自動(dòng)控制原理及應(yīng)用課件(第五章)

自動(dòng)控制原理及應(yīng)用清華大學(xué)出版社董紅生主編第5章控制系統(tǒng)的頻域分析法本章小結(jié)5.4自動(dòng)控制系統(tǒng)的應(yīng)用舉例5.3自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本要求5.2自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類5.1系統(tǒng)頻率特性的基本概念

教學(xué)目標(biāo)：了解系統(tǒng)頻率特性的基本概念；掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性；熟悉系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制方法；掌握利用開環(huán)頻率特性判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；理解頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系。

5.1系統(tǒng)頻率特性的基本概念

5.1.1頻率特性的定義

在正弦輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為頻率響應(yīng)，系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)之間的關(guān)系稱為頻率特性。下面以RC電路為例分析系統(tǒng)頻率特性。RC電路如圖5-1所示。設(shè)RC電路的初始條件為0，其傳遞函數(shù)為圖5-1RC電路式中，T=RC為電路的慣性時(shí)間常數(shù)。設(shè)輸入為正弦電壓信號(hào)式中，

對(duì)應(yīng)的拉普拉斯變換為

則有

進(jìn)行拉普拉斯逆變換，可得輸出量的時(shí)域表達(dá)式為

顯然，c(t)表達(dá)式中第一項(xiàng)是輸出的暫態(tài)分量，當(dāng)t→∞

時(shí)，暫態(tài)分量趨向于0；第二項(xiàng)是輸出的穩(wěn)態(tài)分量。

因此，RC電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表示為

可見，當(dāng)電路輸入為正弦信號(hào)時(shí)，輸出電壓的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(頻率響應(yīng))仍是一個(gè)正弦信號(hào)，其頻率和輸入信號(hào)相同，但幅值和相角發(fā)生了變化，幅值衰減為原來(lái)，相位滯后了

，且均為

的函數(shù)。將輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和輸入正弦信號(hào)用復(fù)數(shù)向量表示，則有

則它們的比值為式中，

可見，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的比值不僅與電路參數(shù)T有關(guān)，而且與頻率

有關(guān)，稱為RC電路的頻率特性。

稱為幅頻特性，它是輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的幅值之比，反映了頻率特性的幅值與頻率的關(guān)系；

稱為相頻特性，它是輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的相角之差，反映了頻率特性的相位與頻率的關(guān)系。在相應(yīng)的坐標(biāo)系下繪制幅頻特性和相頻特性，如圖5-2(a)、(b)所示。由圖可見，當(dāng)角頻率

較低時(shí)，輸出幅值衰減的不大，相位滯后不多，但隨著角頻率

的增加，輸出幅值衰減加劇，直至趨近于零，相位滯后趨于-90°。

(a)幅頻特性(b)相頻特性圖5-2RC電路的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性定義為：線性系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))在正弦輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比。系統(tǒng)的頻率特性分為幅頻特性和相頻特性，又稱為幅相特性。設(shè)n階線性穩(wěn)定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其中，s1,s2,…,sn為n個(gè)互異的閉環(huán)特征根。當(dāng)時(shí)，則有取拉普拉斯逆變換得

系統(tǒng)輸出響應(yīng)為由于系統(tǒng)是穩(wěn)定的，閉環(huán)特征根s1,s2,…,sn的均具有負(fù)實(shí)部，當(dāng)t→∞時(shí)，c(t)表達(dá)式中的第一項(xiàng)逐漸趨于0，即為系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)最終的穩(wěn)態(tài)輸出為

在極坐標(biāo)下，和關(guān)于橫軸對(duì)稱，則有

式中，,為待定系數(shù)。其中(5-11)式(5-14)表明：線性系統(tǒng)的輸入端加一頻率為

正弦信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值是與輸入同頻率的正弦信號(hào)，其幅值和相位是頻率

的函數(shù)。穩(wěn)態(tài)輸出幅值與輸入幅值之比為|G(j)|；穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位相差∠G(j)。代入式(5-11)，則有

(5-14)根據(jù)頻率特性的定義，則有系統(tǒng)的幅頻特性

事實(shí)上，只要將系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的s用j

代替，便可得到系統(tǒng)的頻率特性，即有可見，系統(tǒng)頻率特性和系統(tǒng)傳遞函數(shù)之間存在直接的內(nèi)在聯(lián)系。頻率特性G(j

)是傳遞函數(shù)G(s)的一種特殊形式，它和系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣都反映了系統(tǒng)的固有特性。

系統(tǒng)的相頻特性系統(tǒng)的頻率特性

頻率特性G(j

)是

的復(fù)變函數(shù)，既可分解為幅頻特性和相頻特性，也可分解為實(shí)頻特性和虛頻特性，即有式中，

5.1.2頻率特性的性質(zhì)頻率特性的性質(zhì)主要包括以下幾個(gè)方面。(1)頻率特性描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定，則頻率特性就完全確定。因此，頻率特性也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。(2)頻率特性的定義為線性系統(tǒng)正弦輸入作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入的復(fù)數(shù)比。因此，頻率特性是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。(3)G(j

)、A(

)和(

)都是頻率

的函數(shù)，并隨頻率的改變而改變，與輸入幅值無(wú)關(guān)。(4)頻率特性反映了系統(tǒng)性能，不同的性能指標(biāo)對(duì)系統(tǒng)頻率特性提出不同的要求。反之，根據(jù)系統(tǒng)的頻率特性可確定系統(tǒng)的性能指標(biāo)。(5)大多數(shù)實(shí)際控制系統(tǒng)的輸出幅值A(chǔ)(

)隨頻率

的升高而衰減，呈現(xiàn)低通濾波器的特性。(6)頻率特性一般適用于線性系統(tǒng)(元件)的分析，但也可推廣到某些非線性系統(tǒng)的分析。5.1.3頻率特性的圖形表示常用的頻率特性曲線有以下兩種。

