第七章應(yīng)力狀態(tài)及強度理論

材料力學中國地質(zhì)大學工程學院力學課部

石奎§9–１應(yīng)力狀態(tài)的概念一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？PP鑄鐵拉伸

P鑄鐵壓縮M鑄鐵低碳鋼2、組合變形桿將怎樣破壞？MP三、單元體：單元體——構(gòu)件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。

單元體的性質(zhì)——a、每個平面上應(yīng)力均勻分布；

b、任一平行平面上應(yīng)力相等。二、一點的應(yīng)力狀態(tài)：

過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點的應(yīng)力狀態(tài)。xyz四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

五、剪應(yīng)力互等定理:

過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個面上的這兩個剪應(yīng)力分量一定等值、方向相對或相離。xyztzx六、原始單元體（已知單元體）：例1

畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx七、主單元體、主面、主應(yīng)力：主單元體(Principalbidy)：

各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。主平面(PrincipalPlane)：

剪應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(PrincipalStress

）：

主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，單向應(yīng)力狀態(tài)：

一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

平面應(yīng)力狀態(tài)（二向應(yīng)力狀態(tài)）：

一個主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)?？臻g應(yīng)力狀態(tài)(三向應(yīng)力狀態(tài))

：

三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz研究桿件受力后各點處，特別是危險點處的應(yīng)力狀態(tài)可以：

1.

了解材料發(fā)生破壞的力學上的原因，例如：低碳鋼拉伸時的屈服(yield)現(xiàn)象是由于在切應(yīng)力最大的45?

斜截面上材料發(fā)生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉(zhuǎn)破壞是由于在45?

方向拉應(yīng)力最大從而使材料發(fā)生斷裂(fracture)所致。

2.

在不可能總是通過實驗測定材料極限應(yīng)力的復雜應(yīng)力狀態(tài)下，如圖所示,應(yīng)力狀態(tài)分析是建立關(guān)于材料破壞規(guī)律的假設(shè)(稱為強度理論)(theoryofstrength,failurecriterion)的基礎(chǔ)?！?–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO左上圖中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法線n與x軸的夾角a定義。一、任意斜截面上的應(yīng)力規(guī)定：

截面外法線同向為正；ta使研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；a逆時針為正。sxxytxysyOefsytyxsxsataaxyOtnefbtxy設(shè)：斜截面ef的面積為dA，則體元左側(cè)面eb的面積為dA·cosa，而底面bf

的面積為dA·sina，由分離體平衡得：

sytyxsxsataaxyOtnefbtxyxysxtxysyO考慮剪應(yīng)力互等和三角變換，得：同理：sytyxsxsataaxyOtnefbtxy二、極值應(yīng)力xysxtxysyO′′xysxtxysyO在剪應(yīng)力相對的項限內(nèi)，且偏向于x

及y大的一側(cè)。222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

￠

￠）（試求（1）斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題1：一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知解：（1）斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力、主平面主平面的方位：代入表達式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）主應(yīng)力單元體：例2

分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應(yīng)力txyCtyxMCxyOtxytyx破壞分析低碳鋼鑄鐵討論低碳鋼和鑄鐵的破壞！§9–3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法對上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（

StressCircle）xysxtxysyO此方程曲線為圓—應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）sytyxsxsataaxyOtnefbtxy建立應(yīng)力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法在坐標系內(nèi)畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(，)

應(yīng)力圓上一點(，)面的法線應(yīng)力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。四、在應(yīng)力圓上標出極值應(yīng)力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3例:用應(yīng)力圓法求：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力；2)主應(yīng)力及其方位；3)極值剪應(yīng)力。403020單位：MPaxasatasOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o40.3-40.3例3

求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)解：主應(yīng)力坐標系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓AB

120s3s1s2BAC2

0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內(nèi)畫出點s3s1s2BAC20sata(MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖

