第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.判斷棉花質(zhì)量時(shí),既看纖維的平均長度

平均長度越長,偏離程度越小,質(zhì)量就越好;又要看纖維長度與平均長度的偏離程度例如：考察一射手的水平,既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小.

由上面例子看到，與r.v.有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望

r.v.取值平均偏離均值的情況

——方差描述兩r.v.間的某種關(guān)系的數(shù)

——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性都可用數(shù)字來描寫1、概念的引入：我們先看一個(gè)實(shí)例.引例

某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若統(tǒng)計(jì)100天,

32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？（假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品）可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)

一般來說,若統(tǒng)計(jì)n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均

當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù).我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X

的平均值.設(shè)X為離散r.v.,分布律為若無窮級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)期望的定義絕對(duì)收斂,則稱其和為X的離散型數(shù)學(xué)期望,記作E(X),即§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均它是一個(gè)數(shù)不再是r.v.例1設(shè)r.vX的分布律如下表,求E(X)

.XP-13解甲乙兩人賭博，甲贏的概率為，輸?shù)母怕蕿?，甲每贏一次可從乙處得3元，而每輸一次，要給乙1元，則甲平均每次可贏元。期望：每個(gè)賭徒參加賭博時(shí)，心中要盤算的數(shù)字§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望到站時(shí)刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/52/52/5一旅客8:20到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.例2

按規(guī)定,某車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站,但到站時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為：

X1030507090

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0<x1<x2<…,則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為

由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替.這正是的漸近和式.近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型r.v的數(shù)學(xué)期望是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為.若廣義積分?jǐn)?shù)學(xué)期望，記作E(X),即連續(xù)型絕對(duì)收斂,則稱此積分為X的§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例3設(shè)X的概率密度為：求E(X).解:注意不是所有的r.v.都存在數(shù)學(xué)期望例如：設(shè)r.v.X的密度函數(shù)為因發(fā)散故它的數(shù)學(xué)期望不存在!柯西(Cauchy)分布柯西

Augustin-LouisCauchy1789-1857法國數(shù)學(xué)家§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散

r.v.X

的概率分布為若無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則設(shè)連續(xù)

r.v.的d.f.為f(x)絕對(duì)收斂,則若廣義積分r.v.函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例4 設(shè)離散型隨機(jī)向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期望.X0

?11

E(Z)=g(0)0.5+g(-1)0.25+g(1)0.25解:=0.5注:這里的

例5

設(shè)X~

U[0,],Y=sinX,求E(Y).解:X的概率密度為所以設(shè)離散r.v.(X,Y)的概率分布為Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂,則若級(jí)數(shù)設(shè)連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.f.為f(x,y)

，絕對(duì)收斂,則若廣義積分Z=g(X,Y),§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例6

設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:=4.25注:這里的例7例7

E(C)=C

E(aX

)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

E(C)=C

E(aX

)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y

不一定獨(dú)立注§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反例XYpij-101-1010p?jpi?XY

P

-101§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例8性質(zhì)2和3性質(zhì)4 設(shè)E(X)=10，E(Y

)

=3，且X與Y相互獨(dú)立，求E(3X＋2XY－Y＋5).解：五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例9一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,旅客有10個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)按題意

本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來求數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.例10

設(shè)二維r.v.(X,Y)的d.f.為求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X).解

§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)X,Y獨(dú)立§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望r.v.函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望Z=g(X,Y),小結(jié)

E(C)=C

E(aX

)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y

不一定獨(dú)立注§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例8性質(zhì)2和3性質(zhì)4 設(shè)E(X)=10，E(Y

)

=3，且X與Y相互獨(dú)立，求E(3X＋2XY－Y＋5).解：五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例9一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,旅客有10個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)按題意

本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來求數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.思考將4個(gè)不同色的球隨機(jī)放入4個(gè)盒子中,每盒容納球數(shù)無限,求空盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解一設(shè)X為空盒子數(shù),則X的概率分布為XP0123§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解二

引入

Xi,i=1,2,3,4Xi

P10一個(gè)隨機(jī)變量分解為多個(gè)隨機(jī)變量的和§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例10

設(shè)二維r.v.(X,Y)的d.f.為求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X).解

