自動控制系統(tǒng)教程5

第五章頻率特性法

§5-1頻率特性極其傳遞函數(shù)的關系§5-2幅相頻率特性曲線§5-3對數(shù)頻率特性§5-4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)§5-5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率判據(jù)§5-6控制系統(tǒng)性能指標的估算

1一個典型例子：部隊過橋時不能齊步走，這是因為橋有一個固有頻率，當整齊的步伐所帶來的頻率與橋的固有頻率一致變化產(chǎn)生諧振可能導致橋塌，一涉及到頻率也就必須談到其兩個特征：幅值及相位。我們自動控制中所研究的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)也有自己的頻率特性。在設計分析它們時，首要問題是要考慮研究其穩(wěn)態(tài)特性，這就不可避免的要研究它們的頻率特性（這與固有頻率不同，是加入正弦輸入后的穩(wěn)態(tài)輸出響應）。㈠頻率特性的基本概念1．頻率是所有動態(tài)物體固有的特性§5-1頻率特性及其傳遞函數(shù)的關系22．

頻率特性問題的提出

在前幾章我們看到利用微分方程式求解控制系統(tǒng)的暫態(tài)過程，可以看出輸出量隨時間的變化能夠做到定量分析，也比較直觀。但它只對低階次（1，2階）系統(tǒng)使用起來還算方便，當系統(tǒng)越復雜階次越高、求解微分方程的計算量越大，也很難看出某個環(huán)節(jié)和參數(shù)對整個系統(tǒng)的暫態(tài)過程有怎樣的影響，特別是當系統(tǒng)的暫態(tài)特性不能滿足工作要求時很難確定應該采用什么樣的措施才能改進系統(tǒng)的暫態(tài)特性，這樣當改變參數(shù)或加入環(huán)節(jié)時就要重新計算，實在麻煩。人們在研究高階系統(tǒng)時，從工程角度出發(fā)，從時域轉向頻域來研究系統(tǒng)的動態(tài)特性。3①同頻率u1=U1sinωtu2=U2sin(ωt+ψ)②低通特性,表示隨ω變化的關系③U1，U2關系圖u1u2cR先舉一個例子來說明頻率特性的物理概念：43．頻率特性頻率特性：線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下，穩(wěn)態(tài)輸出響應與輸入信號頻率的關系特性稱為頻率特性，記作G（jω），也稱為頻率響應。一言以蔽之：系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應與輸入頻率關系特性。5就是以頻率特性為基礎對系統(tǒng)進行分析研究的方法，它在分析設計系統(tǒng)中的優(yōu)點：⑴頻率特性可通過實驗方法獲得，可以方便地研究難以建立微分方程的復雜系統(tǒng)或環(huán)節(jié)。⑵簡化高階系統(tǒng)的分析計算工作，可以用簡單圖解法去分析設計。⑶通過時域與頻域性能指標之間的關系、用頻率分析時域指標（δ，ts）等。缺點有：對高階系統(tǒng)該方法是一種近似方法，但精度能保證工程需要。二階頻率的相似性注：⑴頻率特性的實驗確定：在系統(tǒng)輸入端施加一個頻率的4.頻率特性法（頻率法）：6

下面介紹上述中出現(xiàn)的兩個概念：頻率特性的兩個基本特征——幅頻特性、相頻特性幅頻特性：線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下穩(wěn)態(tài)輸出幅值與輸入幅值比值隨信號頻率的關系特性稱為幅頻特性，記作：M（ω）或│G（jω）│。相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相位差隨輸入信號頻率變化的關系特性稱為相頻特性，記作：φ（ω）或∠G（jω）。二者結合在一起就表達了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性。正弦信號，便可在系統(tǒng)輸出端得到一穩(wěn)態(tài)正弦輸出，測量輸出信號的幅值和幅角，并與輸入信號相比，便可確定出ω1下的幅頻特性M（ω1）和相頻特性φ（ω1），調整輸入信號頻率便可測得不同頻率下的M（ω1），φ（ω1），從而給出系統(tǒng)的幅相頻率特性G（jω）。7若將G（jω）寫成：P（ω）+jQ（ω），則P（ω）稱為實頻特性，Q（ω）稱為虛頻特性，

而幅頻特性：相頻特性所以

稱為幅相頻率特性的極坐標表達式。8LiU例5-1-2請分析下一貫性環(huán)節(jié)（R-L串聯(lián)電路）并寫出幅相頻率特性。

G（jω）有時又稱為動態(tài)數(shù)學模型。動態(tài)系統(tǒng)不同G（jω）也不同，因此G（jω）表征了系統(tǒng)的動態(tài)特性。傳函：9有一規(guī)律：電路的頻率特性G（jω）和傳函G（S）表達式形式相同只要用jω代替?zhèn)骱疓（S）中的算子S就可得到頻率特性G（jω）。證明：不失一般性設G（S）只含單重極點即(二)．頻率特性與傳遞函數(shù)的關系線性系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)存在以下關系①10②則系統(tǒng)輸出為再設輸入X（t）=Xsinωt，其拉氏變換X（S）=ωX/(S2+ω2)③其拉式反變換若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則Pi(i=1,2,3┉n)都具有負實部，當系統(tǒng)穩(wěn)定時，相應的瞬態(tài)分量將趨于零，所以穩(wěn)態(tài)輸出為11

