高中數(shù)學北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 第3章52

第三章§5第2課時A級基礎(chǔ)鞏固1．如果eqlog\s\do8(\f(1,2))x<eqlog\s\do8(\f(1,2))y<0，那么eq\x(導學號00814818)(D)A．y<x<1 B．x<y<1C．1<x<y D．1<y<x[解析]因為y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x為(0，＋∞)上的減函數(shù)，所以x>y>1.2．(2023·南安高一檢測)已知y＝4x的反函數(shù)為y＝f(x)，若f(x0)＝eq\f(1,2)，則x0的值為eq\x(導學號00814819)(C)A．－2 B．－1C．2 D．eq\f(1,2)[解析]∵y＝4x的反函數(shù)f(x)＝log4x，又f(x0)＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)og4x0＝eq\f(1,2).∴x0＝2.3．下列不等式成立的是eq\x(導學號00814820)(A)A．log32<log23<log25 B．log32<log25<log23C．log23<log32<log25 D．log23<log25<log32[解析]∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴l(xiāng)og25>log23>log22＝1.又y＝log3x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴l(xiāng)og32<log33＝1.∴l(xiāng)og32<log23<log25.4．設(shè)a＝log2π，b＝eqlog\s\do8(\f(1,2))π，c＝π－2，則eq\x(導學號00814821)(C)A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．a(chǎn)>c>b D．c>b>a[解析]∵a＝log2π>1，b＝eqlog\s\do8(\f(1,2))π<0，c＝π－2＝eq\f(1,π2)∈(0,1)，∴a>c>b.5．若函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖像如圖所示，則下列函數(shù)圖像正確的是eq\x(導學號00814822)(B)[解析]由題圖可知y＝logax過點(3,1)，∴l(xiāng)oga3＝1，即a＝3.A項y＝(eq\f(1,3))x在R上為減函數(shù)，錯誤；B項，y＝x3符合；C項，y＝－x3在R上為減函數(shù)，錯誤；D項，y＝log3(－x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，錯誤．6．(2023·全國卷Ⅱ文，8)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\x(導學號00814823)(D)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.令g(x)＝x2－2x－8，函數(shù)g(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)．7．函數(shù)y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(1－2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，eq\f(1,2)).eq\x(導學號00814824)[解析]令u＝1－2x，函數(shù)u＝1－2x在區(qū)間(－∞，eq\f(1,2))內(nèi)遞減，而y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))u是減函數(shù)，故函數(shù)y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(1－2x)在(－∞，eq\f(1,2))內(nèi)遞增．8．若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝\x(導學號00814825)[解析]由題知y＝ln(x＋eq\r(a＋x2))是奇函數(shù)，所以ln(x＋eq\r(a＋x2))＋ln(－x＋eq\r(a＋x2))＝ln(a＋x2－x2)＝lna＝0，解得a＝1.9．已知f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x).eq\x(導學號00814826)(1)求f(x)的定義域；(2)求使f(x)>0的x的取值范圍．[解析](1)要使函數(shù)有意義，應(yīng)滿足eq\f(1＋x,1－x)>0，∴(x－1)(x＋1)<0，∴－1<x<1，∴函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)．(2)要使f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)>0，則有eq\f(1＋x,1－x)>1，∴eq\f(1＋x,1－x)－1>0，∴eq\f(2x,1－x)>0，∴x(x－1)<0，∴0<x<1，∴使f(x)>0的x的取值范圍為(0,1)．10．(1)已知logaeq\f(1,2)>1，求a的取值范圍．(2)已知<(x－1)，求x的取值范圍.eq\x(導學號00814827)[解析](1)由logaeq\f(1,2)>1得logaeq\f(1,2)>logaa.①當a>1時，有a<eq\f(1,2)，此時無解．②當0<a<1時，有eq\f(1,2)<a，從而eq\f(1,2)<a<1.∴a的取值范圍是(eq\f(1,2)，1)．(2)∵函數(shù)y＝在(0，＋∞)上是減少的，∴由<(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.