1．幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線以

為參變量，將幅頻特性A(

)和相頻特性(

)表示在復(fù)數(shù)平面上，復(fù)平面上的模值表示幅頻值，幅角表示相頻值，實(shí)軸正方向?yàn)橄嘟橇愣染€。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為正角度，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為負(fù)角度。幅相頻率特性曲線也稱奈奎斯特(Nyquist)圖(簡(jiǎn)稱奈氏圖)或極坐標(biāo)圖。實(shí)際中常采用概略繪圖方法。其作圖方法是：取起點(diǎn)(

=0)，終點(diǎn)(

=∞)兩點(diǎn)及0<

<∞之間的一些特殊點(diǎn)，如轉(zhuǎn)折頻率(

=1/T)處及與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，計(jì)算這些點(diǎn)處的幅頻值和相頻值，在幅相平面上找出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線將它們連接起來(lái)。當(dāng)頻率

從零變到無(wú)窮大時(shí)，幅相頻率特性向量終端的運(yùn)動(dòng)軌跡，即為幅相頻率特性曲線。RC電路的頻率特性為

取

=0、

=∞及

=1/T點(diǎn)，分別計(jì)算這三點(diǎn)處的幅頻值和相頻值如下：當(dāng)

=0時(shí)，

繪制的幅相頻率特性曲線如圖5-3所示。圖中，|OA|=0.707，=-45。。當(dāng)

=∞時(shí)，

當(dāng)

=1/T時(shí)，

圖5-3RC電路的幅相頻率特性曲線

2．對(duì)數(shù)頻率特性曲線

對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德(Bode)圖，包括對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩幅圖。對(duì)數(shù)幅頻特性的橫坐標(biāo)表示頻率

，按

的對(duì)數(shù)(lg

)分度，稱為對(duì)數(shù)分度，單位為弧度/秒(rad/s)。頻率

每變化10倍，稱為10倍頻程，記作dec?？v坐標(biāo)表示幅頻特性A(

)的對(duì)數(shù)值，按線性分度，單位為分貝(dB)，記作L(

)，有其坐標(biāo)如圖5-4所示。圖中的橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度，為了讀數(shù)方便，仍以角頻率

的真值標(biāo)注。橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度后，對(duì)

而言是不均勻的，但對(duì)lg

而言卻是均勻的。由于橫軸以對(duì)數(shù)分度，故其零頻率在線性分度的負(fù)無(wú)窮處。圖中的縱坐標(biāo)采用線性分度，A(

)每變化10倍，L(

)變化20dB。對(duì)數(shù)相頻特性的橫坐標(biāo)和對(duì)數(shù)幅頻特性的橫坐標(biāo)相同，其縱坐標(biāo)表示相角變化(

)，按線性分度，單位是度(°)。

在繪制對(duì)數(shù)幅頻特性時(shí)，常用漸近線(分段直線)來(lái)近似精確曲線，大大簡(jiǎn)化了頻率特性的計(jì)算和繪制。圖5-4對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)幅頻特性采用頻率

的對(duì)數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮，可在一張圖紙上清楚地畫出頻率特性的低、中、高頻段的特性。(2)采用對(duì)數(shù)幅頻特性將幅值的乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算，可以簡(jiǎn)化圖形的處理和分析計(jì)算。(3)對(duì)數(shù)幅頻率特性曲線是建立在漸近線基礎(chǔ)上的，可以利用簡(jiǎn)便的方法來(lái)繪制近似的幅頻特性曲線。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1．比例(放大)環(huán)節(jié)利用頻域分析法研究控制系統(tǒng)的性能，必須掌握幾種典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性和對(duì)數(shù)頻率特性的繪制方法及其特點(diǎn)。

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為

顯然，頻率特性與頻率

無(wú)關(guān)。幅相頻率特性是實(shí)軸上的一個(gè)K點(diǎn)，奈氏圖如圖5-6所示。對(duì)數(shù)幅頻特性是一條高度為20lgK且平行于橫軸的直線，當(dāng)K>1時(shí)，L(

)的值為正，當(dāng)K<1時(shí)，L(

)的值為負(fù)。對(duì)數(shù)相頻特性

(

)是與線(橫軸)重合，伯德圖如圖5-7所示。圖5-6比例環(huán)節(jié)的奈氏圖

圖5-7比例環(huán)節(jié)的伯德圖2.積分環(huán)節(jié)理想積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為

顯然，理想積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性的特點(diǎn)是A(

)與頻率

成反比，而(

)恒為。奈氏圖如圖5-8所示，當(dāng)

從0→∞時(shí)，幅頻特性由負(fù)虛軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于原點(diǎn)。頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為

理想積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性L(

)是在

=1處穿過0dB線(橫軸)，斜率為-20dB/dec的直線。對(duì)數(shù)相頻特性是一條平行與橫軸的直線，其縱坐標(biāo)為。伯德圖如圖5-9所示。

圖5-8理想積分環(huán)節(jié)的奈氏圖

圖5-9理想積分環(huán)節(jié)的伯德圖

1.4自動(dòng)控制系統(tǒng)的應(yīng)用舉例若積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為

對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為對(duì)數(shù)幅頻特性L(

)是一條斜率為每10倍頻程下降20dB的直線。當(dāng)Ti=1，即為理想積分環(huán)節(jié)時(shí)，L(

)直線過橫軸

=1點(diǎn)，當(dāng)Ti≠1時(shí)，L(

)直線過橫軸點(diǎn)。對(duì)數(shù)相頻特性與理想積分環(huán)節(jié)相同。對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-10所示。圖5-10積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性若有ν個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)在一起，即

頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為顯然，其對(duì)數(shù)幅頻特性L(

)是一條在

=1處穿過0dB線(橫軸)，斜率為-ν20dB/dec的直線，對(duì)數(shù)相頻特性是通過-90°且平行于橫軸的直線。

3．微分環(huán)節(jié)顯然，理想微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性的特點(diǎn)是A(

)與頻率

成正比，而(

)恒為。奈氏圖如圖5-11所示，當(dāng)

從0→∞時(shí)，幅頻特性與正虛軸重合。

理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為

頻率特性為幅頻特性和相頻特性分別為對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為

理想微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性L(

)是一條在

=1處穿過0dB線(橫軸)，斜率為20dB/dec的直線。對(duì)數(shù)相頻特性是一條平行與橫軸的直線，其縱坐標(biāo)為。伯德圖如圖5-12所示。圖5-11微分環(huán)節(jié)的奈氏圖圖5-12微分環(huán)節(jié)的伯德圖