102AB解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO§9–4三向應(yīng)力狀態(tài)研究——應(yīng)力圓法s2s1xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)例如圖a中所示垂直于主應(yīng)力s3所在平面的斜截面，其上的應(yīng)力由圖b所示分離體可知，它們與s3無關(guān)，因而顯示這類斜截面上應(yīng)力的點必落在以s1和s2作出的應(yīng)力圓上(參見圖c)。(b)(c)221112s3s2s2s1s1s3s1s2s3C1C3s1s2t12t23t13C2s3Otss2s1xyzs3彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。圖a圖b整個單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為：tmaxs2s1xyzs3應(yīng)變分量的正負為了與應(yīng)力分量的正負相一致，規(guī)定：

1、線應(yīng)變：

ex,ey,ez以伸長變形為正，

2、切應(yīng)變：

gxy,gyz,gzx以使單元體的直角∠xoy,∠yoz,∠zox減小為正?！?–5復雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系

——（廣義虎克定律）本節(jié)討論在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系。一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzsxxyz

x

y三、復雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系:方向一致s1s3s2主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致?主應(yīng)變：指一點處各方位線應(yīng)變中的最大與最小值。五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系體積應(yīng)變：體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系:s1s3s2a1a2a3例

已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點處的平面應(yīng)力狀態(tài)。變形比能（討論線彈性情況）在三向應(yīng)力狀態(tài)下，彈性變形能仍等于外力的功，且只取決于外力和變形的最終值，與中間過程無關(guān)。變形比能u：單位體積的變形能在單向拉伸情況下，力從

0

F，變形由

0

DL，變形能(外力所做的功)

：U=FDL/2。

F-DL曲線DLFFDL/2§9－6復雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能可假定三個主應(yīng)力按比例同時從零增加到最終值，則彈性變形比能u可寫為：利用廣義虎克定理，有：類似有：體積改變比能和形狀改變比能

變形比能形狀改變比能體積改變比能得到變形比能為：三向等拉的情況

只有體積改變由上式有：231圖a

mmm圖b2

31-

m-m-m圖c形狀改變比能(一般情況)為：231圖a

mmm圖b2

31-

m-m-m圖c體積應(yīng)變：Ａ13例用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關(guān)系。、純剪單元體的比能為：、純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：一、引子：§9–7強度理論及相當應(yīng)力1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP低碳鋼（拉壓）（彎曲）（正應(yīng)力強度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應(yīng)力強度條件）1.桿件基本變形下的強度條件滿足是否強度就沒有問題了？強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。

為了建立復雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計算方法。構(gòu)件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式

(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生突然斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于斷裂的強度理論：①最大拉應(yīng)力理論②最大伸長線應(yīng)變理論

(2)塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。③最大切應(yīng)力理論④形狀改變比能理論關(guān)于屈服的強度理論:

二、四個強度理論Ⅰ.最大拉應(yīng)力（第一強度）理論：認為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當最大拉應(yīng)力達到單向拉伸的強度極限時，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。

Ⅱ.最大伸長線應(yīng)變（第二強度）理論：

認為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當最大伸長線應(yīng)變達到單向拉伸試驗下的極限應(yīng)變時，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。此理論對于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合。Ⅲ.最大剪應(yīng)力（第三強度）理論：認為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當最大剪應(yīng)力達到單向拉伸試驗的極限剪應(yīng)力時，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。未考慮的影響，試驗證實最大影響達15%；不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。Ⅳ.形狀改變比能（第四強度）理論：認為構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的。當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時形狀改變比能時，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。比第三強度理論更符合試驗結(jié)果。三、相當應(yīng)力：（強度準則的統(tǒng)一形式）。其中，

