大學(xué)物理動(dòng)量與角動(dòng)量

1第3章動(dòng)量與角動(dòng)量2力的瞬時(shí)效應(yīng)：牛頓第一、第二、第三定律與力的累積效應(yīng)（空間累積、時(shí)間累積）相關(guān)的三個(gè)定理：動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、角動(dòng)量定理特殊情況下就有：動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、角動(dòng)量守恒定律守恒量：對(duì)于物體系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生的各種過程，如果某物理量始終保持不變，則稱其為守恒量。表面上看，能量、動(dòng)量和角動(dòng)量三個(gè)定律僅是牛頓第二定律的數(shù)學(xué)變形，但是實(shí)際上它們是更為基本的物理量，它們的守恒定律具有更廣泛、更深刻的意義。3（力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)）沖量：力和力作用時(shí)間的乘積（單位：牛頓·秒(N·s)）動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m

和速度的乘積3.1沖量與動(dòng)量定理單位：千克·米·秒-1(kg·m·s-1)恒力變力在dt時(shí)間內(nèi)的元沖量：在t1至t2時(shí)間段內(nèi)的沖量：4一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理作用于質(zhì)點(diǎn)上的合力的沖量等于同一時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理微分形式積分形式5分量表示式：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理只適用于慣性系6動(dòng)量：與動(dòng)力學(xué)有密切的關(guān)系，是動(dòng)力學(xué)參量。速度：只是從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。動(dòng)量比速度更能反映物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。機(jī)械運(yùn)動(dòng)與機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換時(shí)，數(shù)量關(guān)系可以用動(dòng)量或動(dòng)能來量度。機(jī)械運(yùn)動(dòng)與非機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換時(shí)，只能用動(dòng)能來量度。

fji

fij7

二質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理

（theoremofmomentumofparticlesystem）Fipi為質(zhì)點(diǎn)i受的合外力，i········j質(zhì)點(diǎn)系

為質(zhì)點(diǎn)i受質(zhì)點(diǎn)j的內(nèi)力，為質(zhì)點(diǎn)i的動(dòng)量。對(duì)質(zhì)點(diǎn)i

：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：由牛頓第三定律有：8所以有：令則有：或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（微分形式）—質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（積分形式）用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理處理問題可避開內(nèi)力。系統(tǒng)總動(dòng)量由外力的沖量決定，與內(nèi)力無關(guān)。9

§3.2動(dòng)量守恒定律這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律。即幾點(diǎn)說明：

1.動(dòng)量守恒定律是牛頓第二定律的必然推論。

2.動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量不隨時(shí)間改變。（lawofconservationofmomentum）104.若某個(gè)方向上合外力為零，5.當(dāng)外力<<內(nèi)力

6.動(dòng)量守恒定律是比牛頓定律更普遍、更基本則該方向上動(dòng)盡管總動(dòng)量可能并不守恒。量守恒，且作用時(shí)間極短時(shí)（如碰撞），可認(rèn)為動(dòng)量近似守恒。的定律，它在宏觀和微觀領(lǐng)域均適用。7.用守恒定律作題，應(yīng)注意分析過程、系統(tǒng)切慣性系中均守恒。3.動(dòng)量若在某一慣性系中守恒，則在其它一和條件。11

▲粘附—主體的質(zhì)量增加（如滾雪球）

▲拋射—主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射）低速（v

<<c）情況下的兩類變質(zhì)量問題：下面以火箭飛行為例，討論變質(zhì)量問題。

§3.3變質(zhì)量系統(tǒng)、火箭飛行原理

這是相對(duì)論情形，不在本節(jié)討論之列。以隨速度改變—m=m(v)，情況下，還有另一類變質(zhì)量問題是在高速（v

c）這時(shí)即使沒有粘附和拋射，質(zhì)量也可12條件：燃料相對(duì)箭體以恒速u噴出初態(tài)：系統(tǒng)質(zhì)量M，速度v(對(duì)地)，動(dòng)量Mv

一.火箭不受外力情形（在自由空間飛行）1.火箭的速度系統(tǒng)：火箭殼體+尚存燃料總體過程：i(點(diǎn)火)f(燃料燒盡)先分析一微過程：tt+dt末態(tài)：噴出燃料后噴出燃料的質(zhì)量：dm=-dM，噴出燃料速度(對(duì)地)：v-uvu13火箭殼體+尚存燃料的質(zhì)量：M-dm系統(tǒng)動(dòng)量：