④待定系數(shù)求法：12

與輸入X(t)=Xsinωt相比∣G（jω）∣與φ(ω)恰為G（jω）的幅值和相角⑤13結論：當已知系統(tǒng)傳函G（S）時，只有將Ｓ換成jω即得到系統(tǒng)的頻率特性;當已知系統(tǒng)的頻率特性（或實驗測出），只要將jω換成Ｓ就可得到系統(tǒng)的傳函。小結：兩個問題

①頻率特性及其方法②頻率特性與傳函的關系（因為傳函是我們很熟悉的，與之建立聯(lián)系便于從頻域到時域的分析）。其頻率特性如上例電路的慣性環(huán)節(jié)傳函14穩(wěn)態(tài)時作業(yè)：P2195—1(3)5—25—4

例5-1-3

G（S）=K(τs+1)/(Ts+1)15§5-2幅相頻率特性曲線

16一．基本概念即可在極坐標中以一個矢量表示，矢量長度為:

,矢量角為

（1）

代數(shù)形式.（2）

極坐標形式1．

幅相頻率特性的兩種表示形式:17

通常將極坐表與直角坐表重合在一起，取極點為直角坐標原點，取極軸為直角坐標實軸 |G(jω)| 極點φ

Q(ω1) P(ω1) Re 逆時針方向為正

182、幅相頻率特性曲線

（極坐標圖奈氏圖(vyquist)）

它是在極坐標上表示G(jω)的幅值|G(jω)|和相角Ф(ω)隨頻率改變而變化的圖。具體的講就是在上述定義的復平面上（幅值，幅角，起始方向以及旋轉正方向）當頻率ω從零變化到無窮大時，矢量G(jω)端點軌跡（走過的一條曲線）就稱為系統(tǒng)的幅頻率特性曲線。其在實虛軸上的投影為其實虛部。19ImReK（一）

比例環(huán)節(jié)傳函幅相頻率特性該環(huán)節(jié)特性是在實軸上與坐標原點距離為K的一點.

（二）

積分環(huán)節(jié)傳函 幅相頻率特性幅頻特性相率特性二．典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性20ω01M(ω)k0Ф（ω）Π/2KReImω=0ω=1可見積分環(huán)節(jié)具有恒定相位滯后且具有高頻濾波特性（三）非周期（慣性）環(huán)節(jié)傳函幅相頻率特性：幅頻特性相頻特性2101/TM()KK/0.7070()0-/4-/2Im

K/2K Re= =0 =1/T

可以證明該環(huán)節(jié)幅相頻率特性是實軸下的一個半圓，圓心為（K/2，j0），半徑為K/2。證：由曲線端點坐標，實頻特性整理后為:得證.恰為原方程.驗證是否在原軌跡上虛頻特性22結論:非周期環(huán)節(jié)幅頻特性隨ω增大而減?。幌囝l率特性隨ω增大其滯后也增大，最大滯后相角-Π/2,具有低通濾波特性.(四)

微分環(huán)節(jié):(1)

理想傳函G(s)=Ts.幅相頻率特性相位恒超前,高通濾波特性. T ω=0ω=∝ω=123ω01/T∝ω0K/0.707KφΠ/2Π/40(2)

實際傳函相頻特性幅頻特性幅相頻率特性可與慣性環(huán)節(jié)比較,它也是一個圓.具有相位超前,高通濾波特性.K/2kReIm24（五）

振蕩環(huán)節(jié):

幅相頻率特性幅頻特性相頻特性傳函25ω01/T∝MKK/20φ0-/2∏-∏Im

0 KRe

ω=0振蕩環(huán)節(jié)幅值相等，頻率特性曲線與虛軸交點的頻率即為角頻率（無阻尼自然振蕩）考查M（ω）的極值：隨著ω的變化，M（ω）可能出現(xiàn)最大值，也即M（ω）的分母出現(xiàn)極小值，令26上面分析說明：振蕩環(huán)節(jié)對不同頻率的輸入信號具有不同的放大倍數(shù)，當頻率等于某一值時，放大倍數(shù)最大，這種現(xiàn)象稱為“諧振”，發(fā)生諧振現(xiàn)象的頻率為諧振頻率,記作:當時，ω為實數(shù)有極值且唯一，因此它是M（ω），隨ω為最大值的解。27當ξ〉1時，幅相特性近似為一個半圓，與一個非周期環(huán)節(jié)相似。，沒有極值。結論：振蕩環(huán)節(jié)也是一個相位滯后環(huán)節(jié)隨ω增大而加大，最大滯后角為180度。

Im

k

ω=∞ω=0Rek/2ξ

ω=ωnω=ωr

281，

三種近似表達式：（六）延遲環(huán)節(jié)：幅相頻率特性：相頻特性：幅頻特性：傳函：292.

ω=0ω=1/τ

結論：（1）當ωt〈〈1時，準確度比較大，隨ωt增大誤差較大。（2）第三種近似值更準確些。ω=1/τ1-113.