*—相當應(yīng)力?！?–9強度理論的應(yīng)用一、強度計算的步驟：1、外力分析：確定所有的外力值。2、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險面。3、應(yīng)力分析：畫危面應(yīng)力分布圖，確定危險點并畫出單元體，求主應(yīng)力。4、強度分析：選擇適當?shù)膹姸壤碚?，計算相當?yīng)力，然后進行強度計算。二、強度理論的選用原則：依破壞形式而定。①當最小主應(yīng)力大于等于零時，使用第一理論；②當最小主應(yīng)力小于零而最大主應(yīng)力大于零時，使用莫爾理論。③當最大主應(yīng)力小于等于零時，使用第三或第四理論。1、脆性材料：3、簡單變形時：2、塑性材料：4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關(guān)！其它應(yīng)力狀態(tài)時，使用第三或第四理論。當最小主應(yīng)力大于等于零時，使用第一理論；一律用與其對應(yīng)的強度準則。如扭轉(zhuǎn)，都用：解：危險點A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例1

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖，T=7kNm，P=50kN,為鑄鐵構(gòu)件，[]=40MPa，試用第一強度理論校核桿的強度。PPTTAA故，安全。APPTT例2

薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時,測得x=1.8810-4，y=7.3710-4，已知鋼的E=210GPa，[]=170MPa，泊松比=0.3，試用第三強度理論校核其強度。解：由廣義虎克定律得:AsxsyxyAAsxsyxyA所以，此容器不滿足第三強度理論。不安全。一、組合變形：在復雜外載作用下，構(gòu)件的變形會包含幾種簡單變形，當幾種變形所對應(yīng)的應(yīng)力屬同一量基時，不能忽略之，這類構(gòu)件的變形稱為組合變形。§8-１概述ＭPR組合變形

gh組合變形組合變形一、組合變形的研究方法——疊加原理:①、外力分析：外力向形心(后彎心)簡化并沿主慣性軸分解②、內(nèi)力分析：求每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險面。③、應(yīng)力分析：畫危險面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險點的強度條件。二、連接件的實用計算連接件：鉚釘、螺栓、鍵、榫頭等起連接作用的部件。F螺栓、鉚釘鍵榫頭、焊接

工程計算中常按連接件和構(gòu)件在連接處可能產(chǎn)生的破壞情況，作一些簡化的計算假設(shè)（例如認為螺栓和鉚釘?shù)氖芗裘嫔锨袘?yīng)力均勻分布）得出名義應(yīng)力（nominalstress）,然后與根據(jù)在相同或類似變形情況下的破壞試驗結(jié)果所確定的相應(yīng)許用應(yīng)力比較，從而進行強度計算。這就是所謂工程實用計算法（engineeringmethodofpracticalanalysis）。§8-2

雙對稱截面梁在兩個相互垂直平面內(nèi)的彎曲具有雙對稱截面的梁，它在任何一個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲時均為平面彎曲。故具有雙對稱截面的梁在兩個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)同時承受橫向外力作用時，在線性彈性且小變形情況下，可以分別按平面彎曲計算每一彎曲情況下橫截面上的應(yīng)力和位移，然后疊加。圖示懸臂梁x截面上的彎矩和任意點C處的正應(yīng)力為：由于水平外力F1

由于豎直外力F2彎曲正應(yīng)力彎矩My(x)=F1x

Mz(x)=F2(x-a)這里彎矩的正負號系根據(jù)圖b所示，由右手螺旋法則按它們的矢量其指向是否與y軸和z軸的指向一致來確定的。在F1和F2共同作用下x截面上C點處的正應(yīng)力為利用上式固然可求算x截面上任意點處的彎曲正應(yīng)力，但對于圖中所示那類橫截面沒有外棱角的梁，由于My單獨作用下最大正應(yīng)力的作用點和Mz

單獨作用下最大正應(yīng)力的作用點不相重合，所以還不好判定在My和Mz共同作用下最大正應(yīng)力的作用點及其值。

注意到在F1作用下x截面繞中性軸y轉(zhuǎn)動，在F2作用下x截面繞中性軸z轉(zhuǎn)動,可見在F1和F2共同作用下，x截面必定繞通過y軸與z軸交點的另一個軸轉(zhuǎn)動，這個軸就是梁在兩個相互垂直平面內(nèi)同時彎曲時的中性軸，其上坐標為y，z的任意點處彎曲正應(yīng)力為零。故有中性軸的方程：中性軸與y軸的夾角q（圖a）為其中j角為合成彎矩與y的夾角。這就表明，只要Iy≠Iz