若微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

伯德圖對(duì)稱于橫軸。對(duì)數(shù)幅頻特性L(

)是一條斜率為20dB/dec的直線。當(dāng)Td

=1，即為理想微分環(huán)節(jié)時(shí)，L(

)直線過橫軸

=1點(diǎn)；當(dāng)Td

1時(shí)，L(

)直線過橫軸

=1/Td點(diǎn)。對(duì)數(shù)相頻特性與理想微分相同。對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-13所示。

頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為圖5-13微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性4．一階慣性環(huán)節(jié)

一階慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為

頻率特性為幅頻特性和相頻特性分別為

對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為

可知，當(dāng)

=0時(shí)，A(

)=1，(

)=0°，

逐漸增大，A(

)逐漸單調(diào)減小，(

)沿滯后方向逐漸增大。當(dāng)

→∞時(shí)，A(

)=0，(

)=-90°，在

=1/T處，A(

)=，(

)=-45°。經(jīng)過簡(jiǎn)單運(yùn)算可將一階慣性環(huán)節(jié)表示為圓的方程，即有

可見，慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性的特點(diǎn)是一個(gè)以(0.5,j0)為圓心，0.5為半徑，位于第四象限的半圓，奈氏圖如圖5-14所示。式中，

為實(shí)頻特性；

為虛頻特性圖5-14慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖

一階慣性環(huán)節(jié)的幅值隨

的增加而減小，具有低通濾波特性，一階慣性環(huán)節(jié)的相位隨

的增加而相位滯后增大，最大可達(dá)-90°，是一個(gè)相位滯后環(huán)節(jié)。采用漸近線近似表示一階慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性。在低頻段時(shí)，即

T<<1，可近似認(rèn)為

T=0，則L(

)≈20lg1

=0dB，是一條0dB的水平線，稱為低頻漸近線。在高頻段時(shí)，即

T>>1，可近似取L(

)≈20lg1-20lg

T=-20lg

T，是在

=1/T處穿過0dB線，斜率為-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。兩條漸近線在

=1/T處相交，交點(diǎn)頻率為

=1/T，稱為轉(zhuǎn)折頻率或交接頻率。采用漸近線表示對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和精確曲線必然存在一定的誤差，其誤差如表5-1所示。由表可知，在轉(zhuǎn)折頻率

=1/T處誤差達(dá)到最大值為-3dB。

如需要精確曲線，可按表5-1，在

=0.1/T~10/T范圍內(nèi)加以修正。

繪制對(duì)數(shù)相頻特性時(shí)，可給定若干

值，逐點(diǎn)求出(

)的值，再用光滑曲線連接即可。如取

=0時(shí)，則(

)=0°，取

=1/T時(shí)，則(

)=-45°，當(dāng)→∞時(shí)，(

)=-90°。慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性的伯德圖如圖5-15所示。對(duì)數(shù)相頻特性(

)關(guān)于

=1/T，()=-45°點(diǎn)中心對(duì)稱，如表5-2所示。

圖5-15慣性環(huán)節(jié)的伯德圖

5．一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為圖5-16一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖

可知，當(dāng)

由0→∞時(shí)，A(

)由1→∞，(

)由0°→+90°，即一階微分環(huán)節(jié)是一個(gè)相位超前環(huán)節(jié)，其幅相頻率特性是在復(fù)平面中第一象限由(1,

j0)點(diǎn)出發(fā)，平行于正虛軸的一條直線，奈氏圖如圖5-16所示。一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性和一階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)。因此，它們的對(duì)數(shù)幅頻特性關(guān)于0dB線互為鏡像對(duì)稱，相頻特性關(guān)于0°線互為鏡像對(duì)稱，一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性的伯德圖如圖5-17所示，其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線也用漸近線表示，由低頻段0dB水平線折為斜率+20dB/dec的高頻段，轉(zhuǎn)折頻率為

=1/T。圖5-17一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖

對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為

可見，振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是頻率和阻尼比的二元函數(shù)。以為參變量，在幅相頻率特性上取若干(0→∞)的特殊點(diǎn)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的A()和()的值，即可畫出幅相頻率特性。6．振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

當(dāng)=0時(shí)，A()=1，()=0°，幅相頻率特性曲線為正實(shí)軸上的點(diǎn)(1，j0)；當(dāng)→∞時(shí)，A()→0，()→-180°，幅相頻率特性曲線沿負(fù)實(shí)軸的方向趨向原點(diǎn)；當(dāng)=n時(shí)，A()=1/(2)，()=-90°，幅相頻率特性曲線與負(fù)虛軸相交，值越小，曲線與負(fù)虛軸交點(diǎn)距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖5-18所示。圖5-18振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可由漸近線近似表示。在低頻段，即當(dāng)<<n=1/T時(shí)，有L()≈-20lg1=0dB，則振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻漸近線是0dB水平線；在高頻段，即當(dāng)>>n=1/T時(shí)，有L()≈-20lg2/2n=-40lgT，則振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的高頻漸近線是一條在=n=1/T處穿過0dB線，斜率為-40dB/dec的直線。兩條漸近線直線在=n=1/T處相交，構(gòu)成了振蕩環(huán)節(jié)的漸近線對(duì)數(shù)幅頻特性，轉(zhuǎn)折頻率為振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率n，漸近線對(duì)數(shù)幅頻特性與無(wú)關(guān)。振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-19所示。

圖5-19振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)=1/T時(shí)，漸近線對(duì)數(shù)幅頻特性與精確曲線的誤差為對(duì)于不同

值，上述誤差值如表5-3所示。當(dāng)

在0.4～0.7之間取值，誤差較小(<3dB)，可不用修正漸近線對(duì)數(shù)幅頻特性。當(dāng)

過小或過大時(shí)(

<0.4或

>0.7)，則應(yīng)作適當(dāng)修正。當(dāng)