30在應用頻率法分析如研究控制系統(tǒng)時，通常是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來（1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，（2）計算閉環(huán)頻率特性（3）估計系統(tǒng)的時域指標。所以掌握開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性的繪制方法和規(guī)律是很重要的。三開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性為什么研究如何研究開環(huán)系統(tǒng)是由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的，因此31則系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性設式中即所謂“幅值相乘，幅角相加”其幅相頻率特性有如下規(guī)律1、λ=0（0型系統(tǒng)）起始點（ω=0）為（K，J0）在ω=0處，具有垂直于實軸的切線，ω=∞處，曲線終點位于原點，相角為-n=π/2。32隨n的不同如射角不同可略。證明：ω=0處，零型系統(tǒng)幅相頻率特性具有垂直于實軸的切線。證：ω→0，ω→0Im

Re則ω趨于零時，系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性無限趨近于一個慣性環(huán)節(jié)，即：33

它是起始于k,終止于原點，圓心在（k/2,0），半徑為k/2的下半圓，因此在起始點處具有垂直于實軸的切線。由于ω→0時，無限趨近于所以原系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性在ω=0處也具有垂直于實軸的切線。隨n不同λ角不同ω→0n=1ImReω=∞n=22.λ=1（1型系統(tǒng)）ω=0時幅值為無窮大，相角為，具有平行于負虛軸的漸近線ω=∞時，幅值時，大體形狀如圖34Im

n=4

ω→0ω=∞Ren=2

ω0∞M∞0ψ－π－nπ/2類似的可給出λ=3,4,…幅相頻率特性曲線.例5-2-1繪制其開環(huán)幅相特性曲線. 解:3.λ=2(2型系統(tǒng))35

Im

-Tω=∞0Re

低頻部分:高頻部分:36當n=m時Im

n-m=3Re

n-m=2n-m=1起于實軸上某一有限點終于實軸上某一有限點O型系統(tǒng):更一般情況,若則 37Ⅰ型以上系統(tǒng)

若系統(tǒng)中開環(huán)傳函中具有零點,會對總相角具有正的”貢獻”,曲線可能出現(xiàn)彎曲,但總趨勢是順時針方向趨于原點.例:5-2-2會不會與實軸有交點

Im

ω-0τ<Tω=∞

ω->0τ>T

解：38例:5-2-3可見是由一個比例環(huán)節(jié)與一個慣性環(huán)節(jié)并聯(lián)而得,曲線為一個半圓:解：390∞k00-∞KReω=0當ω從0—>∞時M由k->0Im沿順時針單增形成一條螺旋線.例：5—2—4解：40§

5-3對數(shù)頻率特性一.對數(shù)頻率特性1.問題解出上一節(jié)介紹的系統(tǒng)開環(huán)特性是先分別求出各串聯(lián)環(huán)節(jié)的頻率特性。再按“幅值相乘，相角相加”得到的，這對于環(huán)節(jié)較少的系統(tǒng)使用還可以，圖解清楚方便，一旦環(huán)節(jié)過多，這種幅值相乘將給幅頻特性的計算與繪制帶來極大的不便。為了便于計算和繪圖，可將幅相頻率特性分成幅頻特性和相頻特性兩部分。幅頻特性采用對數(shù)表示形式，而相頻特性仍采用線性刻度。則原來的幅值相乘（除）運算便轉化為相加（減）運算。從而給計算和作圖帶來極大的方便。

412．表示方法設系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：式中對幅頻特性取對數(shù)得：42記作自動控制系統(tǒng)分析中常將上式放大20倍，即單位為分貝（dB）decibel它與幅值的對應關系可如下求：

若M(ω)＝２則坐標選取如下：采用半對數(shù)坐標紙，橫坐標w用對數(shù)刻度，縱坐標幅值和相角用線性刻度。幅值和相角分畫在兩個坐標平面上。幅頻特性和相頻特性曲線合成的圖為頻率特性的對數(shù)坐標圖或波特圖（Bode）。433．對數(shù)頻率特性的優(yōu)點（1）簡化了頻率特性的繪制工作i.

i.乘除運算化為加減運算可用分段漸近線代替精確曲線繪制對數(shù)幅頻特性和相頻特性，稍加修正就可達到足夠的精度。(2)

縮小了頻率比例尺，便于研究頻率較寬范圍的系統(tǒng)頻率特性。(3)

最小相位系統(tǒng)的頻率特性與傳函之間存在一一對應的關系，便于用實驗方法確定系統(tǒng)的傳函。(4)

可以迅速直觀的判斷出環(huán)節(jié)或參數(shù)對系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)特性的影響。（時域法不能）因此頻率特性法是工程上最常用的系統(tǒng)分析和設計方法。44二．典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性（一）比例環(huán)節(jié)0.1110ω

ω

Ψ(ω)

是一條等高度等于的直線，Ｋ＞１時；Ｋ＜１時，；Ｋ＝１時是一條０°直線。45（二）非周期環(huán)節(jié)

k只使幅頻特性上下平移，對幅頻特性的形狀及相頻特性沒有影響。故只需研究k=1時的情況（亦不失一般性）。(1)令Ｋ＝１則時即時時即時（2）

令當ω＝ω2＝10ω1時即ω2與ω1相差10倍頻程有為一斜率為-20dB/del的直線。46這樣其對數(shù)幅頻特性可用兩條漸近線近似表示，一條是低頻漸近線，零分貝線，一條是高頻漸近線，斜率為-20dB/del兩條漸近線交點（交點頻率是交接頻率）