，中性軸的方向就不與合成彎矩M的矢量重合，亦即合成彎矩M所在的縱向面不與中性軸垂直，或者說，梁的彎曲方向不與合成彎矩M所在的縱向面重合。正因為這樣，通常把這類彎曲稱為斜彎曲（obliquebending）。對于圖示懸臂梁，試問：4.該梁自由端的撓度（大小和方向）如何計算？2.在固定端處梁的中性軸又大致在什么方向？3.在固定端和F2作用截面之間，梁的中性軸的方向是否隨橫截面位置變化？1.外力F2作用截面處梁的中性軸在什么方向？思考:例題8-1

圖示20a號工字鋼懸臂梁（圖a）上的均布荷載集度為q

(N/m)，集中荷載為。試求梁的許可荷載集度[q]。已知：a=1m;20a號工字鋼：Wz=237×10-6m3，Wy=31.5×10-6

m3；鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=160MPa。x()解：1.將集中荷載F沿梁的橫截面的兩個對稱軸分解為()x2.作梁的計算簡圖（圖b），并分別作水平彎曲和豎直彎曲的彎矩圖—My圖和Mz

圖（圖c,d）。3.確定此梁的危險截面。

A截面上My最大，MyA=0.642qa2,該截面上Mz雖不是最大，但因工字鋼Wy<<Wz

，故A截面是可能的危險截面。D截面上Mz

最大：故D截面也是可能的危險面。為確定危險截面，需比較A截面和D截面上的最大彎曲正應(yīng)力。MzD=0.456qa2

，MyD=0.444qa2，且zMzAyzMyAyzyD1D2由于，可見A截面為危險截面。危險點在A截面上的外棱角D1和D2處。根據(jù)強度條件，有

（21.5×10-3)q≤160×106Pa4.求許可荷載集度[q]。于是有[q]=7.44×103N/m=7.44kN/m從而得例8-2、矩形截面木檁條如圖，跨長L=3m,受集度為q=800N/m的均布力作用，[]=12MPa，b=120mm，h=160mm,E=9GPa，試校核梁的強度。解：①、外力分析——分解q②校核強度Wy=0.0512m3,Wz=0.0384m3

§8－3

拉伸(壓縮)與彎曲的組合變形Ⅰ.橫向力與軸向力共同作用圖a為由兩根槽鋼組成的桿件，受橫向力F和軸向力Ft作用時的計算簡圖，該桿件發(fā)生彎曲與拉伸的組合變形。軸向拉力會因桿件有彎曲變形而產(chǎn)生附加彎矩，但它與橫向力產(chǎn)生的彎矩總是相反的，故在工程計算中對于彎一拉組合變形的構(gòu)件可不計軸向拉力產(chǎn)生的彎矩而偏于安全地應(yīng)用疊加原理來計算桿中的應(yīng)力。圖a所示發(fā)生彎一拉組合變形的桿件，跨中截面為危險截面，其上的內(nèi)力為FN=Ft，。該橫截面上與軸力FN對應(yīng)的拉伸正應(yīng)力st為均勻分布(圖b)，

，而與最大彎矩Mmax對應(yīng)的彎曲正應(yīng)力在上、下邊緣處(圖c)，其絕對值。在FN

和Mmax共同作用下，危險截面上正應(yīng)力沿高度的變化隨sb和st的值的相對大小可能有圖d,e,f三種情況。危險截面上的最大正應(yīng)力是拉應(yīng)力：注意到危險截面最大拉應(yīng)力作用點（危險點）處為單向應(yīng)力狀態(tài)，故可把st,max直接與材料的許用正應(yīng)力進行比較來建立強度條件。例題8－2

圖a所示折桿ACB由鋼管焊成，A和B處鉸支,C處作用有集中荷載F=10kN。試求此折桿危險截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。已知鋼管的外直徑D=140mm，壁厚d=10mm。