<0.707時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性上出現(xiàn)“突起”峰值，稱為諧振峰值Mr，對(duì)應(yīng)的頻率稱為諧振頻率

r。

可求得諧振頻率為

由則諧振峰值Mr為振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性通過取定若干特殊點(diǎn)繪制。當(dāng)

=0時(shí)，(

)=0°；當(dāng)

=n=1/T時(shí)，(

)=-90°；當(dāng)

→∞時(shí)，(

)→-180°?？梢?，振蕩環(huán)節(jié)也是一個(gè)相位滯后環(huán)節(jié)，相位滯后隨

增加而增大，且與阻尼比

值有關(guān)，最大滯后角為-180°。

振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性隨阻尼比

不同，其在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度也不同。

越小，相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度越大，而在遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)折頻率處的變化速度越小，如圖5-19所示。7．延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性為

延遲環(huán)節(jié)的幅頻特性恒為1，與

無(wú)關(guān)，相頻特性是與

成正比的負(fù)相移。它的幅相頻率特性是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的單位圓。奈氏圖如圖5-20所示。圖5-20延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖

圖5-21延遲環(huán)節(jié)的伯德圖延遲環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條與0dB線(橫軸)重合的直線，與

和

都無(wú)關(guān)；對(duì)數(shù)相頻特性是一條隨

增大而相角滯后增大的曲線。因此，延遲環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性非常不利。延遲環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-21所示。8．非最小相位系統(tǒng)

在開環(huán)傳遞函數(shù)中不含有s右半平面的極點(diǎn)或零點(diǎn)且無(wú)延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，則稱為最小相位系統(tǒng)。

不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性完全相同，而相頻特性卻大不一樣。當(dāng)

從0→∞變化時(shí)，慣性環(huán)節(jié)相角變化為0°→-90°，而不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)相角變化為-180°→-90°。慣性環(huán)節(jié)的滯后相移最小，故稱其為最小相位系統(tǒng)。不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)稱為非最小相位系統(tǒng)，奈氏圖如圖5-22所示。不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的奈氏曲線與慣性環(huán)節(jié)的奈氏曲線關(guān)于虛軸對(duì)稱。

圖5-22不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖

不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性完全相同，而對(duì)數(shù)相頻特性則關(guān)于-90°線成鏡像對(duì)稱。不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-23所示。最小相位系統(tǒng)有一個(gè)重要性質(zhì)是其幅頻特性與相頻特性之間有唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖5-23不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的伯德圖

5.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制

5.3.1系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線的繪制

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般可表示為

系統(tǒng)頻率特性為

式中，

i,Tj為時(shí)間常數(shù)，n為系統(tǒng)的階次，ν為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，K為開環(huán)增益。系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性和相頻特性的可表示為

(1)開環(huán)幅相曲線的起始點(diǎn)。當(dāng)

→0時(shí)，開環(huán)幅相曲線的起始點(diǎn)取決于開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)(系統(tǒng)型數(shù))和開環(huán)增益K。當(dāng)

=0(0型系統(tǒng))時(shí)，開環(huán)幅相曲線在

=0時(shí)始于復(fù)平面上(K，j0)點(diǎn)；當(dāng)

=1(Ⅰ型系統(tǒng))時(shí)，開環(huán)幅相曲線始于無(wú)窮遠(yuǎn)處，曲線趨于與負(fù)虛軸平行的一條漸近線，漸近線與虛軸的距離為；當(dāng)

=2(Ⅱ型系統(tǒng))時(shí)，開環(huán)幅相曲線始于以負(fù)實(shí)軸為漸近線的無(wú)窮遠(yuǎn)處。奈氏圖的起點(diǎn)情況如圖5-24所示。圖5-24奈氏圖的起點(diǎn)(2)開環(huán)幅相曲線終止點(diǎn)。當(dāng)

→∞

時(shí)，有開環(huán)幅相曲線以-(n-m)×90方向終止于坐標(biāo)原點(diǎn)，且曲線與某坐標(biāo)軸相切。奈氏圖的終點(diǎn)情況如圖5-25所示。(n>m)圖5-25奈氏圖的終點(diǎn)(3)開環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。開環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率及交點(diǎn)處的幅值，可由求出交點(diǎn)頻率，再代入，計(jì)算出交點(diǎn)處幅值。(4)開環(huán)幅相曲線與負(fù)虛軸的交點(diǎn)。開環(huán)幅相曲線與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率及交點(diǎn)處的幅值，可由求出交點(diǎn)頻率，再代入，計(jì)算出交點(diǎn)處幅值。(5)若ν=0，n=m，則開環(huán)幅相曲線將始于實(shí)軸上某一有限點(diǎn)而止于實(shí)軸上另一有限點(diǎn)。【例5-1】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)奈氏圖。解：G(s)為0型系統(tǒng)，n-m=2

幅頻特性相頻特性起始點(diǎn)：

終止點(diǎn)：

令得，，求得則所以，曲線與虛軸交于(0,-4.71)，交點(diǎn)的頻率值為。系統(tǒng)的奈氏圖如圖5-26所示。

圖5-26例5-1系統(tǒng)奈氏圖

【例5-2】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)奈氏圖。解：G(s)為Ⅰ型系統(tǒng)，n-m=2

幅頻特性相頻特性起始點(diǎn)：

終止點(diǎn)：

因?yàn)閯t低頻開環(huán)幅頻曲線漸近線與虛軸的距離為系統(tǒng)奈氏圖如圖5-27所示。圖5-27例5-2系統(tǒng)奈氏圖

5.3.2系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)通?？杀硎緸槿舾傻湫铜h(huán)節(jié)的串聯(lián)形式，即

則系統(tǒng)的頻率特性為

系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性為繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的一般步驟如下所述。(1)將開環(huán)傳遞函數(shù)寫為各環(huán)節(jié)串聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)形式，并確定開環(huán)增益K。(2)確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并由小到大依次標(biāo)注在頻率軸上。注意，由于比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)沒有轉(zhuǎn)折頻率，可以排在最左邊。(3)繪制開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。漸近線由若干條分段直線所組成，在低頻段(

