大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽

一、已知曲線積分（常數(shù)）。其中是可導(dǎo)函數(shù)且，L是繞原點(diǎn)（0，0）一周的任意正向閉曲線，試求出及A。[分析]可添設(shè)輔助路徑，使之得到不包圍原點(diǎn)的閉路構(gòu)成單連域，若沒此閉路的曲線積分與路徑無關(guān)，有，可得微分方程從而解出，取L為可計算A值。圖4解：設(shè)為平面上任意一條不經(jīng)過原點(diǎn)也不包含原點(diǎn)的正向閉曲線，取輔助路徑如圖4、（使構(gòu)成閉路且包圍原點(diǎn)）。由已知有 （1） （構(gòu)成閉路包圍原點(diǎn)） （2） 是的負(fù)向與構(gòu)成閉路包圍原點(diǎn)）（1）－（2） （構(gòu)成閉路。但不包圍原點(diǎn)圍成單連域）所以積分與路徑無關(guān)。 。 。所以 即 解出 由。又可取L為正向， 二、設(shè)u在所圍閉域D上連續(xù)，且二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，又，試證 ，其中是u沿D的邊界外向法線方向?qū)?shù)，L方向為逆時針方向，求此曲線積分的值。[分析]先考慮由方向?qū)?shù)，第I、II型曲線積分的關(guān)系寫出所求曲線積分的一般形式，通過格林公式可計算結(jié)果。證明：由方向?qū)?shù)定義： （沿D邊界外法線方向與x軸正向夾角為）設(shè)沿D邊界逆時針方向（正向）的切線正向與軸、y軸正向的夾角分別為、（圖22）圖22則 ， 。 （第I型） （第II型） （已知） （域D的面積） 。三、質(zhì)點(diǎn)P沿著以AB為直徑的半圓周，從點(diǎn)A（1，2）運(yùn)動到點(diǎn)B（3，4）的過程中受變力F作用（見圖54），F(xiàn)的大小等于點(diǎn)P與原點(diǎn)O之間的距離，其方向垂直于線段OP且與y軸正向的夾角小于。求變力F對質(zhì)點(diǎn)P所作的功。[分析]設(shè)變力，則當(dāng)P沿從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B，變力F對質(zhì)點(diǎn)P所做的功為，這是一個對坐標(biāo)的曲線積分。問題解決的關(guān)鍵是確定的參數(shù)方程和變力F的向量表達(dá)式。解：按題意，變力。圓弧的參數(shù)方程是變力F所作的功。本題考查曲線積分在計算變力沿曲線所作的功問題上的應(yīng)用，難度值為0.28，區(qū)分度為0.5。1。四、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，C為平面上逐段光滑的閉曲線，證明：五、計算線積分，C是沿圓周由點(diǎn)（0，R）依逆時針方向到點(diǎn)（0，－R）的半圓六、求，其中L是球面與柱面的交線（），L的方向規(guī)定為沿L的方向運(yùn)動時，從z軸正向往下看，曲線L所圍球面部分總在左邊。解：記為曲線L所圍球面積分的外側(cè)。因為按題意所規(guī)定L的方向及曲面與其邊界的定向法則（右手系法則）知外側(cè)為正側(cè)。由斯托克斯公式，有 其中是球面上每點(diǎn)處的單位法向量。由球面方程不難求出 。從而 。由于曲面關(guān)于平面對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，故，這樣 。其中D是曲面在平面上的投影區(qū)域：。注：曲線L的參數(shù)方程為 七、曲線C為與的交線，從原點(diǎn)看去C的方向為順時針方向，則_____________。[分析]根據(jù)斯托克斯公式計算。解：應(yīng)填：。八、設(shè)空間曲線C由立方體：，，的表面化與平面相截而成，試計算： [分析]空間閉曲線上的曲線積分可以分段直接化為定積分計算，并注意應(yīng)充分運(yùn)用對稱性來簡化計算，或可以考慮用斯托克斯公式計算（圖7）解法一：直接計算圖7對于， （在平面上：， 點(diǎn)A、B各對應(yīng)的橫標(biāo)為） 。 （在平面上：， 點(diǎn)D、E各對應(yīng)的橫標(biāo)為） 由對稱性可知： 。解法二：選取平面上被折線C所包圍的朝上側(cè)的部分作為張于曲線C上的曲面S。它的法向量的方向余弦為 。設(shè)表示曲面S在坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域，其面積。