高中數(shù)學蘇教版1第2章圓錐曲線與方程 精品獲獎

學業(yè)分層測評(十二)圓錐曲線的共同性質(zhì)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、填空題1.雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1的右準線方程是________.【解析】由方程可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，即c＝eq\r(3).故雙曲線的右準線方程是x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(2\r(3),3).【答案】x＝eq\f(2\r(3),3)2.已知橢圓的離心率為eq\f(1,2)，準線方程為x＝±4，則橢圓的長軸長為________.【解析】由eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a2,c)＝4，得a＝eq\f(c,a)×eq\f(a2,c)＝eq\f(1,2)×4＝2，故長軸長為2a＝4.【答案】43.方程x－2y2＝0表示的曲線為________，焦點為________，準線方程為________.【解析】化方程為標準形式y(tǒng)2＝eq\f(1,2)x，表示焦點在x正半軸上的拋物線，焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))，準線x＝－eq\f(1,8).【答案】拋物線eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))x＝－eq\f(1,8)4.已知橢圓的兩條準線方程為y＝±9，離心率為eq\f(1,3)，則此橢圓的標準方程為________.【導學號：24830056】【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＝9,\f(c,a)＝\f(1,3)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,c＝1.))從而b2＝a2－c2＝9－1＝8，∵橢圓的焦點在y軸上，∴所求方程為eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,8)＝1.【答案】eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,8)＝15.已知橢圓兩準線間的距離為8，虛軸長為2eq\r(3)，焦點在x軸上，則此橢圓標準方程為________.【解析】依題得：eq\f(a2,c)＝4，∴a2＝4c.又∵2b＝2eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)，b2＝3.∴b2＋c2＝4c，∴c2－4c＋3＝0，(c－3)(c－1)＝0，∴c＝3或c＝1.當c＝3時，a2＝12.橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.當c＝1時，a2＝4，橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【答案】eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝16.如果雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上的一點P到左焦點的距離是10，那么P到右準線的距離為________.【解析】由雙曲線方程知a2＝16，b2＝9，故c2＝25，所以e＝eq\f(5,4)，由雙曲線定義知P到右焦點的距離為10±8＝2或18，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知，P到右準線的距離為2×eq\f(4,5)＝eq\f(8,5)或18×eq\f(4,5)＝eq\f(72,5).【答案】eq\f(8,5)或eq\f(72,5)7.橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1上一點M，到焦點F(0，eq\r(7))的距離為2eq\r(7)，則M到橢圓上方準線的距離是________.【解析】∵a2＝16，a＝4，b2＝9，b＝3，∴c2＝7，c＝eq\r(7).∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，設(shè)所求距離為d，則eq\f(MF,d)＝eq\f(\r(7),4)，∴d＝eq\f(2\r(7),\f(\r(7),4))＝8.【答案】88.已知橢圓eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞0)的一條準線與拋物線y2＝－10x的準線重合，則橢圓的離心率為________.【導學號：24830057】【解析】拋物線y2＝－10x的準線方程是x＝eq\f(5,2).由題意知，橢圓eq\f(x2,a2)＋y2＝1的一條準線方程為x＝eq\f(5,2)，即右準線方程為x＝eq\f(5,2)，故eq\f(a2,c)＝eq\f(5,2)，∴a2＝eq\f(5,2)c，∵b＝1，∴c2＋1＝eq\f(5,2)c，解得c1＝2，c2＝eq\f(1,2).當c＝2時，a2＝eq\f(5,2)c＝5，a＝eq\r(5)，∴e＝eq\f(2,5)eq\r(5)；當c＝eq\f(1,2)時，a2＝eq\f(5,2)c＝eq\f(5,4)，a＝eq\f(\r(5),2)，∴e＝eq\f(\r(5),2).【答案】eq\f(\r(5),2)或eq\f(2,5)eq\r(5)二、解答題9.已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，P為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2為左、右兩個焦點，若PF1∶PF2＝2∶1，求點P的坐標.【解】設(shè)點P的坐標為(x，y).∵橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3.∴e＝eq\f(3,5)，準線方程為x＝±eq\f(25,3).由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知PF1＝ed1＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3)))＝eq\f(3,5)x＋5，PF2＝ed2＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,3)－x))＝5－eq\f(3,5)x.∵PF1∶PF2＝2∶1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x＋5))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(3,5)x))＝2∶1，解得x＝eq\f(25,9)，代入橢圓的方程得y＝±eq\f(8,9)eq\r(14).∴點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)，\f(8,9)\r(14)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)，－\f(8,9)\r(14).))10.求中心在原點，長軸在x軸上，一條準線方程得x＝3，離心率為eq\f(\r(5),3)的橢圓方程.【解】方法一：設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0).由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＝3，,\f(c,a)＝\f(\r(5),3)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(5)，,c＝\f(5,3)，))∴b2＝a2－c2＝eq\f(20,9).∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(9y2,20)＝1.方法二：設(shè)M為橢圓上任意一點，其坐標為(x，y).由法一知，準線x＝3對應(yīng)的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，0)).由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得eq\f(MF,d)＝eq\f(\r(5),3).∴eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)))2＋y2),|3－x|)＝eq\f(\r(5),3)，化簡得4x2＋9y2＝20.∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(9y2,20)＝1.能力提升]1.已知點M(x，y)滿足eq\r(x－12＋y2)＝eq\f(1,2)|x－3|，則M點的軌跡是________.【解析】由題意得eq\f(\r(x－1＋y2),|x－3|)＝eq\f(1,2)，所以M到定點(1,0)和定直線x＝3的距離之比為定值eq\f(1,2)，∴M的軌跡是橢圓.【答案】橢圓2.設(shè)橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m2－1)＝1(m>1)上一點P到左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則P到右準線的距離為________.【解析】由題意得2m＝3＋1，m＝2，故橢圓的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，該橢圓的離心率是eq\f(1,2)，設(shè)點P到右準線的距離等于d，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得eq\f(1,d)＝eq\f(1,2)，d＝2，即點P到右準線的距離等于2.【答案】23.設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)恒過定點A(1,2)，則橢圓的中心到準線的距離的最小值為________.【解析】∵A(1,2)在橢圓上，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，∴b2＝eq\f(4a2,a2－1)，則中心到準線距離eq\f(a2,c)的平方為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))2＝eq\f(a4,c2)＝eq\f(a4,a2－b2)＝eq\f(a4,a2－\f(4a2,a2－1))＝eq\f(a4－a2,a2－5).令a2－5＝t＞0，f(t)＝eq\f(t＋52－t＋5,t)＝t＋eq\f(20,t)＋9≥9＋4eq\r(5).當且僅當t＝eq\f(20,t)時取“＝”，∴eq\f(a2,c)≥eq\r(9＋4\r(5))＝eq\r(5)＋2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))min＝eq\r(5)＋2.【答案】eq\r(5)＋24.已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1內(nèi)的兩個點，M是橢圓上的動點.(1)求MA＋MB的最大值和最小值.(2)求MB＋eq\f(5,4)MA的最小值.【解】(1)由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4.∴點A(4,0)為橢圓的右焦點，則其左焦點為F(－4,0).又∵MA＋MF＝2a＝10，∴MA＋MB＝10－MF＋MB.∵|MB－MF|≤BF＝eq\r(－4－22＋0－22)＝2eq\r(10)，∴－2eq\r(10)≤MB－MF≤2eq\r(10).故10－2eq\r(10)≤MA＋MB≤10＋2eq\r(10).即MA＋MB的最大值為10＋2eq\r(10)，最小值為10