高數(shù)定積分的應(yīng)用習(xí)題課

習(xí)題課1.定積分的應(yīng)用幾何方面:面積、體積、弧長、表面積.物理方面:質(zhì)量、作功、側(cè)壓力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形狀:條、段、帶、片、扇、環(huán)、殼等.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的應(yīng)用第六章元素法理論依據(jù)名稱釋譯所求量的特點(diǎn)解題步驟定積分應(yīng)用中的常用公式一、主要內(nèi)容1、元素法理論依據(jù)2、名稱釋譯3、所求量的特點(diǎn)4、解題步驟5、定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形參數(shù)方程所表示的函數(shù)如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積極坐標(biāo)情形(2)體積xyo平行截面面積為已知的立體的體積(3)平面曲線的弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為弧長C．曲線弧為弧長(4)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xyo例1.

求在區(qū)間上由曲線之間所圍成的圖形的面積。例3.求由曲線所圍成的平面圖形的面積。xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：考慮選擇x為積分變量，如何分析面積表達(dá)式？xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：考慮選擇y為積分變量，如何分析面積表達(dá)式？例

由1、求其所圍成的圖形的面積.所圍的平面圖形如圖所示0xy1解1、2、解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量于是所求面積說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．問題：積分變量只能選嗎？例1.

求拋物線在(0,1)內(nèi)的一條切線,使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解:

設(shè)拋物線上切點(diǎn)為則該點(diǎn)處的切線方程為它與x,y

軸的交點(diǎn)分別為所指面積機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束且為最小點(diǎn).故所求切線為得[0,1]上的唯一駐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

設(shè)非負(fù)函數(shù)曲線與直線及坐標(biāo)軸所圍圖形(1)求函數(shù)(2)

a

為何值時(shí),所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解:(1)由方程得面積為2,體積最小?即故得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束又(2)旋轉(zhuǎn)體體積又為唯一極小點(diǎn),因此時(shí)V

取最小值.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

證明曲邊扇形繞極軸證:

先求上微曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積體積微元故旋轉(zhuǎn)而成的體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故所求旋轉(zhuǎn)體體積為例4.求由與所圍區(qū)域繞旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.解:

曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為曲線上任一點(diǎn)到直線的距離為則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解解01x