解：1.約束力FA=FB=5kN。折桿的受力圖如圖b。根據(jù)對稱性，只需分析折桿的一半，例如AC桿；將約束力FA分解為FAx

=3kN和FAy=4kN后可知，AC桿的危險截面為m-m(圖b)，其上的內(nèi)力為FN=-FAx=-3kNMmax=FAy×2=8kN·m

可見此桿產(chǎn)生彎一壓組合變形?，F(xiàn)按大剛度桿來計算應(yīng)力。

2.AC桿危險截面m-m上的最大拉應(yīng)力st,max和最大壓應(yīng)力sc,max分別在下邊緣f點處和上邊緣g點處(圖b)：

（a）3.根據(jù)鋼管的橫截面尺寸算得：或4.將FN和Mmax以及A和W的值代入式(a)得注意，在彎一壓組合變形情況下，|sc,max

|>st,max,故對于拉、壓許用應(yīng)力相等的情況，建立強度條件時應(yīng)以|sc,max

|與許用正應(yīng)力進行比較。倘若材料的許用拉應(yīng)力[st]小于許用壓應(yīng)力[sc]，則應(yīng)將st,max和|sc,max|分別與[st]和[sc]比較。二、偏心拉伸（壓縮）：作用在直桿上的外力與桿的軸線平行且不重合，將引起偏心拉伸或壓縮。PMZMy二、應(yīng)力分析：三、中性軸方程對于偏心拉壓問題中性軸在形心主慣性軸y，z上的截距四、橫截面上危險點的位置1.有棱角橫截面2.無棱角橫截面對于沒有外棱角的截面，為找出橫截面上危險點的位置，可在確定中性軸位置后作平行于中性軸的直線使與橫截面周邊相切(圖b)，切點D1和D2分別就是最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的作用點，根據(jù)它們的坐標即可確定最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值。橫截面有外棱角的桿件受偏心拉伸時，危險點必定在橫截面的外棱角處。(b)五、截面核心土建工程中的混凝土或磚、石偏心受壓柱，往往不允許橫截面上出現(xiàn)拉應(yīng)力。這就要求偏心壓力只能作用在橫截面形心附近的某個范圍內(nèi)；這個范圍稱之為截面核心（coreofsection）。要使偏心壓力作用下桿件橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力，那么中性軸就不能與橫截面相交，一般情況下充其量只能與橫截面的周邊相切，而在截面的凹入部分則是與周邊外接。截面核心的邊界正是利用中性軸與周邊相切和外接時偏心壓力作用點的位置來確定的。圖中所示任意形狀的截面，y軸和z軸為其形心主慣性軸。為確定截面核心的邊界(圖中的封閉曲線1-2-3-4-5-1)，可作一系列與截面周邊相切和外接的直線把它們視為中性軸。得出每一與圓邊相切或外接的直線（中性軸）所對應(yīng)的偏心壓力作用點的位置，亦即截面核心邊界上相應(yīng)點的坐標ryi,rzi根據(jù)這些直線中每一直線在y軸和z軸上的截距ayi和azi即可由前面已講過的中性軸在形心主慣性軸上截距的計算公式連接這些點所得封閉曲線其包圍的范圍就是截面核心。應(yīng)該注意的是，截面核心的每一邊界點與對應(yīng)的截面周邊上的切線和外接的直線（中性軸）總是位于截面形心的相對兩側(cè)。(1)圓截面的截面核心：圓截面對圓心（形心）O是極對稱的，因而其截面核心的邊界必然也是一個圓心為O的圓。作一條如圖所示與截面周邊相切的直線①，它在形心主慣性軸y和z上的截距為而對于圓截面有從而這就是截面核心邊界上點1的坐標。以O(shè)為圓心，以d/8為半徑所作的圓其包圍的范圍就是圓形截面的截面核心。一個外直徑為D，內(nèi)直徑為D/2的空心圓截面，試檢驗該截面的：2.該截面核心為半徑等于的圓。思考:

1.對于形心主慣性軸的慣性半徑為,(2)矩形截面的截面核心圖中y軸和z軸為矩形截面的形心主慣性軸。對于這兩根軸的慣性半徑iy和iz的平方為作與周邊相切的直線①,②,③,④，將它們視為中性軸，根據(jù)它們在形心主慣性軸y,z上的截距便可求得截面核心邊界上的相應(yīng)點1，2，3，4?，F(xiàn)以計算與周邊上切線①相應(yīng)的核心邊界點1的坐標ry1，rz1例作具體計算：截距核心邊界點坐標對應(yīng)于周邊上其他三條切線的截面核心邊界點的坐標可類似地求得，并也已標注以圖中?，F(xiàn)在的問題是,確定截面核心邊界上的四個點1，2，3，4后，相鄰各點之間應(yīng)如何連接。實際上這就是說，當與截面相切的直線（中性軸）繞截面周邊上一點旋轉(zhuǎn)至下一條與周邊相切的直線時，偏心壓力的作用點按什么軌跡移動?，F(xiàn)以切線①繞B點旋轉(zhuǎn)至切線②時的情況來說明。前面已講過，桿件偏心受力時橫截面上中性軸的方程為當中性軸繞一點B轉(zhuǎn)動時，位于中性軸上的B點的坐標yB，zB

不變，亦即上式中的y0，z0在此情況下為定值yB，zB，而偏心壓力的作用點yF，zF在移動，將上式改寫為顯然，這是關(guān)于yF，zF的直線方程。這表明，當截面周邊的切線（中性軸）繞周邊上的點轉(zhuǎn)動時，相應(yīng)的偏心壓力的作用點亦即截面核心的邊界點沿直線移動。于是在確定截面核心邊界上的點1，2，3，4后，順次以直線連接這些點所得到的菱形便是矩形截面的截面核心。該菱形的對角線長度分別為h/3和b/3(如圖所示)。

例題8－4

試確定圖示T形截面的截面核心。圖中y,z軸為形心主軸。已知：截面積A=0.6m2；慣性矩Iy=48×10-3m4,Iz=27.5×10-3m4；慣性半徑的平方以及。

解:

對于周邊有凹入部分的截面，例如槽形截面、T形截面等，確定截面核心邊界點所對應(yīng)的中性軸仍然不應(yīng)與截面相交，也就是在周邊的凹入部分只能以外接直線作為中性軸。圖中的6條直線①,②,…,⑥便是用以確定該T形截面核心邊界點1,2…,6的中性軸；根據(jù)它們各自在形心主慣性軸上的截距計算所得核心邊界的結(jié)果如下表所示：0-0.1021-∞0.45①0.45∞-0.45-0.45∞ay-0.0740.10241.08④00.1023∞③-0.133050.60⑤0.2002-0.40②⑥中性軸編號