→0)時(shí)，，其中，v為積分環(huán)節(jié)數(shù)。故L(

)的低頻段斜率為-v20dB/dec的直線，其位置確定方法為：①過

=1，高度為L(zhǎng)(

)=20lgK的點(diǎn)作斜率為-v20dB/dec的直線；②當(dāng)v≥1時(shí)，令，則L(

)的低頻段或其延長(zhǎng)線與0dB線交點(diǎn)頻率為。點(diǎn)(

=1,20lgK)和點(diǎn)(,0dB)的連線，即為斜率-v20dB/dec的直線。以低頻段作為分段直線的起始段向中、高頻段延伸，每遇到一個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率就改變一次分段直線的斜率。(4)如有必要，可對(duì)繪出的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的轉(zhuǎn)折頻率及其附近(兩側(cè)各10倍頻程內(nèi))進(jìn)行適當(dāng)誤差修正，以獲得精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。(5)相頻特性曲線的繪制可根據(jù)開環(huán)相頻特性的表達(dá)式，在低頻、中頻及高頻區(qū)域中各選擇若干個(gè)頻率進(jìn)行計(jì)算，然后連成光滑曲線。

在實(shí)際工程中，對(duì)于相頻特性除了解相頻特性的大致的變化趨勢(shì)外，更關(guān)心的是L(

)和0dB線交點(diǎn)頻率

c(稱為截止頻率、穿越頻率或剪切頻率)處的相角。

1.0型系統(tǒng)對(duì)于0型系統(tǒng)

在低頻起始段時(shí)，

很小，有，則，即0型系統(tǒng)幅頻特性曲線起始段的高度為20lgKdB。0型系統(tǒng)低頻起始段的伯德圖如圖5-30所示。圖5-300型系統(tǒng)低頻起始段的伯德圖

【例5-4】0型的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的伯德圖。解：(1)系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成。系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為(2)系統(tǒng)為0型，故低頻起始段為高度20lgKdB的水平線；

(3)在橫坐標(biāo)上標(biāo)出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，即1=0.1rad/s，2=1rad/s。(4)在=1處，作高度為20lgK

dB的水平線；在1=0.1rad/s處，曲線斜率由0變?yōu)?20dB/dec；在2=1rad/s處，曲線斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，繪制出系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。(5)分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線，并將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向疊加，可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。系統(tǒng)伯德圖如圖5-31所示。圖5-31例5-4系統(tǒng)伯德圖2.Ⅰ型系統(tǒng)

對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)

Ⅰ型系統(tǒng)幅頻特性曲線的低頻起始段漸近線的斜率為-20dB/dec，且低頻段或低頻段漸近線的延長(zhǎng)線在

=1時(shí)的高度為20lgKvdB；低頻段或低頻段漸近線的延長(zhǎng)線與橫軸相交，交點(diǎn)處的頻率=Kv，如圖5-32所示。

(a)

=1位于低頻段(b)

=1位于低頻段的延長(zhǎng)線圖5-32Ⅰ型系統(tǒng)低頻起始段的伯德圖

【例5-5】Ⅰ型的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制系統(tǒng)的伯德圖。解：(1)系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)、一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成。將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即

則系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為

(2)系統(tǒng)為Ⅰ型，故低頻起始段漸近線的斜率為-20dB/dec，低頻段在=1時(shí)的高度為20lg10=20dB。(3)在橫坐標(biāo)上標(biāo)出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，即1=1rad/s，2=2rad/s，3=20rad/s。(4)找到=1處，高度為20dB的點(diǎn)，通過該點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的直線，并且在1=1rad/s、2=2rad/s、3=20rad/s處，改變線段斜率，即可繪制出系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。(5)分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線，并將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向疊加，可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。系統(tǒng)伯德圖如圖5-33所示。

圖5-33例5-5系統(tǒng)伯德圖3.Ⅱ型系統(tǒng)

對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)幅頻特性曲線的低頻起始段漸近線的斜率為-40dB/dec，且低頻段或低頻段漸近線的延長(zhǎng)線在=1時(shí)的高度為20lgKadB；低頻段或低頻段漸近線的延長(zhǎng)線與橫軸相交，交點(diǎn)處的頻率，如圖5-34所示。

(a)低頻段與橫軸相交(b)低頻段延長(zhǎng)線與橫軸相交圖5-34Ⅱ型系統(tǒng)低頻起始段的伯德圖【例5-6】某一最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線曲線如圖5-35所示。若已知a、1、2參數(shù)，試分別寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)和

=c時(shí)相角(c)的表達(dá)式。解：(1)由圖可知，該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)，由比例環(huán)節(jié)、兩個(gè)積分環(huán)節(jié)、一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成。圖5-35【例5-6】系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性

(2)寫出開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為(3)計(jì)算各環(huán)節(jié)的參數(shù)由于而則有解得于是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(4)求剪切頻率

c和(

c)由于而則有解得5.4利用頻率特性法分析控制系統(tǒng)的性能5.4.1控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù))為：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是式中，z為閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)；p為開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)；N為當(dāng)

從0～∞變化時(shí)，開環(huán)幅相特性曲線圍繞(-1,j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)(以逆時(shí)針方向?yàn)檎?。

判據(jù)說(shuō)明：

(1)若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(p=0)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是N=0，即奈奎斯特曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)。(5-57)(2)若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定(p

0)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是N=p/2。(3)開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，式(5-57)不變，只需將奈奎斯特曲線相應(yīng)頻率從

=0到

=0+順時(shí)針補(bǔ)充半徑為∞，角度為v×90°的大圓弧(v所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù))。設(shè)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(p=0)，系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性的三種情況如圖5-36所示。

(a)不包圍(-1,j0)點(diǎn)(b)包圍(-1,j0)點(diǎn)(c)過(-1,j0)點(diǎn)圖5-36系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性的3種情況

圖5-36(a)所示奈奎斯特曲線不包圍(-1,

j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；圖5-36(b)所示奈奎斯特曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N=-1，則z=p-2N=0-2×(-1)=2，不滿足奈氏判據(jù)的條件，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；圖5-36(c)所示奈奎斯特曲線正好通過(-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

