有限元法理論(二)

FiniteElementAnalysisTheory有限元法理論Chapter2.SummarizingFiniteElementMethod

第二章有限元法概述

有限元法是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。還利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。從1960以后有限元法迅速發(fā)展。1970以后傳入我國(guó)。TheBasicideaofFEMInacontinuumstructure,acorrespondingnaturalelementsdoesnotexistsothatthecontinuumhastobeartificiallydividedintoanumberofelementsbeforethematrixmethodofanalysiscanbeapplied.

連續(xù)結(jié)構(gòu)不存在自然的單元，須人為劃分為單元。Theartificialelements,whicharetermed‘finiteelements’ordiscreteelements,areusuallychosentobeeitherrectangularortriangularinshape.

單元通常取為三角形或矩形。TheBasicideaofFEM

有限元法的基本思想在力學(xué)模型上，將一個(gè)原來(lái)連續(xù)的物體離散成為有限個(gè)具有一定大小的單元，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，并在節(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效力以替代實(shí)際作用于單元上的外力。對(duì)于每個(gè)單元，根據(jù)分塊近似的思想，選擇一種簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，并按彈性理論中的能量原理（或用變分原理）建立單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。把所有單元的這種關(guān)系式集合起來(lái)，就得到以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組，解這個(gè)方程組就可以求出物體上有限個(gè)離散節(jié)點(diǎn)上的位移。TheBasicStepofFEM有限元法的基本步驟結(jié)構(gòu)的離散化單元分析選擇位移模式建立單元?jiǎng)偠确匠?計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力整體分析,形成整體剛度方程:求解方程,得出節(jié)點(diǎn)位移由節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)變應(yīng)力GiveanExampleaboutPhysicalSystem結(jié)構(gòu)熱電磁

幾何體

載荷

物理系統(tǒng)TheModelofFEM

有限元模型有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象真實(shí)系統(tǒng)有限元模型DegreesofFreedom

自由度自由度(DOFs)完全確定一個(gè)物體在空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目,用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFs

結(jié)構(gòu) 位移熱

溫度電 電位流體壓力磁 磁位

方向 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZNodeandElement1

節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn):

空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元:

一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。載荷載荷節(jié)點(diǎn):

空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元:

一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。載荷載荷NodeandElement2每個(gè)單元的特性是通過(guò)一些線性方程式來(lái)描述的。作為一個(gè)整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。盡管梯子的有限元模型低于100個(gè)方程（即“自由度”），然而在今天一個(gè)小的ANSYS分析就可能有5000個(gè)未知量，矩陣可能有25，000，000個(gè)剛度系數(shù)。NodeandElement3信息是通過(guò)單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。...AB.......AB...1node2nodes.

分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元

A和B之間沒有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞NodeandElement4節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)

單元類型變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁?jiǎn)卧S或軸對(duì)稱實(shí)體單元UX,UY三維四邊形殼單元UX,UY,UZ三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元ROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZUX,UY,UZ單元形函數(shù)FEA僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的DOF值。單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOF值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處DOF值的計(jì)算方法。因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”

。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。單元形函數(shù)(續(xù))真實(shí)的二次曲線.節(jié)點(diǎn)單元

二次曲線的線性近

(不理想結(jié)果).2節(jié)點(diǎn)單元DOF值二次分布..1節(jié)點(diǎn)

單元

線性近似(更理想的結(jié)果)真實(shí)的二次曲線.....3節(jié)點(diǎn)單元二次近似(接近于真實(shí)的二次近似擬合)

(最理想結(jié)果)..4單元形函數(shù)遵循原則DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，但單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導(dǎo)出來(lái)的（如，結(jié)構(gòu)應(yīng)力，熱梯度）。如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部DOFs，就不能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過(guò)單元形函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的。單元形函數(shù)遵循原則(續(xù))當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時(shí)有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點(diǎn)來(lái)精確描述所要求解的問題。幾個(gè)關(guān)鍵問題有限元離散過(guò)程中，相鄰單元在同一節(jié)點(diǎn)上場(chǎng)變量相同達(dá)到連續(xù)，但未必在單元邊界上任一點(diǎn)連續(xù)；在把載荷化為節(jié)點(diǎn)載荷的過(guò)程中，只是考慮單元總體平衡，在單元內(nèi)部和邊界上不能保證每點(diǎn)都滿足控制方程。關(guān)鍵問題：?jiǎn)卧螤?；單元的近似函?shù)；建立單元?jiǎng)偠确匠痰姆椒?；收斂、精度等問題。Chapter3.TheAimsofFEAandConfigurationModel