（3）漸近線表示的最大誤差：發(fā)生在處，此時最大誤差為3dB，所以用漸近線表示已基本合乎要求，除非精度有特殊要求時，才需要在附近加以修正，修正意見P183表5-2兩頭誤差很小。

47Lm

-20dB/del

0066°/del

-45°

-90°

48（4）頻率特性可用列表線性計算的方法（）逐點繪制見表5-3，在交頻率處

曲線關斜對稱。證明：曲線關于斜對稱。證：設在lgω軸上點左右各任取一點和，且

即兩邊取

49（5）相頻特性也可用漸近線來畫低頻高頻中頻用的切線近似，該切線斜率為證：則

于是相頻特性可用三條漸近線表示，但一般揭點法（6）注：〈1〉k≠1上下移,不變〈2〉，T變化和形狀不變，只是左右移動可制成該環(huán)節(jié)特性曲線模板50（三）積分環(huán)節(jié)

（1）

LmM(ω)

4020-20dB/del

ω=k

ω

ω

k/100k/10

-90°

0Ψ(ω)

與0dB線交于ω=K或ω＝1時，積分環(huán)節(jié)在整個頻率范圍內是一條斜率為-20dB/del的直線，其相頻特性是一條-90°的水平線。51Lm

20n

ω

ω

0-90°n

(2)若n個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)則

與0dB線交于。是斜率為-20dB/dec的直線。是的水平直線。52（四）微分環(huán)節(jié)（1）理想微分

幅頻是一斜率為20dB/dec的直線，與0dB線交于

相頻特性是90度的水平線。Lm

lgω

1/10T1/T10/T

90°

ω

531/10T1/T10/T90°

45°

Ψ

1/Tω

ω

2比例微分環(huán)節(jié)

*與非周期環(huán)節(jié)幅頻關于odB線相頻關于0度線鏡向對稱。低頻漸近線odB高頻漸近線過斜率為20dB/dec.

(五)振蕩環(huán)節(jié)54低頻段時，高頻段時，（2）兩條漸近線交點

（自然振蕩角頻率）（3）我們知道ξ〈0.707時，M（ω）將出現(xiàn)一個峰值，ξ越小峰值越大，因此當ξ較小時采用漸近線法會出現(xiàn)較大誤差，必要時要修正。（1）

k=1時55Lm0.1

0.3

0.50.7ξ=1-90°

-180°

<4>相頻特性

時，漸近于0度時，漸近于-180度。

整個相頻特性斜對稱于-90度。（六）延遲環(huán)節(jié)56三．開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性1．

繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性的步驟（1）將開環(huán)傳函寫成各基本環(huán)節(jié)的乘積，確定交接頻率ω1，ω2，…，ωn，標在頻率軸上。（2）

i.對0型系統(tǒng)，低頻漸近線為，畫出高度為直線。ii.對λ型系統(tǒng)（λ≥1），低頻漸近線為-20λdB/dec它與0dB交點為可先確定出再過該點低頻漸近線。（3）

在⑴⑵基礎上之后每遇到一個交換頻率斜率改變一次，57（4）相頻特性繪制可先分別給出各環(huán)節(jié)的相頻特性再疊加。但通常都用解析法描點繪制。

當遇到環(huán)節(jié)時，斜率增加當遇到環(huán)節(jié)時，斜率增加當遇到振蕩環(huán)節(jié)時，斜率增加當遇到一重基本環(huán)節(jié)時，斜率增加k倍（k為重數(shù)）582.舉例如下：

例：5-3-1繪制對數(shù)幅相頻率特性。解：①各交接頻率為0.2，0.5，1②屬一型系統(tǒng)，畫出直線。③在處，轉折頻率為，到再次轉折頻率為，在處第三次轉折頻率為④相頻特性：59200.900.10.20.52510

0-90°

-180°

-270°

Ψ(m)L（w）

ω00.10.20.512510》104378140187223.7250.7260.32700（度）

60§5-4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)1．

概念：前面（第四章中）提過這兩個概念，即在復平面s右半面上沒有極零點的傳函稱為最小相位傳函，具有此類傳函的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，反之，成為非最小相位系統(tǒng)2．

最小相位系統(tǒng)及其物理意義具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)相角范圍最小。1/T1/ττ/Tω2Ψ3Ψ1Ψ2-90°

-180°

例：下面三個系統(tǒng)傳函分別為：0<τ<T最小0<τ<T非最小0<τ<T非最小613．特性：最小相位系統(tǒng)幅頻與相頻特性--------對應（單值）4．判斷方法（1）概念。（2）可以通過檢驗高頻段漸近線斜率和ω∞時的相角來判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。（ω∞，漸近線斜率-20dB/del，相角-90°(n—m)，是最小相位系統(tǒng)）

62非最小相位系統(tǒng)是由于系統(tǒng)中含有延遲環(huán)節(jié)或局部閉和回路不穩(wěn)定而引起的,一般會使系統(tǒng)性能變差,多數(shù)情況應盡量避免過大的相位滯后.63§5-5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率判據(jù)

(開環(huán)判斷閉環(huán))

代數(shù)判據(jù)是以系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為依據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.而實際中容易得到的是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和頻率特性。系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可用分析法給出：在不確知系統(tǒng)數(shù)學模型時還可以由實驗測得。根據(jù)頻率特性和傳函的關系以及開環(huán)傳函Go(s)與閉環(huán)特性方程1+Go(s)=0的關系就可以由開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。稱這種方法為頻率判據(jù)。1.