由斯托克斯公式： （由，知 。故 九、計算曲線積分，其中C是曲線從z軸正向往z軸負(fù)向看C的方向是順時針的。[分析]C為一條封閉的空間曲線，令，則，將其化為參數(shù)方程，要利用公式正確計算出本題的曲線積分關(guān)鍵是確定C起點(diǎn)和終點(diǎn)對應(yīng)的值和，根據(jù)題意，。也可以利用斯托克斯公式將曲線積分化為曲面積分，在將曲面積分化為二重積分時注意曲面S的側(cè)與曲線C的正向符合右手規(guī)則，從而正確決定二重積分的正負(fù)號。解法一：令，則。于是。解法二：設(shè)S是平面上以C為邊界的有限部分，其法向量與z軸正向的夾角為鈍角。為S在面上的投影區(qū)域。記則利用斯托克斯公式知。考生典型錯誤有：（1）解法一中對的積分從.（2）用斯托克斯公式時沒有考慮方向定錯符號。（3）將C化為，根號前沒有正、負(fù)號，從而致錯。十、設(shè)曲線是球面與平面的交線，試求積分十一、。其中是由曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)成的旋轉(zhuǎn)曲面[分析]利用高斯公式解：作平面，與曲面圍成閉區(qū)域，由高斯公式可得故原積分十二、計算曲面積分 ，其中是 （）的上側(cè)。[分析]直接計算此曲面積分是相當(dāng)困難的，因而應(yīng)利用高斯公式。考慮到被積分表達(dá)式中有分母，所以在增被曲面以構(gòu)成封閉曲面時，要注意所增補(bǔ)的曲面不能過原點(diǎn)，同時所構(gòu)成的封閉曲面不要包圍原點(diǎn)。解：以表示以原點(diǎn)為中心的上半單位球面（）?？梢则炞C被包在S的內(nèi)部。的內(nèi)側(cè)和外側(cè)分別表示為和。記為平面上滿足 部分的下側(cè)。這樣構(gòu)成一個封閉曲面的外側(cè)。此封閉曲面既不經(jīng)過也不包圍坐標(biāo)原點(diǎn)。于是 其右端的第一項，由高斯公式得 ，其中是所包圍的區(qū)域；其第三項顯然為0，所以 再次利用高斯公式來計算 記為平面上滿足部分的下側(cè)，則構(gòu)成封閉曲面，其所包圍的區(qū)域記為，則 而 ，最后有 。注：本題中既可取為上半單位球面，也可取為以原點(diǎn)為球心，以r為半徑的上半球面，只需使被包含在S內(nèi)即可。本題的結(jié)論還表明它與曲面S的具體形式是無關(guān)的：只需S是不經(jīng)過原點(diǎn)的分片光滑曲面（）。十三、曲面 在其上分布有密度函數(shù)為的質(zhì)量，求S的質(zhì)量m。[分析]m可化為曲面積積分，進(jìn)而化為二重積分來計算。解： 在平面上的投影域：。 。令。 。十四、計算其中是的外側(cè)。十五、求曲面積分，其中是曲面的滿足的部分的下側(cè)。（已知：解：由對稱性只要計算其中D為，經(jīng)計算得。十六、計算曲面積分 其中S是球面的外側(cè)。[分析]充分利用球面S的對稱性，可將組合曲面積分化為對的單一曲面積分，再將此曲面積分化成二重積分計算。解：利用球面S的對稱性 而 所以 。。十七、計算曲面積分，其中是由曲面及兩平面，所圍成立體表面的外側(cè)。[分析]雖然S是一個封閉曲面，但由于被積函數(shù)在原點(diǎn)處不具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此高斯公式成立的條件不具備，故不能將此二重積分化為三重積分計算，只能按照曲面積分的定義計算。計算中要充分利用和與有關(guān)坐標(biāo)面平行、垂直等位置關(guān)系簡化積分。解：設(shè)、、依次為S的上、下底和圓柱面部分，則記、在面上的投影區(qū)域為，則。在上，，記在平面上的投影區(qū)域為，則。所以，原積分。本題考查計算曲面積分的基本技巧和能力，同時檢測了考生對高斯公式的理解和掌握的程度。難度值為0.22，區(qū)分度為0.36。十八、計算，其中S是圓柱面被平面和所截出部分的外側(cè)。[分析]先作出圖形，其中為平面與圓柱面所截部分的上側(cè)，為平面與圓柱面所截部分的下側(cè)，為封閉曲面所圍區(qū)域，為在平面上的投影區(qū)域，為S在平面上的投影區(qū)域。本題有兩種曲型解法，一種是應(yīng)用高斯公式求出上的曲面積分，然后再減去對和上的曲面積分，此時要注意和的側(cè)對積分前取正負(fù)號的影響。另一種方法是直接將曲面積分化為二重積分，此時應(yīng)注意曲面S在平面上的投影為一圓周，二重積分，因此，所求曲面積分I化為二重積分。解法一：設(shè)，，，，所示。記，，則。而