第三章有限元分析目的及其結(jié)構(gòu)模型設(shè)計(jì)方面，有確認(rèn)結(jié)構(gòu)或機(jī)械的強(qiáng)度，確認(rèn)性能等。單個(gè)部件而言，有求應(yīng)力的，有求位移的，也有求與這些分析目的相對(duì)應(yīng)，就有結(jié)構(gòu)和機(jī)械的模型化問題存在特征值等。所謂模型化，就是將結(jié)構(gòu)或機(jī)械按照分析目的進(jìn)行理想化處理和簡(jiǎn)化處理。Examples以火箭和活塞為例，集中在應(yīng)力分析方面具體地加以說(shuō)明?；鸺そY(jié)構(gòu)例子）火箭、壓力容器或室內(nèi)球場(chǎng)的屋頂?shù)鹊榷甲龀杀さ膱A筒形或球形結(jié)構(gòu)?；鸺哪Ｐ突瘷M風(fēng)吹向發(fā)射以后的火箭，火箭就邊控制方向邊向著目的地飛去。我們稱這為姿態(tài)控制。姿態(tài)控制中的火箭，受到很大的彎曲載荷的作用。從遠(yuǎn)處來(lái)眺望火箭以搞清火箭的似近強(qiáng)度為目的，就從遠(yuǎn)處來(lái)眺望火箭。如此，可以把火箭轉(zhuǎn)化成一支鉛筆那樣。從鉛筆的樣子，容易想像到作為近似的模型把整個(gè)火箭轉(zhuǎn)換成梁?jiǎn)卧囊粋€(gè)集合體。梁?jiǎn)卧钠拭嫣匦?，從適當(dāng)位置處的火箭的橫剖面結(jié)構(gòu)中計(jì)算出來(lái)。吹向火箭的橫風(fēng)可以轉(zhuǎn)換成作用在梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)上的水平方向上的載荷，而慣性力可以轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)于它所在方向上的作用在節(jié)點(diǎn)上的載荷。從遠(yuǎn)處來(lái)眺望火箭這之后，就可以從結(jié)構(gòu)力學(xué)的教科書中找到梁的公式計(jì)算出來(lái)就行了……注意:火箭是懸浮在空中的。在近處眺望火箭在近處眺望火箭，可以認(rèn)清火箭的殼體是圓筒形狀的，在近處眺望火箭，并且因?yàn)榧訌?qiáng)而用了板條狀和環(huán)狀樣的骨架（稱為加強(qiáng)筋lib）。在圓筒形的外殼和加強(qiáng)它們的加強(qiáng)構(gòu)件相結(jié)合的部位容易產(chǎn)生應(yīng)力集中，是進(jìn)行強(qiáng)度校核時(shí)的重點(diǎn)部位。這種情況下，結(jié)構(gòu)的模型化這樣來(lái)做，將外殼部分用殼單元，那么板條和骨架等的加強(qiáng)構(gòu)件用梁?jiǎn)卧鯓?在近處眺望火箭吹向火箭的橫風(fēng)，轉(zhuǎn)化成作用在殼單元和梁?jiǎn)卧Y(jié)合部的節(jié)點(diǎn)上的水平方向上的集中載荷就可以了。再近一點(diǎn)眺望火箭再近一點(diǎn)眺望火箭，則從火箭本身到助推發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)處都可以看得到。例如，殼體部分和助推發(fā)動(dòng)機(jī)的連接部分因?yàn)槭侨菀装l(fā)生應(yīng)力集中的部位，需要充分進(jìn)行校核。為了評(píng)價(jià)局部區(qū)域的3維應(yīng)力狀態(tài)用局部放大的方法就很方便，可以將這些結(jié)構(gòu)作為細(xì)密的立體單元的集合體來(lái)進(jìn)行模型化處理。再近一點(diǎn)眺望火箭和“在近處眺望火箭”用的殼單元和梁?jiǎn)卧獊?lái)作模型化的分析模型相比,可以作更細(xì)的局部結(jié)構(gòu)的分析?；钊▽?shí)體形狀的例子）活塞簡(jiǎn)化種一般的塊狀3維結(jié)構(gòu)，用實(shí)體單元將