電磁場(chǎng)與電磁波(矢量分析)

第1章矢量分析1.1場(chǎng)的概念和表示法1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4矢量場(chǎng)的通量散度1.5矢量場(chǎng)的環(huán)流旋度

1.6亥姆霍茲定理1.2三種常用的坐標(biāo)系1.1場(chǎng)的概念和表示法一1、場(chǎng)的定義與分類：一個(gè)確定區(qū)域中的場(chǎng)被定義為：物理系統(tǒng)中某物理量在該區(qū)域的一種分布。如果被描述的物理量是標(biāo)量，則定義的場(chǎng)被稱為標(biāo)量場(chǎng)；如果被描述的物理量是矢量，則定義的場(chǎng)被稱為矢量場(chǎng)。

場(chǎng)的分類：標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)2、場(chǎng)的描述與場(chǎng)函數(shù)：場(chǎng)的描述方法有多種：列表法、函數(shù)法等，描述場(chǎng)在空間中分布的函數(shù)稱為場(chǎng)函數(shù)。

3、場(chǎng)的值或場(chǎng)量：物理量在場(chǎng)空間中一點(diǎn)的取值

空間某一區(qū)域定義一個(gè)標(biāo)量分布，如溫度,電位,高度等，可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)描述，其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。二、標(biāo)量場(chǎng)三、矢量場(chǎng)

空間某一區(qū)域定義一個(gè)矢量分布，如速度場(chǎng),電場(chǎng)、磁場(chǎng)等，可用一個(gè)矢量函數(shù)來(lái)描述,其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。1.2三種常用正交坐標(biāo)系1.2.1

直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變變化范圍是:

右手螺旋法則

位置矢量:矢量表示：微分線元：度量系數(shù)：面積元：

體積元：

1.2.2圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變化范圍是:右手螺旋法則：位置矢量：矢量表示：微分線元：面積元：

體積元：M點(diǎn)處沿(r,,z)方向的長(zhǎng)度元分別是：度量系數(shù)分別是：

1.2.3球面坐標(biāo)系坐標(biāo)變變化范圍是:右手螺旋法則：位置矢量：矢量表示：微分線元：坐標(biāo)線元：度量系數(shù)：面積元：

體積元：1.2.4三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系（1）直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)系的關(guān)系（2）直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系的關(guān)系（3）柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度一、方向性導(dǎo)數(shù)與梯度等值面：標(biāo)量場(chǎng)中量值相等的點(diǎn)構(gòu)成的面。方向性導(dǎo)數(shù)

考慮標(biāo)量場(chǎng)中兩個(gè)等值面梯度

由方向性導(dǎo)數(shù)的定義可知：沿等值面法線

的方向性導(dǎo)數(shù)最大。故標(biāo)量場(chǎng)在P點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量大小：最大方向性導(dǎo)數(shù)方向：最大方向性導(dǎo)數(shù)所在的方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)

在P點(diǎn)沿

方向的方向性導(dǎo)數(shù)。其大小與方向

有關(guān)。

定義標(biāo)量函數(shù)

沿給定方向

的變化率?？傻迷谥苯亲鴺?biāo)系中梯度的計(jì)算公式推導(dǎo)直角坐標(biāo)系中哈密頓算符表示為直角坐標(biāo)系中梯度計(jì)算公式為柱坐標(biāo)系中的哈密頓算符和梯度計(jì)算公式為球坐標(biāo)系中的哈密頓算符和梯度計(jì)算公式為1.4矢量場(chǎng)的通量散度

空間面元矢量：與面元垂直的單位矢量面元大小的指向有兩種情況：（1）對(duì)開(kāi)曲面上的面元，的取法要求圍成開(kāi)表面的邊界走向與

滿足右手螺旋法則（2）對(duì)閉合面上的面元，一般取外法線方向一、通量

矢量場(chǎng)的通量

若S為閉合曲面

定義矢量沿有向曲面S的面積分為矢量

穿過(guò)有向曲面S的通量二、散度

如果包圍點(diǎn)P的閉合面S

所圍區(qū)域

以任意方式縮小為點(diǎn)P時(shí),通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場(chǎng)

