自動控制原理ppt2

第二節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)主要內(nèi)容

一、傳遞函數(shù)的概念

二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)引言

控制系統(tǒng)的微分方程：是在時域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。傳遞函數(shù)：對線性常微分方程進行拉氏變換，得到的系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型為傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本也是最重要的概念一、傳遞函數(shù)的概念

圖2-4所示的RC電路。

(2.13)

(2.14)消去中間變量i(t)，得到輸入ur(t)與輸出uc(t)之間的線性定常微分方程:(2.15)

圖2-4RC電路

電容的端電壓uc(t)。根據(jù)基爾霍夫定律，可列寫如下微分方程：

現(xiàn)在對上述微分方程兩端進行拉氏變換，令電容上的初始電壓uc(0)=0，得:

(2.16)式中Uc(s)——輸出電uc(t)的拉氏變換；Ur(s)——輸入電壓ur(t)的拉氏變換。

由上式求出Uc(s)的表達式:

(2.17)

用式(2.67)來表征電路本身特性，稱做傳遞函數(shù)，記為：式中T=RC。顯然，傳遞函數(shù)G(s)確立了電路輸入電壓與輸出電壓之間的關(guān)系。

傳遞函數(shù)可用圖2-5表示。該圖表明了電路中電壓的傳遞關(guān)系，即輸入電壓Ur(s)，經(jīng)過G(s)的傳遞，得到輸出電壓Uc(s)=G(s)Ur(s)。

傳遞函數(shù)定義：線性（或線性化）定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞函數(shù)圖2-5傳遞函數(shù)G(S)Ur(S)Uc(S)

若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述：

(2.18)

式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，a0，a1，…an，b0，b1，…，bm是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。

令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始條件為零時，對式(2.18)進行拉氏變換，可得到s的代數(shù)方程：[ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s)=[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)由傳遞函數(shù)的定義，由式(2.18)描述的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：式中

M(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0為傳遞函數(shù)的分子多項式；D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0為傳遞函數(shù)的分母多項式。(2.19)

二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式(2.19)可知，傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m低于或等于分母的階數(shù)n（m≤n），且所有系數(shù)均為實數(shù)。

2.傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件無關(guān)。

(2.20)

3.傳遞函數(shù)的零、極點分布圖也表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能。將式(2.19)中分子多項式及分母多項式因式分解后，寫為如下形式：圖2-6

G(s)=零極點分布圖

4.若取式(2.19)中s=0，則：常稱為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)）。從微分方程式(2.18)看，S=0相當于所有導(dǎo)數(shù)項為零，方程蛻變?yōu)殪o態(tài)方程

或b0/a0恰為輸出輸入時靜態(tài)比值。5.傳遞函數(shù)無法全面反映信號傳遞通路中的中間變量。多輸入多輸出系統(tǒng)各變量間的關(guān)系要用傳遞函數(shù)陣表示。

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)從動態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來看可以分為以下幾種基本環(huán)節(jié)，也就是典型環(huán)節(jié)。

（一）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K

(2.21)

輸出量與輸入量成正比，比例環(huán)節(jié)又稱為無慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。圖2-7比例環(huán)節(jié)

圖2-7(a)所示為一電位器，輸入量和輸出量關(guān)系如圖2-7(b)所示。

(a)(b)（二）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)：

(2.22)

當環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時，環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，如圖2-8(a)所示。式中

K——環(huán)節(jié)的比例系數(shù)；

T——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。

圖2-8

慣性環(huán)節(jié)

（三）積分環(huán)節(jié)

它的傳遞函數(shù)為:

(2.23)

當積分環(huán)節(jié)的輸入為單位階躍函數(shù)時，則輸出為t/T，它隨著時間直線增長。T稱為積分時間常數(shù)。T很大時慣性環(huán)節(jié)的作用就近似一個積分環(huán)節(jié)。圖2-9(b)為積分調(diào)節(jié)器。積分時間常數(shù)為RC。

圖2-9

積分環(huán)節(jié)（四）微分環(huán)節(jié)

理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為:G(s)=Ts

(2.24)