開環(huán)不穩(wěn)定(p

0)和開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)的開環(huán)幅相頻率特性如圖5-37所示，其中，p為開環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，v為所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。

圖5-37(a)曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N=1，則z=p-2N=2-2×1=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；(a)p=2,v=0情況(b)p=1,v=1情況(c)p=0,v=2情況圖5-37系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性圖5-37(b)從

=0到

=0+順時(shí)針補(bǔ)充半徑為∞，角度為90°的大圓弧，曲線包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N=1/2，則z=p-2N=1-2×(1/2)=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；圖5-37(c)從

=0到

=0+順時(shí)針補(bǔ)充半徑為∞，角度為180°的大圓弧，曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N=-1，則z=p-2N=0-2×(-1)=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2.對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)利用開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱之為對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)，它實(shí)際上是奈氏穩(wěn)定判據(jù)的另一種表述形式。

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的奈氏圖和伯德圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖5-38所示，由圖可知：奈氏圖上|Gk

(j

)|=1的單位圓對(duì)應(yīng)伯德圖對(duì)數(shù)幅頻特性0dB線；奈氏圖上單位圓以外對(duì)應(yīng)伯德圖對(duì)數(shù)幅頻特性L(

)>0的部分；奈氏圖上單位圓內(nèi)部對(duì)應(yīng)伯德圖對(duì)數(shù)幅頻特性L(

)<0的部分；奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)伯德圖上相頻特性的-180°線。

(a)奈氏圖(b)伯德圖圖5-38系統(tǒng)奈氏圖和伯德圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系

若規(guī)定開環(huán)幅相特性曲線沿

增加方向，由上往下穿過(-∞,-1)的負(fù)實(shí)軸一次，稱為一個(gè)正穿越；由下往上穿過(-∞,-1)的負(fù)實(shí)軸一次，稱為一個(gè)負(fù)穿越；幅相特性曲線從(-∞,-1)的負(fù)實(shí)軸開始向下(向上)稱為半個(gè)正(負(fù))穿越。

正、負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于伯德圖上是：在L()>0的頻段內(nèi)，隨增加，相頻特性()曲線從下往上穿過-180°線，稱為()對(duì)-180°線的正穿越(相角增加)；反之，稱為負(fù)穿越(相角減少)。相頻特性()曲線從-180°線開始往上稱為半個(gè)正穿越，()從-180°線開始往下稱為半個(gè)負(fù)穿越。

對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)表述為：當(dāng)由0→∞時(shí)，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()≥0的頻段內(nèi)，相頻特性()穿越-180°線的次數(shù)N為p/2(N=N+-N-)。p為s右半平面開環(huán)極點(diǎn)數(shù)，N+為正穿越次數(shù)，N-為負(fù)穿越次數(shù)。

【例5-7】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出K=2，K=50時(shí)的伯德圖，并判斷其穩(wěn)定性。解：因v=1，故應(yīng)在()的=0+處補(bǔ)充—段從上而下、變化范圍為-90°的直線，如圖中虛線所示。當(dāng)K=2時(shí)，系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性在L()≥0的頻段內(nèi)，()不穿越-180°線，故系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)K=50時(shí)，系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性在L()≥0的頻段內(nèi)，N+=0，N-=1，N=N+-N-=-10，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。說(shuō)明隨開環(huán)增益增大K，系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。圖5-39例5-7系統(tǒng)伯德圖

3.穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度可以表征閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，即為系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)的奈奎斯特曲線G(j

)不包圍(-1,j0)點(diǎn)，而當(dāng)奈奎斯特曲線正好穿過(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此，奈奎斯特曲線靠近(-1,

j0)點(diǎn)程度表征了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。圖5-41所示為兩個(gè)系統(tǒng)的頻率特性和其對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線。

(a)穩(wěn)定性高的奈氏圖和階躍響應(yīng)(b)穩(wěn)定性低的奈氏圖和階躍響應(yīng)圖5-41系統(tǒng)頻率特性與階躍響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖5-41(a)和圖5-41(b)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)均是穩(wěn)定的，但圖5-41(a)系統(tǒng)的奈奎斯特曲線距離(-1,j0)點(diǎn)遠(yuǎn)，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性高。

規(guī)定以穩(wěn)定裕度——相角裕度

和幅值裕度Kg，作為衡量閉環(huán)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的定量指標(biāo)。

和Kg在頻率特性上的圖示如圖5-42所示。對(duì)應(yīng)于幅值A(chǔ)(

)=1(即L(

)=0)的角頻率稱為剪切頻率

c，在剪切頻率處，相頻特性距-180°線的相位差

稱為相角裕度，即對(duì)應(yīng)于()等于-180°的頻率

g處，開環(huán)幅頻特性A(g)的倒數(shù)Kg稱為幅值裕度，即

在伯德圖上，幅值裕度以分貝(dB)表示。

(a)奈氏圖表示(b)伯德圖表示圖5-42相角裕度和幅值裕度的圖示當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，

>0°稱為正相角裕度，Kg>1或20lgKg>0，稱為正幅值裕度；當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，

<0°稱為負(fù)相角裕度，Kg<1或20lgKg<0稱為負(fù)幅值裕度，如圖5-43所示。

(a)穩(wěn)定系統(tǒng)(b)不穩(wěn)定系統(tǒng)圖5-43系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度

對(duì)于最小相位系統(tǒng)只有當(dāng)相角裕度

>0°、幅值裕度Kg≥1，即Kg(dB)≥0dB時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定。為使閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能，通常要求=40°～65°，Kg≥2，即Kg(dB)≥6dB。最小相位系統(tǒng)的L()的斜率與相移()之間有唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為了保證足夠的相角裕度，在開環(huán)截止頻率c處L()的斜率應(yīng)大于-40dB/dec?！纠?-9】已知某最小相位系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-44所示，試求(1) 開環(huán)傳遞函數(shù)；(2) 開環(huán)剪切頻率c；(3)相角裕度

；(4)概步繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線()。圖5-44開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性

解：(1)求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。由L()各段斜率可知

L(

)起始段斜率為-40dB/dec，且和0dB線交于0=20rad/s，則有當(dāng)