(M-dm)(v

+dv)+-dM(v

-u)

火箭殼體+尚存燃料的速度(對(duì)地)：v

+dv

由動(dòng)量守恒，有

Mv

=-dM(v

-u)+(M-dm)(v

+dv

)經(jīng)整理得：Mdv

=-udM速度公式：14引入火箭質(zhì)量比：得討論：提高vf的途徑

(1)提高u（現(xiàn)可達(dá)u=4.1km/s）

(2)增大N（受一定限制）為提高N，采用多級(jí)火箭（一般為三級(jí)）v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3

資料：長征三號(hào)（三級(jí)大型運(yùn)載火箭）全長：43.25m，最大直徑：3.35m，起飛質(zhì)量：202噸，起飛推力：2800kN。15t+dt時(shí)刻：速度v-u，動(dòng)量dm(v-u)由動(dòng)量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量

2.火箭所受的反推力研究對(duì)象：噴出氣體dmt時(shí)刻：速度v(和主體速度相同)，動(dòng)量vdmF箭對(duì)氣dt=dm(v-u)-vdm=-F氣對(duì)箭dt由此得火箭所受燃?xì)獾姆赐屏?6二.重力場(chǎng)中的火箭發(fā)射可得t時(shí)刻火箭的速度：忽略地面附近重力加速度g的變化，

Mt：t時(shí)刻火箭殼和尚余燃料的質(zhì)量17rc§3.4質(zhì)心（centerofmass）一.質(zhì)心的概念和質(zhì)心位置的確定×C······mi·z·riyx0定義質(zhì)心C的位矢為：

質(zhì)心位置是質(zhì)點(diǎn)位置以質(zhì)量為權(quán)重的平均值。為便于研究質(zhì)點(diǎn)系總體運(yùn)動(dòng)，引入質(zhì)心概念。18二.幾種系統(tǒng)的質(zhì)心●兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)r2m2m1··×r1C

m1r1=m2r2●連續(xù)體×rrcdmC0mzxy……19R●“小線度”物體的質(zhì)心和重心是重合的。[例]如圖示，CxCO″rO′rddxyO均質(zhì)圓盤求挖掉小圓盤后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)。由對(duì)稱性分析，質(zhì)心C應(yīng)在x軸上。解：

令為質(zhì)量的面密度，則質(zhì)心坐標(biāo)為：挖空

·●均勻桿、圓盤、圓環(huán)、球，質(zhì)心為其幾何中心。20

§3.5質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

（theoremofmotionofcenterofmass）一.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理rcCvc×······mi·z·riyx0vi即質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量是質(zhì)點(diǎn)系的“平均”速度21由—質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有該質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和所受質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)如同一個(gè)在質(zhì)心位置處的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，的外力。實(shí)際上是物體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中所謂“物體”的運(yùn)動(dòng)，22

系統(tǒng)內(nèi)力不會(huì)影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，▲在光滑水平面上滑動(dòng)的扳手，▲做跳馬落地動(dòng)作的運(yùn)動(dòng)員盡管在翻轉(zhuǎn)，但▲爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質(zhì)心仍在做拋物線運(yùn)動(dòng)其質(zhì)心仍做拋物線運(yùn)動(dòng)例如：其質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)23若合外力為零，二.動(dòng)量守恒與質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒若合外力分量為0，質(zhì)點(diǎn)系分動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒和質(zhì)心勻速運(yùn)動(dòng)等價(jià)！則則相應(yīng)的質(zhì)心分速度不變24

1.質(zhì)心系質(zhì)心系是固結(jié)在質(zhì)心上的平動(dòng)參考系。質(zhì)心系不一定是慣性系。

質(zhì)點(diǎn)系的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)通?？煞纸鉃椋?/p>

在質(zhì)心系中考察質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)。討論天體運(yùn)動(dòng)及碰撞等問題時(shí)常用到質(zhì)心系。質(zhì)點(diǎn)系整體隨質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)；各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)——三.質(zhì)心（參考）系（frameofcenterofmass）252.質(zhì)心系的基本特征質(zhì)心系是零動(dòng)量參考系?！1v10m2v20··m1v1m2v2質(zhì)心系中看兩粒子碰撞等值、反向的動(dòng)量。兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)在其質(zhì)心系中，總是具有26一、角動(dòng)量力矩質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。在某時(shí)刻對(duì)O的矢徑r