輸入是單位階躍函數(shù)1(t)時，理想微分環(huán)節(jié)的輸出為c(t)=Td(t)，是個脈沖函數(shù)。

在實際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，它的傳遞函數(shù)為：

理想微分環(huán)節(jié)示于圖2-10(a)微分運算放大器。(2.25)

它由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成，如圖2-10(b)所示。在低頻時近似為理想微分環(huán)節(jié)，否則就有式(2.25)的傳遞函數(shù)。圖2-10

微分環(huán)節(jié)（a）(b)（五）振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

(2.26)式中wn

---無阻尼自然振蕩頻率，wn=1/T；z——阻尼比，0＜z＜1。圖2-11所示為單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)曲線。圖2-11

振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線

（六）延滯環(huán)節(jié)

延滯環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，t稱為延滯時間（又稱死時）。具有延滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)叫做延滯系統(tǒng)。如圖2-12所示，當輸入為階躍信號，輸出要隔一定時間t

后才出現(xiàn)階躍信號，在0＜1＜t內(nèi)，輸出為零。圖2-12延滯環(huán)節(jié)

延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可求之如下：c(t)=r(t－t)其拉氏變換為:式中x=t-t，所以延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)具有延滯環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，延滯越大，影響越大。(2.27)(七)串聯(lián)環(huán)節(jié)等效傳遞函數(shù)的求取相互間無負載效應(yīng)的環(huán)節(jié)串聯(lián)時，串聯(lián)后的等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)空載時傳遞函數(shù)的乘積。如圖2-13兩環(huán)節(jié)串聯(lián)（2.28）X1(S)X2(S)X3(S)圖2-13串聯(lián)環(huán)節(jié)的方框圖G1(S)G2(S)（八）同向并聯(lián)環(huán)節(jié)等效傳遞函數(shù)的求取環(huán)節(jié)同向并聯(lián)時，并聯(lián)后的等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個同向并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和，如圖2-14G1(S)G2(S)X1(S)X2(S)X3(S)X4(S)++圖2-14同向并聯(lián)環(huán)節(jié)方框圖傳遞函數(shù)：（九）反饋回路傳遞函數(shù)的求取G1(S)G2(S)X1(S)X2(S)Y(S)E(S)+-圖2-15反饋回路方框圖反饋回路方框圖如圖2-15傳遞函數(shù)：正反饋回路：G1G2G1G2G1G2GHG1G2幾種傳遞函數(shù)的等效關(guān)系：四、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)方框圖如圖2-16所示圖中:R(S)為控制信號，F(xiàn)(S)為擾動信號，C(S)為被控信號，為偏差信號的拉氏變換。G1(S)、G2(S)、H(S)為前向通道和反饋通道的傳遞函數(shù)--圖2-16控制系統(tǒng)方框圖Y(S)X1(S)X2(S)求得被控信號對于控制信號的閉環(huán)傳遞函數(shù)：其中被控信號對于擾動信號的閉環(huán)傳遞函數(shù):偏差信號對于控制信號的閉環(huán)傳遞函數(shù)：反饋系統(tǒng)的特征方程：第三節(jié)

控制系統(tǒng)方框圖及其簡化提綱：

一

、控制系統(tǒng)的方框圖

二、控制系統(tǒng)方框圖的簡化引言：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，需要對微分方程組或經(jīng)拉氏變換后的代數(shù)方程組進行消元。而采用方框圖（結(jié)構(gòu)圖）或信號流圖，更便于求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，還能直觀地表明輸入信號以及各中間變量在系統(tǒng)中的傳遞過程。因此，方框圖和信號流圖作為一種數(shù)學(xué)模型，在控制理論中得到了廣泛的應(yīng)用。一

、控制系統(tǒng)的方框圖定義

定義：應(yīng)用函數(shù)方框?qū)⒖刂葡到y(tǒng)的全部變量聯(lián)系起來以描述信號在系統(tǒng)中流通過程的圖示，稱控制系統(tǒng)方框圖。方框圖也是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，它實際上是數(shù)學(xué)模型的圖解化。控制系統(tǒng)可用函數(shù)方框、相加點、分支點構(gòu)成的方框圖表示，如圖2-17。圖2-17反饋系統(tǒng)方框圖G1(S)G2(S)R(S)C(S)Y(S)E(S)+-相加點方框分支點相加點：對信號求和的點；分支點：一個信號同時進入兩個以上方框或相加點時的分離點。

