微分方程第七節(jié)

第七節(jié)可降階的高階微分方程2、型4、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程5、齊次方程6、小結(jié)1、型3、型對(duì)于微分方程我們可以通過兩邊逐次積分把微分方程降階，從而求得微分方程的通解。……(1)方程（1）兩邊積分得：兩邊再積分得：如此下去，便可以得到方程(1)的通解。一、的微分方程求微分方程的通解。解對(duì)上方程接連三次積分得：例1質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿ox軸作直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)力僅是時(shí)間t的函數(shù)：在開始時(shí)刻t=0時(shí)，隨著時(shí)間t的增大，力F均勻地減少，當(dāng)t=T時(shí)，F(xiàn)（T）=0。如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，且初速度為零，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解設(shè)x=x（t）表示時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置，由牛頓第二定律得：……(1)例2由題設(shè)，力F(t)隨t增大而均勻地減少，且t=0時(shí)，,所以設(shè)又t=T時(shí)，F(xiàn)(T)=0,代入上式得：方程（1）可表示為：……(2)方程的初始條件是：……(3)方程(2)兩端積分得:……(4)把(3)代入(4)得:從而方程(4)變?yōu)?對(duì)上式積分得:把（3）代入上式得：于是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是：返回代入原方程,得解法：特點(diǎn)：P(x)的(n-k)階方程可得通解.二、型求微分方程滿足初始條件例3的特解。解該方程不顯含y，所以令此時(shí)代入原方程得：或兩邊積分得：即把初始條件代入得：所以再積分得：把初始條件代入得：于是所求的特解為：例4設(shè)有一均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索只受重力的作用而下垂。試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線。解設(shè)繩索的最底點(diǎn)為A。取Y軸通過點(diǎn)A鉛直向上，并取X軸水平向右。且|OA|等于某個(gè)定值。設(shè)繩索曲線的方程是：y=y(x).oxyMHTA考察繩索上點(diǎn)A到另一點(diǎn)M(x,y)間的一段弧AM，設(shè)其長為s。假設(shè)繩索的單位長重為.則弧AM的重量為。由于弧AM的受力平衡，所以有：兩式相除，得：由于代入上式得：兩邊微分得：設(shè)|OA|=a，則初始條件為：下面我們解方程。方程屬于的類型。設(shè)則代入方程并分離變量得：兩邊積分，得：代入初始條件得：代入上式得：即兩邊積分，得：代入初始條件得：于是繩索的形狀可有曲線方程來表示。這曲線叫做懸鏈線。返回三、型求得其解為原方程通解為特點(diǎn)：解法：例5求微分方程的通解。解該方程不明顯的含自變量x，設(shè)則代入方程得：在時(shí)，約去p并分離變量得兩邊積分得即或再分離變量并積分得或例6一個(gè)離地面很高的物體，受地球的引力的作用由靜止開始落向地面。求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間（不計(jì)空氣阻力）。解如右圖所示，設(shè)物體的質(zhì)量為m，物體開始下落時(shí)與地球中心的距離為l，地球的半徑為R，在時(shí)刻t物體所在位置為y=y（t）。于是速度為：由萬有引力定律得：或其中k、M分別是引力常數(shù)、地球的質(zhì)量。由于地面的加速度為-g，即代入上式得于是方程變?yōu)椋撼跏紬l件為：這是一個(gè)典型的不顯含t的微分方程。令則……(*)代入(*)并分離變量得:兩端積分，得：代入初始條件得：于是令y=R，就可以得到物體到達(dá)地面時(shí)的速度。負(fù)號(hào)表示速度方向與y軸方向相反。下面求物體到達(dá)地面所需的時(shí)間。分離變量得：兩端積分（右端利用積分變換）得由初始條件得：于是令y=R便得到物體到達(dá)地面時(shí)所需的時(shí)間解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為例7解代入原方程得原方程通解為例8返回特點(diǎn)解法：類似于全微分方程可降低一階再設(shè)法求解這個(gè)方程.四、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程解將方程寫成積分后得通解注意:這一段技巧性較高,關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.例9返回特點(diǎn)：解法：五、齊次方程解代入原方程,得原方程通解為例10返回六、小結(jié)解法通過代換將其化成較低階的方程來求解