§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)X,Y獨(dú)立§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X(mm)~N(,1).已知銷售每個(gè)零件的利潤T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：?jiǎn)柶骄睆?/p>

為何值時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？(P.122習(xí)題四15題)應(yīng)用應(yīng)用4解即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤最大.故時(shí),銷售一個(gè)幾個(gè)重要的r.v.函數(shù)的數(shù)學(xué)期望—X的k階原點(diǎn)矩—X的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩—X的k階中心矩—X的方差[附錄]—X,Y的k+l階混合原點(diǎn)矩—X,Y的k+l階混合中心矩—X,Y的二階原點(diǎn)矩—X,Y的二階混合中心矩

X,Y的協(xié)方差—X,Y的相關(guān)系數(shù)§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望柯西Augustin-Louis

Cauchy

1789-1857柯西法國數(shù)學(xué)家柯西簡(jiǎn)介法國數(shù)學(xué)家27歲當(dāng)選法國科學(xué)院院士早在1811年就解決了拉格朗日向他提出的一個(gè)問題：凸多面體的角是否被它的面所決定？柯西作了肯定的回答.這一直是幾何學(xué)中一個(gè)精彩的結(jié)果.在概率論中他給出了有名的柯西分布.然而他一生中最重要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)在另外三個(gè)領(lǐng)域：微積分學(xué)、復(fù)變函數(shù)和微分方程.柯西在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、誤差理論以及天體力學(xué)、光學(xué)、彈性力學(xué)諸方面都有出色的工作，特別是他弄清了彈性理論的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為彈性力學(xué)奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).在這三個(gè)領(lǐng)域中我們常常能見到以柯西名字命名的定理、公式和方程等:柯西積分定理;柯西積分公式;柯西-黎曼方程;柯西判別法則;柯西不等式;柯西初值問題《微積分在幾何上的應(yīng)用》1826年柯西的著作大多是急就章，但都樸實(shí)無華，有思想,有創(chuàng)見.他所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的定理和公式,往往是一些最簡(jiǎn)單、最基本的事實(shí).因而，他的數(shù)學(xué)成就影響廣泛，意義深遠(yuǎn).柯西是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，一生共發(fā)表論文800余篇，著書7本.《柯西全集》共有27卷，其中最重要的為：《分析教程》1821年《無窮小分析教程概論》1823年若

X服從柯西(Cauchy)分布,其p.d.f.為簡(jiǎn)記

X~C()分布,§4.2方差

方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量取值分散程度的量.引例有兩批燈泡,其平均壽命都是

E(X)=1000小時(shí).

概念的引入引例甲、乙兩射手各打了6發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,問哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？解

首先比較平均環(huán)數(shù)甲=8.3,乙=8.3有五個(gè)不同數(shù)有四個(gè)不同數(shù)再比較穩(wěn)定程度甲：乙：§4.2方差

進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度甲乙

E[X-E(X)]2乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.§4.2方差

若E[X-E(X)]2存在,則稱其為隨機(jī)變量X稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.

方差概念定義

即D(X)=E[X-E(X)]2

的方差,記為D(X)或Var(X)

兩者量綱相同

§4.2方差

方差D(X)是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值分散程度的量,它反映了X偏離其數(shù)學(xué)期望的程度.

如果D(X)值大,表示X取值越分散,以E(X)作為隨機(jī)變量的代表性差;

(小)(集中)(好).

方差的意義

方差的計(jì)算r.v.函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望若X為連續(xù)型r.v.，概率密度為f(x)§4.2方差

若X為離散型r.v.，分布律為

方差的計(jì)算(1)利用定義計(jì)算

(2)利用公式計(jì)算

證解例1于是練習(xí)：(1)設(shè)r.vX的分布律如下表,求D(X)

.XP-13(2)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求D(X).證(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證

方差的性質(zhì)(3)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,D(X),D(Y)存在,則證推廣(4)

D(X)=0的充要條件是X依概率1取常數(shù)。例3

已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2.4,方差

D(X)=1.44,則X2的數(shù)學(xué)期望E(X2)=()7.2例4已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差均為2，求隨機(jī)變量Z=3X-2的期望和方差E(Z),D(Z).解：E(Z)=3E(X)-2=4D(Z)=9D(X)=18練習(xí)解求例5對(duì)此題，有事實(shí)上，一般地，若X與Y相互獨(dú)立，則證明請(qǐng)同學(xué)們自己完成.注切比謝夫不等式