=1時(shí)，L(

)起始段為20lg4，則有

得

1=10rad/s，

=1/1=0.1s

由圖可得，T=1/2=0.01s

因此，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(2)計(jì)算c由

可得

c=40rad/s

(3)計(jì)算相角裕度。(4)作(

)曲線如圖5-44所示。由圖可知，當(dāng)→∞時(shí)，(

)→180°，所以，Kg=∞，該系統(tǒng)具有很好的相對(duì)穩(wěn)定性。

5.4.2控制系統(tǒng)的性能分析1.三頻段與系統(tǒng)性能的關(guān)系利用開環(huán)頻率特性來(lái)分析閉環(huán)控制系統(tǒng)性能時(shí)，通常將開環(huán)頻率特性分成低、中、高三個(gè)頻率段，稱為三頻段。一般來(lái)說(shuō)，開環(huán)頻率特性的第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率之前的部分稱為低頻段；剪切(穿越)頻率c附近的區(qū)段為中頻段；中頻段以后的部分(

>10c)為高頻段。

圖5-45典型開環(huán)頻率特性的三段頻

1)低頻段低頻段特性完全取決于系統(tǒng)開環(huán)增益K和系統(tǒng)型別(開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v)。低頻段反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

低頻段對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可近似為

對(duì)數(shù)幅頻特性為

低頻段的L(

)的漸近線是以斜率為-v20dB/dec的直線，如圖5-46所示。

圖5-46低頻段頻率特性

可以從低頻段的對(duì)數(shù)頻率特性上確定開環(huán)增益K的值。1）低頻漸近線(或其延長(zhǎng)線)在

=1處，有L(1)=20lgK2）低頻漸近線或其延長(zhǎng)線交于0dB線的頻率0和開環(huán)增益K的關(guān)系為K=。

2)中頻段中頻段是指L(

)在剪切頻率

c附近的頻段，其斜率及寬度集中反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。若系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的中頻段斜率為-20dB/dec，且占有一定的頻程寬度，可近似認(rèn)為開環(huán)整個(gè)曲線為一條斜率為-20dB/dec的直線，如圖5-47所示。其對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)于單位反饋，閉環(huán)傳遞函數(shù)為

這相當(dāng)于一階系統(tǒng)，其階躍響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律變化，無(wú)超調(diào)。調(diào)節(jié)時(shí)間。圖5-47中頻段對(duì)數(shù)幅頻特性(1)

剪切頻率

c反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。若系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的中頻段斜率為-40dB/dec，且占有一定的頻程寬度，可近似認(rèn)為開環(huán)整個(gè)曲線為一條斜率為-40dB/dec的直線，如圖5-48所示。其對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

對(duì)于單位反饋，閉環(huán)傳遞函數(shù)為相當(dāng)于無(wú)阻尼的二階系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)持續(xù)振蕩，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5-48中頻段對(duì)數(shù)幅頻特性(2)

中頻段的斜率反映了系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性。通常，應(yīng)取中頻段的斜率為-20dB/dec，且需占有一定的頻程寬度。

3)高頻段高頻段特性主要由系統(tǒng)中小時(shí)間常數(shù)的環(huán)節(jié)決定，其轉(zhuǎn)折頻率和剪切頻率

c相距較遠(yuǎn)，且分貝值較小。因此，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響不大。高頻段系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的幅值大小，卻反映了系統(tǒng)對(duì)輸入端高頻干擾的抑止能力，高頻段分貝值越低，系統(tǒng)抗高頻干擾的能力越強(qiáng)。

在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的三個(gè)頻段中，低頻段決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度；中頻段決定了系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性；高頻段決定了系統(tǒng)的抗干擾能力。

2.頻率特性與系統(tǒng)性能指標(biāo)的關(guān)系1)二階系統(tǒng)開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系典型二階系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

由于在

=c處，A(c)=1，可得

求得系統(tǒng)的相角裕度為

(5-65)(5-66)相位裕度

與系統(tǒng)的阻尼比

有關(guān)，它們之間的關(guān)系曲線如圖5-49所示。

圖5-49二階系統(tǒng)

%、

與

的關(guān)系當(dāng)0<

<0.707時(shí)，其關(guān)系近似表示為

=100

比較

、

%和

的關(guān)系曲線后可以看出，

越大，

%越??；

越小，

%越大。在時(shí)域分析中，當(dāng)0<

<1時(shí)，

將式(5-65)代入上式，得

將式(5-66)代入式(5-68)，得(5-68)

(5-69)由式(5-69)可知，調(diào)節(jié)時(shí)間ts與

、c都有關(guān)。在

不變時(shí)，c越大，則ts越短。若兩二階系統(tǒng)的

相同，則它們的超調(diào)量

%大致相同，但其調(diào)節(jié)時(shí)間ts不同，c較大的系統(tǒng)，ts較短。剪切頻率c在頻率特性中是一個(gè)十分特殊的重要參數(shù)，它不僅影響系統(tǒng)的相位裕度，還影響動(dòng)態(tài)過程的調(diào)節(jié)時(shí)間。

2)閉環(huán)頻率特性及其性能指標(biāo)對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性為控制系統(tǒng)典型閉環(huán)幅頻特性曲線如圖5-51所示。衡量系統(tǒng)性能的閉環(huán)頻率指標(biāo)主要如下。(1)零頻幅值M0

。閉環(huán)幅頻特性在

=0時(shí)的值稱為零頻幅值M0，即，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。圖5-51控制系統(tǒng)的典型閉環(huán)幅頻特性(2)諧振峰值Mr。閉環(huán)幅頻特性的最大值和零頻幅值的比值稱為諧振峰值Mr。諧振峰值反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。一般而言，Mr值越大，則系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量也越大。通常希望系統(tǒng)的諧振峰值在1.1～1.4之間，相當(dāng)于二階系統(tǒng)的

為0.4<

<0.7。

(3)諧振頻率r。產(chǎn)生諧振峰值對(duì)應(yīng)的頻率稱為諧振頻率r。它在一定程度上反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的速度。r越大，則動(dòng)態(tài)響應(yīng)越快。