在P點(diǎn)的散度。即三、散度的物理意義

散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。?A

=

0(無(wú)源）

在矢量場(chǎng)中，若

=0，稱之為有源場(chǎng)，稱為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處

=0，稱之為無(wú)源場(chǎng)。

矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。=0(正源)=0(負(fù)源)散度的計(jì)算公式的推導(dǎo)：在直角坐標(biāo)系中，曲面上的通量可表示為

在閉合面上的通量為

在直角坐標(biāo)系中，研究的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作一個(gè)平行六面體，矢量的通量為穿出三對(duì)表面的通量之和。

其三個(gè)邊分別為穿出此六面體表面左右一對(duì)表面穿出的凈通量上下一對(duì)表面穿出的凈通量前后一對(duì)表面穿出的凈通量故從平行六面體穿出的凈通量為

代入式散度計(jì)算公式得

直角坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式為

矢量場(chǎng)的散度可表示為哈密頓微分算子▽與矢量

的標(biāo)量積，即直角坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式為

柱坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式：球坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式：四、高斯定理(散度定理)n1=-n2n1n2高斯定理

對(duì)于有限大體積

，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小體積元有式中S為

的外表面

該公式表明了區(qū)域

中場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)

之間的關(guān)系。例1.4.1點(diǎn)電荷

位于球坐標(biāo)原點(diǎn)，此電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度在空間中分布如下（1）計(jì)算在

的球面上，電場(chǎng)強(qiáng)度

穿出的通量。（2）計(jì)算空間各點(diǎn)（

）電場(chǎng)強(qiáng)度

的散度。

解：位于坐標(biāo)原點(diǎn)的電荷的電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向總在

方向上，呈發(fā)散狀分布。在

球面上任取一面元

，則

在

球面上的通量為

對(duì)于

的空間各點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度

的散度為

圖1.4.4點(diǎn)電荷的電場(chǎng)與1.5

矢量場(chǎng)的環(huán)流旋度一、環(huán)流定義矢量場(chǎng)

沿空間有向閉合曲線C的積分

為

的環(huán)流。

環(huán)流的計(jì)算旋渦場(chǎng)在空間中的分布形態(tài)可從兩個(gè)方面來(lái)描述:(一)旋渦場(chǎng)在空間中旋轉(zhuǎn)的快慢程度(二)旋渦場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)面在空間中怎樣取向環(huán)流越大，場(chǎng)在C圍成的面上旋轉(zhuǎn)越快。(a)S面與旋渦面垂直

(b)S面與旋渦面相交

(c)S面與旋渦面平行圖1.5.3C上環(huán)流的三種情況可以證明，在發(fā)散場(chǎng)中，對(duì)于任選的空間閉合曲線

C上的環(huán)流恒為零。二、旋度1.環(huán)流密度

過(guò)點(diǎn)P

作一微小曲面S,它的邊界曲線記為C,面的法線方向與曲線繞向成右手螺旋關(guān)系。當(dāng)S

收縮至P點(diǎn)附近時(shí),存在極限

該極限值與S

的形狀無(wú)關(guān)，但與S的方向

有關(guān)。稱為矢量場(chǎng)在P

點(diǎn)沿方向的環(huán)流密度2.旋度

旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)流密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)流密度的方向。用表示它與環(huán)流密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)系中，圖1.5.4直角坐標(biāo)系中

的三、旋度的物理意義

矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)流密度的最大值。

點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)流密度的方向。于是：同理：則：=柱坐標(biāo)系中：行列式形式為：球坐標(biāo)系中：行列式形式為：旋度有兩個(gè)重要的性質(zhì)（學(xué)生自己證明）：（1）矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零，

（2）標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零，四、斯托克斯定理（stokes公式）

對(duì)于有限大面積S，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有斯托克斯定理

由于旋度代表單位面積的環(huán)量，因此矢量場(chǎng)在閉合曲線c上的環(huán)量等