契比雪夫不等式或得證明取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明.切比謝夫不等式的意義：1o給出了在X的分布未知的情形下，估計(jì)概率的方法；2o說明了D(X)的確刻劃了X對(duì)E(X)的偏離程度，由可知：D(X)越小(X偏離E(X)程度越小)，這表明：X取值越集中在E(X)附近.3o它是大數(shù)定理的理論基礎(chǔ).注已知正常男性成人血液中，每一毫升所含白細(xì)胞數(shù)的平均數(shù)是7300，均方差是700，試?yán)们斜戎x夫不等式估計(jì)：每毫升含白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率p.解設(shè)X:每毫升血液中含白細(xì)胞數(shù).依題意，有例5若X為連續(xù)型r.v.，概率密度為f(x)§4.2方差

若X為離散型r.v.，分布律為

方差的計(jì)算(1)利用定義計(jì)算

小結(jié)：(2)利用公式計(jì)算

方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有(3)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,D(X),D(Y)存在,則(4)

D(X)=0的充要條件是X依概率1取常數(shù)。PafnutyChebyshevBorn:16May1821inOkatovo,Russia

Died:8Dec1894inStPetersburg,Russia契比雪夫資料復(fù)習(xí)1.方差定義2.方差的計(jì)算公式3.方差的性質(zhì)4.契比雪夫不等式已知隨機(jī)變量X的分布律為則有1.兩點(diǎn)分布§4.3常見分布的期望與方差則有設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,其分布律為2.二項(xiàng)分布則有3.泊松分布所以則有4.均勻分布結(jié)論

均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).則有5.正態(tài)分布xyOxyO則有6.指數(shù)分布若

X

服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為>0為常數(shù)指數(shù)分布的期望和方差分別為重要概率分布的方差——表格分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布幾何分布與標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.顯然，僅知r.v.的期望與方差并不能確定其分布P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025例如有相同的期望方差但是分布卻不相同§4.2方差

例12已知X服從正態(tài)分布,E(X)=1.7,D(X)=3,

Y=1–2X,求Y的密度函數(shù).解在已知某些分布類型時(shí),若知道其期望和方差,便常能確定分布.§4.2方差

1、引入背景二維隨機(jī)變量(X,Y)的相互關(guān)系如何描述？n維變量間的關(guān)系舉例：（1）不同地區(qū)氣溫間的關(guān)系；（2）人的身高、體重間的關(guān)系；（3）不同股票收益率間的關(guān)系；（4）公司經(jīng)營業(yè)績(jī)與資本結(jié)構(gòu)間的關(guān)系。協(xié)方差§4.4協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)回憶設(shè)X,Y相互獨(dú)立,D(X),D(Y)存在,則證協(xié)方差

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y)，即

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義協(xié)方差⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.簡(jiǎn)單性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)3.協(xié)方差的計(jì)算Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

若(X,Y)為離散型，若(X,Y)為連續(xù)型，

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=0.計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即4.隨機(jī)變量和(差)的方差與協(xié)方差的關(guān)系D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)求cov(X,Y)10pqXP10pqYP例1已知X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP§4.4協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布幾何分布復(fù)習(xí)X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量§4.2方差

復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.簡(jiǎn)單性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)Cov(X,X)=D(X)4.隨機(jī)變量和(差)的方差與協(xié)方差的關(guān)系D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)3.協(xié)方差的計(jì)算

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

從協(xié)方差的定義可以看出，它是X的偏差“X-E(X)”與Y的偏差“Y-E(Y)”乘積的數(shù)學(xué)期望。由于偏差可正可負(fù)，故協(xié)方差也可正可負(fù)，也可為0.

Cov(X,Y)>0時(shí)，兩個(gè)偏差“X-E(X)”與“Y-E(Y)”同時(shí)增加或同時(shí)減小，即X與Y同時(shí)增加或同時(shí)減小；

Cov(X,Y)<0時(shí)，X增加Y減小或X增加Y減??；Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}協(xié)方差的數(shù)值雖然在一定程度上反映了X