頻率判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（奈氏判據(jù)）64２．頻率判據(jù)的特點（１）

應用開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（２）

便于研究系統(tǒng)的參數(shù)和結構改變對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。（３）

便于分析系統(tǒng)的瞬息性能并指出改進方向。（４）

很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性。65①奈氏曲線（開環(huán)）②系統(tǒng)穩(wěn)定其特征方程根分布虛軸左側：實部為負一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)n階系統(tǒng)一、頻率判據(jù)概述66結論：相角變化系統(tǒng)穩(wěn)定③令閉環(huán)特征式開環(huán)特征式若開環(huán)穩(wěn)定所以軌跡不包圍原點

開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定若開環(huán)不穩(wěn)定P個根在右半S平面67閉環(huán)2個根在右半S平面則N---逆時針繞原點圈數(shù)，若要Z=0，即P=N，此時閉環(huán)系統(tǒng)才能穩(wěn)定。一般只繪P個開環(huán)極點在右，奈氏曲線逆繞（-1，j0）P/2圈。開環(huán)傳函含有個積分環(huán)節(jié)（1型以上）增補輔助曲線，起始于正實軸68Ngquit穩(wěn)定判據(jù)是頻率分析法的重點。二.

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)（NyquistCritorioN）１９３２年Nyquist提出了依據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)，它是一種圖解法。稱為奈氏判據(jù)。1.奈氏判據(jù)的內容：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳函Go(s)在s右半平面上有p個極點，當頻率ω從－∞變化到＋∞時，若系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性Go(jω)曲線逆時針包圍（－１，j0）點的次數(shù)N恰好等于Go(s)中位于s右半平面的極點數(shù)p，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。69數(shù)學表達式：Z=P-N；Z=閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)；P=開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)；N=開環(huán)頻率特性Go(jω)包圍（-1，j0）點次數(shù)，逆時針N取正；順時針包圍，N則取負。顯然有Z＝０，系統(tǒng)才穩(wěn)定。即N＝＋p逆時針包圍（－１，j０）點p圈。例５－５－１零型系統(tǒng)因為N=0P=0所以Z=0穩(wěn)定(-1,j0)ω=0-1ReReω=0ImReIm因為N=-2，P=0，則Z=2，所以不穩(wěn)定70例5-5-2ω=0ω∞因為N=+1P=1所以z=0穩(wěn)定-1K3-1K4

因為

N=0P=1Z=1不穩(wěn)定

ω=0ω∞

1.奈氏判據(jù)實用形式由于Go(jω)在ω為正值和負值時關于實軸鏡象對稱，因此，只須研究Go(jω)以０變化到＋∞時包圍（-1，j0）點的情況判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。71判斷方法：設Go(jω)在s右半平面有p個極點，當頻率ω以０變化到＋∞時，若Go(jω)曲線逆時針包圍（－１，j０）點的次數(shù)N的兩倍恰好等于p，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。其數(shù)學表達式為Z=-2N+P.N:開環(huán)頻率特性曲線ω以從０變化到＋∞時，包圍（－１，j０）點的次數(shù)，逆時針包圍取負，順時針包圍取正。一般工業(yè)上開環(huán)大部分穩(wěn)定。結論：（１）開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時（p＝０）根據(jù)奈氏判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Go(jω)曲線包圍（－１，j０）點。（２）開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時（）根據(jù)奈氏判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=2N+P,N=+P/2,即順時針包圍（－１，j０）點p／２圈。例５－５－３設最小相位系統(tǒng)開環(huán)頻率特性如下72K1-1a穩(wěn)定

-1-1

b不穩(wěn)

K2ImRec臨界穩(wěn)定

K3物理解釋：看反饋信號與干擾信號相位360度幅值（<穩(wěn)定；>不穩(wěn)定；＝臨界）（３）開環(huán)傳函中含有積分環(huán)節(jié)，增補輔助曲線。若G0(s)中包含N個積分環(huán)節(jié)，則須增補一段半徑為無窮大圓周，它起始于正實軸，順時針轉過角度后與Go(jω)的低頻段連接起來。73Im1型系統(tǒng)

ω=∞ω=0

ω∞Re-12型系統(tǒng)

3型系統(tǒng)

4）計算G(jω)曲線包圍（－１，j０）點次數(shù)的一種實用方法。由（－１，j０）點到Go(jω)曲線作一矢量（筆桿）使矢端沿曲線從ω＝０→＋∞移動，計算相角凈變化量，再除。例５－５－４二．奈氏判據(jù)的數(shù)學證明（一）數(shù)學基礎知識741．復變函數(shù)的基本概念

(1)解析：如果函數(shù)F（s）在s0及其鄰域內處處可導那么F（s）在s０解析。如果F（s）在區(qū)域D內每一點解析，則稱F（s）在區(qū)域D內解析。定理：解析函數(shù)的和，差，積，商（除分母為零點外）都是解析函數(shù)，解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)。所有多項式在復平面上是處處解析的，有理公式函數(shù)都是多項式函數(shù)］在不含分母為零的點的區(qū)域是解析函數(shù)。(2)奇點：如果F（s）在s０不解析，則稱s０為F（s）的奇點.