(4)截止頻率b。

閉環(huán)幅頻特性下降到0.707M0或零頻幅值以下3dB時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率b。

(5)頻帶寬度BW。頻率范圍0<

<b稱為頻帶寬度BW，它反映了系統(tǒng)對(duì)噪聲的濾波特性，同時(shí)也反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。BW越大，響應(yīng)速度越快。反之，BW越小，只有較低頻率的信號(hào)才易通過，則動(dòng)態(tài)響應(yīng)往往比較緩慢。

5.4.3典型控制系統(tǒng)的頻域分析1.典型Ⅰ型系統(tǒng)頻域分析典型Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖5-52所示。

圖5-52Ⅰ型系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性

Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有兩個(gè)參數(shù)，即開環(huán)增益K和時(shí)間常數(shù)T。實(shí)際上，時(shí)間常數(shù)T往往是控制對(duì)象本身固有的，能夠由調(diào)節(jié)器改變的只有開環(huán)增益K。K改變的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-53所示。由圖可以看出，典型Ⅰ型系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性隨著K值的變化而上下平移。

圖5-53K值變化的對(duì)數(shù)頻率特性

要使系統(tǒng)中頻段的斜率為-20dB/dec，應(yīng)有

c<1/T，又因?yàn)橛衏=K，所以，K<1/T或KT<1，否則，中頻段的穿越斜率為-40dB/dec，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定很不利。由c=K可知，典型Ⅰ型系統(tǒng)開環(huán)增益K越大，則剪切頻率c也越大，系統(tǒng)響應(yīng)越快。而系統(tǒng)的相角裕度為，當(dāng)c增大時(shí)，

將降低，說(shuō)明快速性與穩(wěn)定性之間的是相互矛盾的。在選擇參數(shù)時(shí)，應(yīng)折中考慮。

1)典型Ⅰ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能典型Ⅰ型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能可用不同輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)表示。對(duì)于典型Ⅰ型系統(tǒng)有Kv=K，Kp=∞、Ka=0

在不同輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差如表5-4所示。

可見，在階躍輸入下Ⅰ型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)是無(wú)差的，但在斜坡輸入下，則存在恒值穩(wěn)態(tài)誤差，且與K值成反比，在拋物線(加速度)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差是∞，故Ⅰ型系統(tǒng)不能用于具有加速度輸入的隨動(dòng)系統(tǒng)。2)典型Ⅰ型系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能典型Ⅰ型系統(tǒng)單位反饋的閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中，

且有

在Ⅰ型系統(tǒng)中KT<1，故

>0.5。在典型Ⅰ型系統(tǒng)中，取0.5<

<1。根據(jù)阻尼比

和T或K可計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。

(1) 時(shí)域指標(biāo)。超調(diào)量

上升時(shí)間

調(diào)節(jié)時(shí)間

(當(dāng)

<0.9時(shí))(2) 開環(huán)頻域指標(biāo)。剪切頻率

準(zhǔn)確的剪切頻率

相角裕度

(當(dāng)KT<1時(shí))

在0.5～1范圍的性能指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果如表5-5所示。表5-5Ⅰ型系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系參數(shù)關(guān)系KT0.250.390.50.691.0阻尼比

1.00.80.7070.60.5上升時(shí)間tr∞6.67T4.72T3.34T2.41T調(diào)節(jié)時(shí)間ts9.4T6T6T6T6T超調(diào)量

%01.54.39.516.3剪切頻率c0.24/T0.37/T0.46/T0.59/T0.79/T相角裕度

76.3°69.9°65.3°59.2°51.8°從表5-5中可以看出，若KT值較大，即

為0.5～0.6，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)快；若KT值較小，即

為0.8～1，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)超調(diào)小；當(dāng)KT=0.5時(shí)，即

=0.707，此時(shí)，2c=1/T，動(dòng)態(tài)響應(yīng)略有超調(diào)，稱為二階開環(huán)最優(yōu)模型。

2.典型Ⅱ型系統(tǒng)頻域分析典型Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖5-54所示。

可見，對(duì)數(shù)幅頻特性的中頻段以-20dB/dec的斜率穿越0dB線。系統(tǒng)含有一個(gè)重積分環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，系統(tǒng)分子上添加一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)，將系統(tǒng)的相頻特性抬到-180°線以上，保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖5-54Ⅱ型系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性顯然，有，則相角裕度為可見，

比T大得越多，則系統(tǒng)穩(wěn)定裕度越大。為了分析方便，引入一個(gè)新的變量，令

h是斜率為-20dB/dec的中頻段的寬度，稱為中頻寬。由圖5-54可以看出，，則有

由于T是系統(tǒng)固有的時(shí)間常數(shù)，可改變

調(diào)整中頻寬h，若中頻寬h給定，改變K可使開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性上下平移，從而改變了剪切頻率c。

(5-80)只有一個(gè)確定的

c或K，可以得到最小的閉環(huán)幅頻特性峰值Mr，它們之間的關(guān)系為

對(duì)應(yīng)的最小Mr峰值為

不同值h時(shí)計(jì)算出來(lái)的Mrmin值和對(duì)應(yīng)的頻率比如表5-6所示。一般取h在7～12之間，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能較好。

(5-81)表5-6不同值h最小Mr和最佳頻率比h345678910121518Mrmin2.001.671.501.401.331.291.251.221.181.141.122/c1.501.601.671.711.751.781.801.821.851.871.90c/12.02.53.03.54.04.55.05.56.58.09.51)典型Ⅱ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能典型Ⅱ型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能可用不同輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)表示。在不同輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差如表5-7所示。

表5-7Ⅱ型系統(tǒng)在不同輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號(hào)階躍輸入r(t)=A(t)斜坡輸入r(t)=At拋物線輸入r(t)=At2/2穩(wěn)態(tài)誤差00A/K可見，在階躍和斜坡輸入下，Ⅱ型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)都是無(wú)差的。在拋物線(加速度)輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差的大小與開環(huán)增益K成反比。

2)典型Ⅱ型系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能按Mr最小原則設(shè)計(jì)參數(shù)，可得出時(shí)域和頻域指標(biāo)的關(guān)系。將式(5-8