即x的取值范圍是(1，＋∞)．B級素養(yǎng)提升1．設(shè)a＝eqlog\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,2)，b＝eqlog\s\do8(\f(1,3))eq\f(2,3)，c＝log3eq\f(4,3)，則a、b、c的大小關(guān)系是eq\x(導學號00814828)(B)A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a[解析]該題考查對數(shù)大小比較，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及尋求中間變量．∵a＝eqlog\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,2)，b＝eqlog\s\do8(\f(1,3))eq\f(2,3)，c＝log3eq\f(4,3)＝eqlog\s\do8(\f(1,3))eq\f(3,4)∵eqlog\s\do8(\f(1,3))x單調(diào)遞減而eq\f(1,2)<eq\f(2,3)<eq\f(3,4)∴eqlog\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,2)>eqlog\s\do8(\f(1,3))eq\f(2,3)>eqlog\s\do8(\f(1,3))eq\f(3,4)，即c<b<a.2．(2023·湖南高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是eq\x(導學號00814829)(A)A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)[解析]顯然，f(x)的定義域為(－1,1)，關(guān)于原點對稱，又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，顯然，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故選A．3．已知函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果對于任意x∈[3，＋∞)都有|f(x)|≥1成立，則a的取值范圍是[eq\f(1,3)，1)∪(1,3].eq\x(導學號00814830)[解析]由題意知，在區(qū)間[3，＋∞)上，當a>1時，因為|f(x)|≥1?f(x)≥1?loga3≥1.所以1<a≤3.當0<a<1時，因為|f(x)|≥1?f(x)≤－1?loga3≤－1.所以eq\f(1,3)≤a<1.綜上，可得a的取值范圍是[eq\f(1,3)，1)∪(1,3]．4．已知函數(shù)f(x)＝logax(0<a<1)，對于下列敘述：①若x>1，則f(x)<0；②若0<x<1，則f(x)>0；③若f(x1)>f(x2)，則x1>x2；④f(xy)＝f(x)＋f(y)．其中正確的序號是_①②④__.(寫出所有敘述正確的序號)eq\x(導學號00814831)[解析]f(x)＝logax(0<a<1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，易知①②正確，③錯誤；④符合對數(shù)的運算法則，正確．5．比較下列各組中兩個值的大?。篹q\x(導學號00814832)(1)，ln2；(2)，(a>0，且a≠1)；(3)，；(4)log3π，logπ3.[解析](1)因為函數(shù)y＝lnx是增函數(shù)，且<2，所以<ln2.(2)當a>1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又<，所以<；當0<a<1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又<，所以>.(3)解法1：因為0>>，所以eq\f(1,<eq\f(1,，即<.解法2：如圖所示由圖可知>.(4)因為函數(shù)y＝log3x是增函數(shù)，且π>3，所以log3π>log33＝1.同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.6．若x∈[2,4]，求函數(shù)y＝(eqlog\s\do8(\f(1,4))x)2－eqlog\s\do8(\f(1,4))x2＋5的值域.eq\x(導學號00814833)[解析]∵y＝(eqlog\s\do8(\f(1,4))x－1)2＋4,2≤x≤4，∴eqlog\s\do8(\f(1,4))x∈[－1，－eq\f(1,2)]．∴eq\f(25,4)≤y≤8.∴y＝(eqlog\s\do8(\f(1,4))x)2－eqlog\s\do8(\f(1,4))x2＋5的值域為[eq\f(25,4)，8]．C級能力拔高已知f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1).eq\x(導學號00814834)(1)求f(x)＋g(x)的定義域；(2)判斷f(x)＋g(x)的奇偶性并說明理由；(3)求使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合．[解析](1)f(x)＋g(x)的定義域需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,1－x>0，))∴－1<x<1，∴定義域為(－1,1)．(2)f(x)＋g(x)為偶函數(shù)設(shè)F(x)＝f(x)＋g(x)，則F(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝F(x)，又因為F(x)的定義域為(－1,1)關(guān)于原點對稱，所以f(x)＋g(x)為偶函數(shù)．(3)由f(x)＋g(x)<0得loga(x＋1)＋loga(1－x)<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－