(3)S平面上任意一條光滑曲線，只要f（s）在這條曲線上的各點都是解析和單值的，則該曲線必可映射成f（s）平面的一條光滑曲線。

75jω

*б

б→∞*0*б

Imω=0б∞Re

0線的對應**線的對應

4)保角映射如果F（s）在s０解析且則映射F（s）在s０具有保角性，即在s平面上的兩條連續(xù)曲線相交形成一個角度θ，變換成F（s）平面上的兩條相交連續(xù)曲線夾角保持不變.（如上例）2.幅角定理（映射定理）設F（s）為兩個s多項式之比，并設F（s）有p個極點，Z個零點位于s平面某一封閉曲線內，該封閉曲線不通過F（s）任何極點或零點，則s平面上這一封閉曲線映射到f（s）平面上也是一封閉曲線。例76當變點s順時針經(jīng)過整個封閉曲線時，在F（s）平面上對應映射點的軌跡,F（s）順時針包圍原點的總次數(shù)等于（Z－p）次。該定理可以利用對數(shù)留數(shù)概念得到嚴格的證明，這里僅作一些說明。設s平面上的閉曲線Гs不通過F（s）的任何零點和極點，則在F（s）平面上也有一個閉曲線ГF與之對應。

77當Гs上的動點si沿Гs順時針方向繞引一周時：(1)

位于封閉曲線ps外的零點極點指向si的向量轉過的角度凈變化為零。(2)

位于封閉曲線ps內的零點極點指向si的向量轉過的角度凈變化為-2π（逆時針為正）(3)如果Γs只包圍f（s）的一個零點－Zi，則向量∠s＋Zi的變化量為，其他向量變化量為０。，即гF順時針繞原點轉一周。гs

гs

78

(4)

如果Γs只包圍Ｆ（s）的一個極點－pi，則向量∠(s＋pi)的變化量為－２π，其他向量變化量為０。于是∠Ｆ（s）＝－∠(s＋pi)＝２π。即∠Ｆ逆時針繞原點一周гFsi(5)如果Γs包圍Ｆ（s）的Z個零點和p個極點，則有∠Ｆ（s）＝－２πZ＋２πp＝－２π（Z－p）。即∠Ｆ順時針繞原點（Z－p）次。79（二）用幅角定理證明奈氏判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程f（s）＝１＋Go(s)=0

所以F(s)的極點是開環(huán)極點，F(xiàn)(s)零點是閉環(huán)極點閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是F(s)的根均在s平面的左側。1．奈氏圍線取Γs由整個虛軸和右半平面上的半徑為無窮大的半圓構成封閉曲線，稱為奈氏曲線。奈氏圍線包圍了F(s)=1+Go(s)在右半平面上的全部零點和極點，且不通過任何F(s)的零極點。80jω∞τs--jω6Γs的虛軸部分經(jīng)F(s)變換后便是1+Go(jω)曲線，由于實際系統(tǒng)Go(jω)曲線，由于實際系統(tǒng)Go(s)的分母階次N總是大于等于分子階次m，即N≥m，所以半徑為∞的半圓徑。F(s)映射變成

特別當N>m時Const=1.這樣奈氏圍線在F(s)平面的映射曲線就是S平面虛軸在F(s)平面的映射。2.閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點數(shù)的確定。81設F(s)在s右半平面的極點（即Go(s)在Ｓ右半平面的極點）數(shù)為Ｐ，當變點Ｓi在Ｓ平面虛軸（ω從-∞到+∞）上運時，其映射曲線F(jω)=(1+Go(jω))順時針包圍圓點的次數(shù)為Ｎ，根據(jù)幅角定理F(s)=(1+Go(s))在Ｓ右半平面的零點（即閉環(huán)極點）數(shù)為Z=N+P。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須Z=0，于是N=－P即F（jω)=1+Go(jω).逆時針包圍原點的次數(shù)應等于開環(huán)傳函Go(s)在S右半平面的極點數(shù)。

將F(s)左移一個單位便到Go（s）即Go（s）=F（s）-1F(s)平面的原點變成Go（jω）平面的（-1，j0）點，82

1+Go（jω）包圍F（s)平面原點方向和次數(shù)，就等價于G0（jω）包圍Go（s）平面的（-1，j0）點的方向和次數(shù)，于是得奈氏判據(jù)：如果系統(tǒng)開環(huán)傳函Go（s）在右s右半平面上有p個極點，為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當ω從-∞變到+∞時，Go（jω）曲線必須逆時針包圍（-1，j0）點p次。ImIm[1+Go(s)]Go(s)1ReRe1+Go(jω)Go(jω)(三)Go（s）含有位于jω軸上的極點（或零點）時的修正83虛軸上有開環(huán)零點極點時圍線修正則在原點處

在虛軸上開環(huán)極點或零點處做一個半徑為無窮小的右半圓，使奈氏圍線不通過Go（s）的零點極點，如下圖特別地，當Go（s）在原點有極點時，如Ⅰ型。原點處奈氏圍線如圖