-0.074

-0.102

截面核心邊界上點的坐標值/m

6對應(yīng)的截面核心邊界上的點

1.08az

中性軸的截距/m

注意到直線（中性軸）①，②，…，⑥，①中順次編號的相鄰直線都是由前一直線繞定點轉(zhuǎn)動到后一直線，故把核心邊界點1，2，…

，6，順次連以直線便可得到截面核心的邊界?！?-4

扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形機械中的許多構(gòu)件在工作時往往發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形，而且它們多半是實心或空心圓截面桿，圖中所示傳動軸便是一種典型的情況。土建工程中發(fā)生扭－彎組合變形的桿件往往是非圓截面的。本節(jié)講述圓截面桿發(fā)生扭－彎組合變形時的強度計算。圖a所示由塑性材料制造的曲拐在鉛垂外力作用下，其AB桿的受力圖如圖b所示。該桿為直徑為d的圓截面桿。圖c，d示出了AB桿的彎矩圖（M圖）和扭矩圖（T圖）。由于扭－彎組合變形情況下不考慮剪力對強度的影響，故未示出剪力圖（FS圖）。該AB桿的危險截面為固定端處的A截面。危險截面上彎曲正應(yīng)力在與中性軸C3C4垂直方向的變化如圖e，扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿直徑C3C4和C1C2的變化如圖f。由此可知危險截面上的危險點為C1和C2。由于桿的材料是拉壓許用應(yīng)力相等的塑性材料，C1和C2兩點的危險程度相同，故只需對其中的一個點作強度計算即可。圍繞點C1以桿的橫截面、徑向縱截面和切向縱截面取出單元體，其各面上的應(yīng)力如圖g所示，而點C1處于平面應(yīng)力狀態(tài)，其三個主應(yīng)力為按第三強度理論作強度計算，相當應(yīng)力為(a)按第四強度理論作強度計算，相當應(yīng)力為(b)強度條件為或究竟按哪個強度理論計算相當應(yīng)力，在不同設(shè)計規(guī)范中并不一致。注意到發(fā)生扭－彎變形的圓截面桿，其危險截面上危險點處：為便于工程應(yīng)用，將上式代入式（a），（b）可得：式中，M和T分別為危險截面上的彎矩和扭矩，W為圓截面的彎曲截面系數(shù)。

例題8－5

圖a所示鋼制實心圓軸其兩個齒輪上作用有切向力和徑向力，齒輪C的節(jié)圓（齒輪上傳遞切向力的點構(gòu)成的圓）直徑dC=400mm,齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。已知許用應(yīng)力[s]=100MPa。試按第四強度理論求軸的直徑。1.作該傳動軸的受力圖（圖b），并作彎矩圖－Mz圖和My圖（圖c,d）及扭矩圖－－T圖（圖e）。解：2.由于圓截面的任何形心軸均為形心主慣性軸，且慣性矩相同，故可將同一截面上的彎矩Mz和My按矢量相加。例如，B截面上的彎矩MzB和MyB（圖f）按矢量相加所得的總彎矩MB（圖g）為：由Mz圖和My圖可知，B截面上的總彎矩最大，并且由扭矩圖可見B截面上的扭矩與CD段其它橫截面上相同，TB＝-1000

N·m，于是判定橫截面B為危險截面。3.根據(jù)MB和TB按第四強度理論建立的強度條件為即亦即于是得§8-5

連接件的實用計算法圖a所示螺栓連接主要有三種可能的破壞：

Ⅰ.螺栓被剪斷（參見圖b和圖c）；Ⅱ.

螺栓和鋼板因在接觸面上受壓而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼板在螺栓孔處被壓皺）（圖d）；Ⅲ.鋼板在螺栓孔削弱的截面處全面發(fā)生塑性變形。實用計算法中便是針對這些可能的破壞作近似計算的。一、剪切的實用計算1、剪切面--AS：錯動面。

剪力--FS

：

剪切面上的內(nèi)力。2、名義剪應(yīng)力--：3、剪切強度條件：二、擠壓的實用計算1、擠壓力--Fbs：接觸面上的合力2、擠壓面積：接觸面在垂直Fbs方向上的投影面3、擠壓強度條件（準則）：(3)拉伸的實用計算螺栓連接和鉚釘連接中，被連接件由于釘孔的削弱，其拉伸強度應(yīng)以釘孔中心所在橫截面為依據(jù)；在實用計算中并且不考慮釘孔引起的應(yīng)力集中。被連接件的拉伸強度條件為式中：FN為檢驗強度的釘孔中心處橫截面上的軸力；A為同一橫截面的凈面積，圖示情況下A=(b–d)d。{{FbsFNdbssd當連接中有多個鉚釘或螺栓時，最大拉應(yīng)力smax可能出現(xiàn)在軸力最大即FN=FN,max所在的橫截面上，也可能出現(xiàn)在凈面積最小的橫截面上。例1：木榫接頭如圖所示，a=b=12cm，h=35cm，c=4.5cm,

P=40KN，試求接頭的剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力。解：：受力分析如圖∶：剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力