非均勻三次B樣條曲線z

B樣條曲線(2)

1講授提綱復(fù)習(xí)

(均勻三次B樣條曲線和B樣條基函數(shù)）非均勻B樣條曲線的表達(dá)形式(重點)B樣條曲線的插值B樣條曲線構(gòu)造的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)2V0Vn-1VnV1ViVi+1Vi+2Vi+3ri+1(u)ri(u)r0(u)rn-3(u)n+1個控制頂點決定的均勻三次B樣條曲線中有多少個均勻三次B樣條曲線段存在?34猜想:如果是二次B樣條曲線,幾個控制頂點決定一段曲線呢?如果一條二次B樣條曲線有n+1個控制頂點,試問該二次B樣條曲線有多少段?如果是k次B樣條曲線,幾個控制頂點決定一段曲線呢?如果一條k次B樣條曲線有n+1個控制頂點,試問該k次B樣條曲線有多少段?5曲線的局部性678猜想:如果是一個二次的B樣條曲線,改動一個控制頂點,最多會有幾段曲線會發(fā)生變化呢?如果一個二次曲線的控制頂點是V0V1V2V3V4V5V6V7V8V9V10V11V12,那么改動控制頂點V7,會有幾段曲線的形狀發(fā)生變化,你能寫出這幾段曲線的控制頂點嗎?910問題:總共可以決定多少個k次B樣條基函數(shù)呢?11講授提綱復(fù)習(xí)

(均勻三次B樣條曲線和B樣條基函數(shù)）非均勻B樣條曲線的表達(dá)形式(重點)B樣條曲線的插值B樣條曲線構(gòu)造的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)12定義一條非均勻B樣條曲線應(yīng)該包括如下幾個部分：13控制頂點的作用:從工程設(shè)計的角度:14次數(shù)k的作用1:從工程的角度:調(diào)整曲線的光滑程度15取B樣條曲線次數(shù)為116取B樣條曲線次數(shù)為217取B樣條曲線次數(shù)為318節(jié)點矢量的解釋19節(jié)點矢量的作用(1)調(diào)整曲線的形狀20調(diào)整曲線的連續(xù)階節(jié)點矢量的作用(2)21節(jié)點矢量的作用(3)B樣條曲線是B樣條基函數(shù)的線性迭加:B樣條基函數(shù)形狀和連續(xù)階的變化當(dāng)然會引起B(yǎng)樣條曲線形狀和連續(xù)階的變化。調(diào)整節(jié)點矢量在幾何造型中的一個重要應(yīng)用：讓B樣條曲線在端點處繼承Bézier曲線的端點性質(zhì)22B樣條基函數(shù)Ni,k(u)23非均勻B樣條曲線的性質(zhì)1.設(shè)節(jié)點數(shù)m+1，控制頂點數(shù)n+1和基函數(shù)次數(shù)為k，那么m,n和k之間有如下聯(lián)系：m=n+k+12.

上述定義中的B樣條曲線可以分為多少段?243.局部性:由特殊到一般*對于非均勻三次B樣條曲線,改動一個控制頂點,最多會有幾段曲線發(fā)生變化,你能寫出這幾段曲線的控制頂點嗎?*對于非均勻二次B樣條曲線,改動一個控制頂點,最多會有幾段曲線發(fā)生變化,你能寫出這幾段曲線的控制頂點嗎?3.對于非均勻k次B樣條曲線,改動一個控制頂點,最多會有幾段曲線發(fā)生變化25在通常情況下,B樣條曲線的首末端點不會與控制多邊形首末端點重合.

4.如何讓B樣條曲線繼承Bézier曲線的端點性質(zhì)?262728如果取節(jié)點矢量,定義域應(yīng)該是多少呢?5.B樣條曲線的定義域?2930紅色的曲線段就是函數(shù)y=N0,3(u)的圖像嗎？31決定紅色的曲線需要用到哪幾個節(jié)點？3233上述表達(dá)式中的基函數(shù)總共與哪些節(jié)點相關(guān)呢？343536有一條k次B樣條曲線：

其節(jié)點矢量是U=[u0,u1,…,um-1,um]。試解答如下問題：用n和k表示m；寫出該曲線的定義域(2)如果k=3，n充分大，當(dāng)改動控制頂點V2時，有幾段曲線的形狀會發(fā)生變化？分別寫出這幾段曲線的控制頂點和定義域。(3)如果k=3，n=5，在節(jié)點矢量除u0=u1=u2=u3外再無其它重節(jié)點，請繪出該曲線的草圖，并在曲線段之間用黑點隔開。37講授提綱復(fù)習(xí)

(均勻三次B樣條曲線和B樣條基函數(shù)）非均勻B樣條曲線的表達(dá)形式(重點)B樣條曲線的插值B樣條曲線構(gòu)造的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)3839問題:如果知道均勻三次B樣條曲線段的兩個頂點P0和P1,你如何計算出該曲線段的四個控制頂點?404142問題:如果知道n+1個點P0,…,Pn,你如何計算出均勻三次B樣條曲線的控制頂點?43要解決的第一個問題:控制多邊形中究竟有多少個控制頂點?或者說m的值應(yīng)該是多少?44觀察其中的規(guī)律45這樣m是多少呢?464748講授提綱復(fù)習(xí)

(均勻三次B樣條曲線和B樣條基函數(shù)）非均勻B樣條曲線的表達(dá)形式(重點)B樣條曲線的插值B樣條曲線構(gòu)造的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)49Step1建一個文件夾(E:\CADTask)Step2把你建立的目錄設(shè)置為Matlab當(dāng)前工作目錄Step3在當(dāng)前目錄下用程序編輯器編寫程序50反算51525354正算根據(jù)控制頂點計算曲線假設(shè)所有的控制頂點存儲在一個數(shù)組MV中MV是一個N行三列的數(shù)組55編寫B(tài)樣條基函數(shù)functiona=N03(u)a=(1-u)*(1-u)*(1-u)/6functiona=N13(u)a=(3*u*u*u-6*u*u+4)/656functiona=N23(u)a=(-3*u*u*u+3*u*u+3*u+1)/6functiona=N33(u)a=u*u*u/657計算一段曲線functionp=UB3CS(V0,V1,V2,V3)fori=1:51u=(i-1)/50;

p(i,:)=V0*N03(u)+V1*N13(u);

p(i,:)=p(i,:)+V0*N13(u)+V1*N23(u);end58計算整條曲線functionpp=UB3C(MV)N=length(MV(:,1));N=N-3;fori=1:NV0=MV(i,:);V1=MV(i+1,:);V2=MV(i,:);V3=MV(i+1,:);p=UB3CS(V0,V1,V2,V3)

if(i==1)pp=p;elsepp=[pp;p];end59小結(jié)非均勻三次B樣條曲線表達(dá)式的三要素