一型圍線修正84對于二型系統(tǒng)映射成映射成映射成映射成映射成映射成85三奈氏判據(jù)的應用

例5-5-3設控制系統(tǒng)如下圖5-34試應用奈氏判據(jù)分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性與開環(huán)總增益的關系。Go(s)在右半平面無極點,即P=0。解：KCR(s)Y(s)奈氏判據(jù)除了可以用來分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性外，還可用來Ⅰ確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界參數(shù)；Ⅱ分析延遲系統(tǒng)的穩(wěn)定性。8687③繼續(xù)增大k，k>Kl時Go（jω）包圍（-1，j0）點，N=1Z=P+2N=2系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個特征根在s右半平面。可見，系統(tǒng)隨著開環(huán)增益增加，穩(wěn)定性下降。當Go（jω）通過（-1，j0）點時，有Go（jω）=-1M（ω）=1，=-180度解上述方程組可得Kρ,。這里介紹另一種算法：令①Im=Go(jω)=0②Re=Go(jω)=-1來計算123Y(s)

分析

①k較小時不包圍（-1，j0）點，N=0，Z=P+2N=0系統(tǒng)穩(wěn)定②k增大時,不變,但增大，G(jw)向外擴張，當k=Kl時Go（jω）通過（-1，j0）點,臨界穩(wěn)定。88由

得

將ωl代入(2)得

得

89當時系統(tǒng)穩(wěn)定時系統(tǒng)不穩(wěn)定例5-5-5使用奈氏判據(jù)分析調節(jié)器積分時間常數(shù)τi對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響解:開環(huán)調解器GC對象GPR(s)Y(s)90分析(1)比例調節(jié)器Im

-1Re

ω=0

無論KpK取多大，Go(jw)都不包含（-1，j0）,系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)T<Ti<∞91-1ω=0*

系統(tǒng)總是穩(wěn)定，但穩(wěn)定性不如（1）(3)τi=T

Go(jω)穿過（-1，j0）系統(tǒng)在KPK>0時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定ω=0-1

92④0<τi<TGo(jω)包圍(-1,j0)點系統(tǒng)不穩(wěn)定

ω=0*-1ω=∞可見:Go(s)中增加積分環(huán)節(jié)使Go(jω)相位滯后增加,降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。調節(jié)的積分時間常數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性有很大影響，增大對系統(tǒng)穩(wěn)定性有利。試確定使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的臨界延遲時間解：例5-5-6k>1(k<1系統(tǒng)顯然是穩(wěn)定的)當系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時有93解：p=1故為非最小相位系統(tǒng)，

例：5-5-7試用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性欲使系統(tǒng)穩(wěn)定必須使z=0即2N=Z-P=-1,G(jω)逆時針方向包圍（-1，j0）點一次。94-1Reω=0

因為p=1N=-1/2Z=0所以穩(wěn)定P=1N=0Z=1所以不穩(wěn)定

-1解：這是一個條件穩(wěn)定系統(tǒng)，k值變化，只影響Go(jω)的幅值，相角不變。1．求臨界k值（１）減小k值，使a點與（-1，j0）點重合則有k/500=1/50，k=10（2）減小k使b點與（-1，j0）點重合則有k/500=1/20，k=25ω=0*

-1例5-5-8已知：k=500時系統(tǒng)的Go(jω)曲線如圖所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。95（3）增大k使c點與（-1，j0）點重合則有k/500=1/0.05，k=1000。

2.分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性①

0<k<10G0(jω)不包圍(-1,j0)所以系統(tǒng)穩(wěn)定②

10<k<25Go(jω)包圍(-1,j0)點一次且Z=0+2*1=2右面有兩個特征根,不穩(wěn)定.③

25<k<10000Go(jω)不包圍(-1,j0)點,系統(tǒng)穩(wěn)定.④

K>10000Go(jω)包圍(-1,j0)點一次,系統(tǒng)不穩(wěn)定.96四利用對數(shù)頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.幅相頻率特性與BODE圖之間的對應關系.由于幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性之間存在著一一對應的關系,因此,很容易將奈氏推廣到對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)上.*如幅相頻率特性的(-1,j0)或M(ω)=1φ（ω）=-180對應于Bode圖中的odb線和-180線。三種簡單情況（系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定p=0）Im

Im

Im

-1Re-1Re-1

97LmM

ω

-180°

Ψ(ω)=-180°LmM<odB穩(wěn)定Ψ(ω)=-180°LmM=0臨界穩(wěn)定或LmM=odBΨ(ω)>-180°

Ψ（ω）=-180°LmM>0LmM=odBΨ(ω)<-180不穩(wěn)定982．Bode圖上的奈氏判據(jù)若系統(tǒng)開環(huán)傳函Go(s)在s右平面上有p個極點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在L（ω）〉0的所有頻率范圍內，相頻特性曲線與-180線正穿越和負穿越次數(shù)之差為p/2；Z=p+i(N--N+)若系統(tǒng)開環(huán)傳函Go(s)在s右平面無極點（開環(huán)穩(wěn)定）則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：與-180線正負穿越次數(shù)之差為零。Z=P-2(N+-N-)=P+2(N--N+)正穿越：由Go(s)平面（-1，j0）點左側的上半部穿越負實軸至下半部相應于Bode圖上在L(ω)>odb的頻率范圍內相頻特性由下向上穿越-180線，稱為正穿越。負穿越：和正穿越正好相反。993．判斷GO(jω)是否包圍（-1，j0）點的一種實用方法計算Go(jω)平面（-1，j0）點左側正負穿越次數(shù)則G0(jw)包圍(-1,j0)點的次數(shù)N可用如下式子表示：N=N+-N-(N>0時順時針包圍N次;N<0時逆時針包圍N次;N=0時不包圍（-1，j0）點。五多網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析①

