大學(xué)數(shù)學(xué)第四節(jié)空間的曲面與曲線

第四節(jié)空間的曲面與曲線第六章四、空間曲線的方程一、曲面方程的概念二、一些常見的曲面三、二次曲面六、小結(jié)與思考練習(xí)五、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影2/3/20231一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:1:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,2:不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.

2/3/20232如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).定義12/3/20233故所求方程為方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例1

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)二、一些常見的曲面1.球面2/3/20234解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.的曲面.（課本例1）

表示怎樣半徑為的球面.球心為例2研究方程2/3/20235定義2

一條平面曲線2.旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線.例如:2/3/20236故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:2/3/20237求旋轉(zhuǎn)曲面方程時(shí),平面曲線繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn),則該坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的變量不變,而曲線方程中另一變量寫成該變量與第三變量平方和的正負(fù)平方根.思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？2/3/20238的圓錐面方程.解:

在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方例2試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為2/3/20239分別繞x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為例

求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線(旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面）(旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面）（習(xí)題6-43（2））2/3/2023103.柱面引例分析方程表示怎樣的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,的曲面?2/3/202311平行定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線l

形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.定義32/3/202312柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線xoz

面上的曲線l3:H(z,x)=0.母線柱面,準(zhǔn)線xoy

面上的曲線l1

:F(x,y)=0.母線準(zhǔn)線yoz面上的曲線l2

:G(y,z)=0.母線一般地,在三維空間2/3/202313三、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)2/3/202314方法是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相交，考察其交線的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的形狀．這種方法叫做截痕法．怎樣了解三元方程所表示的曲面的形狀呢?

研究二次曲面特性的基本方法:截痕法2/3/202315(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓1.橢球面(Ellipsoid)2/3/202316與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))2/3/2023172.單葉雙曲面(HyperboloidofOneSheet)橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:2/3/202318虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:2/3/202319雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面:系數(shù)二項(xiàng)正,一項(xiàng)為負(fù).雙葉雙曲面:系數(shù)一項(xiàng)正,二項(xiàng)負(fù).圖形3.雙葉雙曲面(HyperboloidofTwoSheets)（a、b、c是正數(shù)）2/3/2023204.橢圓拋物面xyz2/3/2023215.雙曲拋物面所表示的曲面稱為雙曲拋物面或馬鞍面.2/3/202322橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.①6.橢圓錐面(EllipticCone)2/3/202323四、空間曲線的方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例3方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C1.空間曲線的一般方程2/3/202324表示上半球面與圓柱面的交線C.例4方程組2/3/2023252.空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.2/3/202326動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解2/3/202327螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比．即上升的高度螺距2/3/202328解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為例將下列曲線化為參數(shù)方程表示:2/3/202329五、曲面的參數(shù)方程(TheParametricEquationofSurface)一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù),形如2/3/202330繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:點(diǎn)M1繞z軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)過角度后到點(diǎn)則這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程.例求空間曲線:2/3/202331繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為消去t和,得旋轉(zhuǎn)曲面方程為例如,直線2/3/202332繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面(即球面)方程為又如,

xoz面上的半圓周2/3/202333定義：以曲線為準(zhǔn)線、母線平行于軸的柱面叫做關(guān)于面的投影柱面，投影柱面與面的交線叫做空間曲線在或簡(jiǎn)稱投影（類似地可以定義曲線在其他坐標(biāo)面上的投影）．面上的投影曲線，六、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影(ProjectingCurveonaCoordinatePlaneofSpaceCurve)曲線2/3/202334如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面2/3/202335消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線C的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：空間曲線C在面上的投影曲線C′2/3/202336設(shè)空間曲線C的一般方程為消去z

得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去

x

得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程2/3/202337例6求曲線在xoy面上的投影曲線方程為2/3/202338補(bǔ)充:空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.空間立體曲面2/3/202339所圍的立體在xoy面上的投影區(qū)域.和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所求的投影區(qū)域是圓域:解:半球面和錐面的交線在xoy面上的投影曲線所圍之域.例8求上半球面為所求的投影區(qū)域.2/3/202340內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2/3/202341三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:2.二次曲面2/3/2023423.空間曲線一般方程（三元方程組）或參數(shù)方程(如,圓柱螺線)4.

曲面的參數(shù)方程5.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影2/3/202343作業(yè)習(xí)題6-3P43-45

9;162/3/2023442/3/202345斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習(xí)1.

指出下列方程的圖形:2/3/2023463.習(xí)題6-44題4答案:在xoy面上(2)雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周；2/3/202347(2)(1)4.展示空間圖