箭頭表示信號傳遞方向。二、寫出組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)的微分方程

求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，畫出個體方框圖

從相加點入手，按信號流向依次連接成整體方框圖，即系統(tǒng)方框圖

繪制方框圖的步驟舉例：畫出圖2-18RC網(wǎng)絡(luò)運動特性的方框圖。

圖2-18，RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程式為:對上面二式進行拉氏變換，得:

圖2-18RC網(wǎng)絡(luò)

(2.29)(2.31)將式(2.29)表示成:(2.30)1/R1/CS-U1(S)+U2(S)I(S)U2(S)1/R-U1(S)+U2(S)I(S)1/CSI(S)U2(S)由式和式畫出相應(yīng)函數(shù)方框，如圖2-18（a）和（b）所示，最后，按信號流向?qū)⑸狭袃珊瘮?shù)方框連接起來，畫出相加點和分支點即得圖（c）的描述RC電路運動特性的方框圖。（a）（b）（c）圖2-18

RC電路運動特性的方框圖1．分支點的移動規(guī)則根據(jù)分支點移動前后所得的分支信號保持不變的等效原則，可將分支點順著信號流向或逆著信號流向移動。（1）前移三、方框圖化簡規(guī)則圖2-19分支點前向移動（2）后移圖2-20分支點后向移動2．相加點移動規(guī)則（1）前移圖2-21相加點前移（2）后移圖2-21相加點后移相加點移動前后，分出支路信號保持不變。結(jié)論：相加點前移時，必須在移動的相加支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)方框；相加點后移時，必須在移動的相加支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框。分支點移動前后，分支路信號是保持不變的。結(jié)論：分支點前移時，必須在分出支路串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框；分支點后移時，必須在分出支路串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)方框。3．等效單位反饋變換規(guī)則

圖2-22等效單位反饋變換G2(S)G1(S)++R(S)C(S)R(s)1G2(S)G2(S)G1(S)++C(S)4、同向并聯(lián)環(huán)節(jié)易位圖2-23同向并聯(lián)環(huán)節(jié)易位4．交換或合并比較點原則圖2-24交換、合并比較點應(yīng)用方框圖簡化基本規(guī)則簡化后所得最簡形式，可根據(jù)下列兩項要求檢驗簡化的正確性：（1）前向通道中傳遞函數(shù)的乘積保持不變；（2）反饋回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。簡化方框圖求總傳遞函數(shù)的一般步驟1、確定系統(tǒng)輸入和輸出量，若有多個輸入量（作用在不同位置），則必須分別對每個輸入量逐個進行結(jié)構(gòu)變換，求得各自的傳遞函數(shù)。對于多個輸出量的情況也應(yīng)分別變換。2、若方框圖中有交叉關(guān)系，應(yīng)運用等效變換法則先將交叉消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。3、對于多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。例：圖2-25電路，試繪制其方框圖，并通過等效簡化求取傳遞函數(shù)U2(S)/U1(S)

1R2RR3R4i1i2i3i4C3U1U2C1C2U3U4圖2-25電路圖圖2-26模擬控制器電路圖例：圖2-26是一個模擬控制器的電路示意圖。1）建立該控制器的結(jié)構(gòu)圖；2）求閉環(huán)傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)；3）當R1=R2=R3=R4=100KΩ；；輸入，求的穩(wěn)態(tài)輸出。

例：

簡化圖2-27所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)GB(s)〔即C(s)/R(s)〕。圖2-27多回路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：

將綜合點后移，然后交換綜合點的位置，將圖2-27化為圖2-28(a)。然后，對圖2-28(a)中由G2，G3，H2組成的小回路實行串聯(lián)及反饋變換，進而簡化為圖2-28(b)。圖2-28圖2-27系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的變換第四節(jié)控制系統(tǒng)的信號流圖（一）信號流圖的定義信號流圖中節(jié)點代表系統(tǒng)變量（或信號），兩節(jié)點間用標明信號流向的定向線段連接，其上標出兩變量間的傳遞函數(shù)。信號流圖是由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。下面介紹幾個常用術(shù)語：

x1x2x3x3x4a11輸入節(jié)點（源點）混合節(jié)點回路輸入節(jié)點（源點）輸出節(jié)點（肼點）圖2-29信號流圖一、控制系統(tǒng)的信號流圖