先分析內網(wǎng)絡的穩(wěn)定性，判斷分內回路的右半平面的閉環(huán)極點數(shù)它們就是整個系統(tǒng)的部分位于s右半平面的開環(huán)極點100②

將內回路s右半平面的閉環(huán)極點于外回路的其他環(huán)節(jié)的s右半平面的開環(huán)極點數(shù)相加，便是位于s右半平面的開環(huán)極點數(shù)即，外回路s右半平面的開環(huán)極點數(shù)=位于s右半平面的開環(huán)極點數(shù)+其他環(huán)節(jié)s右半平面的開環(huán)極點數(shù)③

判斷外回路穩(wěn)定性六穩(wěn)定裕量1．

意義一個實際系統(tǒng)，不僅要絕對穩(wěn)定，而且還要有一定的穩(wěn)定裕量，即相對穩(wěn)定性，以便Gp2

R(s)G1(s)GC2(s)Gp1101①系統(tǒng)有一定抵抗干擾的性能指標，且可防止由于系統(tǒng)特性或參數(shù)改變可能導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。②還可保證系統(tǒng)不致因建模時和分析時的近似處理而導致的系統(tǒng)的不穩(wěn)定。2．

穩(wěn)定裕量：就是指一個穩(wěn)定的系統(tǒng)距臨界穩(wěn)定狀態(tài)的安全距離，在頻率域里，常有增益裕量及相位裕量來表示。①增益裕量：ⅰ是指相角φ（ω）=-180頻率為ωg時，頻率特性幅值的倒數(shù)Kg=1/(Go(jωg))ⅱ相角為-180時幅頻特性低于零分貝線的分貝線Kg=-20lg|Go(jωg)|Kg的含義：表示系統(tǒng)開環(huán)增益還可增大Kg倍，系統(tǒng)檢到臨界穩(wěn)定

102|G0|

-1ωg

(ωc)

Im

Ωckg

γ(ωc)ωg

②相角裕量：是指開環(huán)系統(tǒng)幅值為一（odb）時其相角大于-180的數(shù)值。γ（ωc）由負實軸作為計算起點，逆時針為正，順時針為負，γ(ωc)=180+φ(ωc)γ(ωc)的含義：表示開環(huán)中幅值為odbω=ωc時，系統(tǒng)還可增加ν相角滯后，系統(tǒng)才達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。1033．

增益裕量為Kg和相角裕量ν（ωc）是頻率法計算的兩個重要的指標說明：①上述兩個穩(wěn)態(tài)裕量的定義都是對最小相位系統(tǒng)而言的。它們只適用于最小相位系統(tǒng)。②一般來說，增益裕量和相角裕量是相互補充的，而不是相互替代。必須同時給出這兩個量才能確定出系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞。如圖：兩系統(tǒng)雖具有相同增益裕量，但是系統(tǒng)①比②穩(wěn)定性更好一般要求γ在22~31之間νg在5~10dB之間104§5-6控制系統(tǒng)性能指標的估算

１.二階系統(tǒng)的頻域特征量傳函

頻率特性

一.二階系統(tǒng)頻率特性與其時間相應過程的關系1050〈ξ〈0.707時發(fā)生諧振現(xiàn)象

峰值

（2）ξ〉0。707時不存在諧振現(xiàn)象M(ω)max=M(o)=Kωr和Mr稱為二階系統(tǒng)的頻域特征量

結論：（1）二階系統(tǒng)諧振比Mr是ξ的單值函數(shù)如果頻率特性上獲得Mr，那么就可以計算出ξ進而得到時域指標。諧振頻率諧振比定義為106（2）二階系統(tǒng)是ξ和ωn的函數(shù).由Mr確定出ξ后，可由ωr確定出ωn進而確定出快速性指標ωdtrtpts

當ξ=0.15∽0.4時ωd=(1.01∽1.10)ωr可近似認為ωd=ωr所以ωr表征了系統(tǒng)的響應速度,ωr越大相應越快（ts↓）.

例題：P212圖5-53給出SMrψξMt(δp)的關系曲線如若給出Mp=2.5則可查出ξ=0.2,δ=52℅ψ=75℅（3）二階系統(tǒng)單位階躍響應的穩(wěn)態(tài)值就等于頻率特性上ω=0時的幅值M（0）107對于高階系統(tǒng)難于用數(shù)學方法確定頻域與時域指標的關系，通?？捎闷浯嬖诘囊粚χ鲗Ч曹棙O點時的閉環(huán)頻率特性和二階系統(tǒng)的頻率特性具有的相似性直接估算階躍響應過程的性能指標。二閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性和尼科爾斯（Nichols）圖由上面的討論可知，控制系統(tǒng)的時域指標與系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性之間有著密切的關系?？梢灾苯痈鶕?jù)閉