(c,2R)，∴b2＝c2，∴b＝c.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(eq\f(a,2R))2＝(eq\f(b,2R))2＋(eq\f(c,2R))2，∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，∴△ABC為等腰直角三角形．教師10：布置課堂練習1、2．學生9：完成課堂練習，并核對答案．通過例題的講解，讓學生進一步理解正弦定理，提高學生解決與分析問題的能力.課堂小結(jié)升華認知[問題6]通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？[課后練習]1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，則sinB＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(5,9)C.eq\f(\r(5),3)D.12.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq\r(2)，則AC＝()A.4eq\r(3)B.2eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)3.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，則△ABC是(