（1）節(jié)點：表示變量或信號的點稱節(jié)點，用符號“”表示。（2）傳輸：兩節(jié)點間的增益或傳遞函數(shù)稱傳輸。（3）支路：連接兩個節(jié)點并標有信號流向的定向線段稱支路，支路的增益是傳輸。（4）輸入節(jié)點（源點）：只有輸出支路的節(jié)點稱為輸入節(jié)點。它一般表示系統(tǒng)的輸入變量。（5）輸出節(jié)點（肼點）：只有輸入支路的節(jié)點稱為輸出節(jié)點。它一般表示系統(tǒng)的輸出變量。（6）混合節(jié)點

既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點稱為混合節(jié)點。x1x2x3x3x4a11輸入節(jié)點（源點）混合節(jié)點回路輸入節(jié)點（源點）輸出節(jié)點（肼點）圖2-29信號流圖（7）通路

從某一節(jié)點開始沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點所構(gòu)成的路徑稱為通路。通路中各支路增益的乘積叫做通路增益。有開通路和閉通路兩種。（8）前向通路

是指從輸入節(jié)點開始并終止于輸出節(jié)點且與其它節(jié)點相交不多于一次的通路。該通路的各增益乘積稱為前向通路增益。（9）回路

通路的終點就是通路的起點，并且與任何其它節(jié)點相交不多于一次的通路稱為回路?；芈分懈髦吩鲆娴某朔e稱為回路增益。（10）不接觸回路一信號流圖有多個回路，各回路之間沒有任何公共節(jié)點，則稱為不接觸回路，反之稱為接觸回路。x1x2x3x3x4a11輸入節(jié)點（源點）混合節(jié)點回路輸入節(jié)點（源點）輸出節(jié)點（肼點）圖2-29信號流圖（二）信號流圖的繪制方法信號流圖可以根據(jù)系統(tǒng)微分方程繪制，也可以由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖按照對應(yīng)關(guān)系得出。1、根據(jù)微分方程繪制例：已知某控制系統(tǒng)運動方程的拉氏變換為：其中：、分別為系統(tǒng)輸入、輸出信號的拉氏變換。2、根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖

圖2-30多回路系統(tǒng)x1x2x3x4x5x6x7

（三）用梅森(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù)借助于梅遜公式，不經(jīng)任何結(jié)構(gòu)變換，便可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

計算信號流圖輸入輸出節(jié)點間總增益的梅森公式的表達式為：P=P,G(s)為待求的總傳遞函數(shù)（總增益）。(2.32)式中Δ——稱為信號流圖的特征式，且(2.33)

n——從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點所有前向通路的條數(shù)；Pk——從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點第k條前向通路的增益；Dk——在Δ中，將與第k條前向通路相接觸的回路除去后所余下的部分的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余子式；

∑Li——所有各回路的回路增益之和；∑LiLj——所有兩兩互不接觸回路的回路增益乘積之和；∑LiLjLk——所有三個互不接觸回路的增益乘積之和；在回路增益中應(yīng)包含代表反饋極性的正、負符號。

圖2-30（b）中共有四個回路，故：

四個回路中，只有Ⅱ、Ⅲ回路互不接觸，沒有重合的部分。

而故可得特征式：

圖2-30（b）中只有一條前向通路，故P1=G1G2G3G4G5G6由于所有回路均與前向通路相接觸，故余子式D1=1。

圖2-30（b）系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)為：圖2-31系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例：求圖2-31所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解:

回路有四個：L1=-G1G2H1，L2=-G2G3H2，

L3=-G1G2G3，L4=-G1G4。回路中L2與L4不接觸，L2L4=（-G2G3H2）（-G1G4）因而特征式：

D=1-L1-L2-L3-L4+L2L4

=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G1G2G3G4H2有兩條前向通路，故k=2。P1=G1G2G3，與每個回路均有接觸，P1的余子式Δ1=1；P2=G1G4，與回路L2=-G2G3H2不接觸，P2