與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量mv

的矢積定義為該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量，用L

表示。單位：kgm2/s方向：右手螺旋定則判定3.6質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理27在圓周運(yùn)動(dòng)中，速度方向垂直于矢徑r

：O28設(shè)在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)m

對(duì)定點(diǎn)O

的位矢為r

，作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力為F

，則F

與r

矢積定義為力F

對(duì)定點(diǎn)O

的力矩，用M

表示：?jiǎn)挝唬号！っ祝∟·m）O方向：右手螺旋定則判定力矩29O力矩的分量式:對(duì)軸的力矩力矩為零的情況:（1）力F

等于零；（2）力F

的作用線與矢徑r

共線（即sinj=0）30二、角動(dòng)量定理角動(dòng)量力矩31質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)所受的合力對(duì)該點(diǎn)的力矩。表示成積分形式：沖量矩（合力矩在Δt時(shí)間內(nèi)對(duì)定點(diǎn)的沖量矩）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一固定參考點(diǎn)，作用于質(zhì)點(diǎn)的沖量矩等于同一時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量323.7角動(dòng)量守恒定律如果對(duì)固定參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量為一恒矢量。注意：這也是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。

M＝0，可以是

r=0,也可以是F=0,還可能是

r與

F同向或反向，例如有心力情況。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律33力

力矩動(dòng)量

角動(dòng)量沖量沖量矩力與動(dòng)量力矩與角動(dòng)量動(dòng)量定理(沖量與動(dòng)量)角動(dòng)量定理(沖量矩與角動(dòng)量)動(dòng)量守恒：某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和始終為零，…角動(dòng)量守恒：對(duì)固定參考點(diǎn)而言，質(zhì)點(diǎn)受到的合力矩始終為零，…34例2-17：將質(zhì)量為m

的小球系于輕繩一端，繩的另一端穿過光滑水平面上的小孔O用手拉住。先使小球以角速度w1

在水平面上做半徑為r1

的圓周運(yùn)動(dòng)，然后慢慢將繩下拉，使半徑縮小為r2

，求在此過程中小球的動(dòng)能增量。解：以小孔O為原點(diǎn)，繩對(duì)小球的拉力為有心力，其力矩為零。則小球?qū)c(diǎn)的角動(dòng)量守恒。因：v=rw35則小球的動(dòng)能增量為：36例3.18證明開普勒第二定律：對(duì)任一行星，它的位置矢量（以太陽中心為參考點(diǎn)）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。37太陽對(duì)行星的引力為有心力，故行星角動(dòng)量守恒，即L

為常矢量，因此有：PP’設(shè)太陽位于O點(diǎn)，質(zhì)量為m的行星位于P點(diǎn)，位矢為r，經(jīng)過時(shí)間dt，行星運(yùn)動(dòng)到P’點(diǎn)，位矢為r+dr。在dt時(shí)間內(nèi)，位矢r所掃過的面積dS等于ΔOPP’的面積：38德國開文學(xué)家

開普勒（JohannesKepler，1571-1630）開普勒的行星運(yùn)動(dòng)三大定律

每一行星沿一個(gè)橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)中。從太陽到行星所聯(lián)接的直線在相等時(shí)間內(nèi)掃過同等的面積。行星繞日一圈時(shí)間的平方和行星各自橢圓軌道的長半軸的立方成正比。萬有引力理論：任何物體之間存在萬有引力，且兩物體間的引力和兩物體質(zhì)量的乘積成正比，和兩物體距離的平方成反比，且在同一條直線上。牛頓三大定律微積分英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家艾薩克·牛頓

(IsaacNewton，1643-1727)如果說我比別人看得遠(yuǎn)些的話，是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏腺だ浴⒏绨啄?、開普勒、笛卡兒39習(xí)題2-18

我國1970年4月24日發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球中心為橢