高等數(shù)學(xué)5-2多元函數(shù)的極限連續(xù)性

第五章第二節(jié)一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限與連續(xù)性三、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的基本概念1一、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式2定義1.

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域（記作

R(f)）

.特別地,當(dāng)n=2時,有二元函數(shù)當(dāng)n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元(數(shù)量值)函數(shù),記作自變量，因變量？3例如,

二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形(Gr

f)一般為空間曲面

.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球Rn空間中的超平面？空間中的超曲面.Rn空間中的超平面？4等值線

：

另一種表示函數(shù)z=f(x,y)的方法是利用xOy面上的曲線族。當(dāng)點(diǎn)(x,y)在其中每一條曲線f(x,y)都取相同的值所謂的等值線f(x,y)=C，其中C為常數(shù)。它表示上變化時.函數(shù)5容易看出，等值線f(x,y)=C實際上就是曲面z=f(x,y)與平面z=C

的交線在xOy平面上的投影。因此,將等值線f(x,y)=C族中各曲線升到相應(yīng)得高度z=C處就不難想象出曲面z=f(x,y)的圖像6例

畫出函數(shù)的等值線，并由此等值線解:

顯然等值線為可知，此曲面僅位于xOy平面的上方，與xOy平面討論此曲面的形狀。容易看出，當(dāng)C>0時，等值線是以原點(diǎn)為中心的同心圓，C越小半徑越小;C=0時為原點(diǎn)O(0,0);C<0時無軌跡。由此切于原點(diǎn)，在xOy平面上方與水平平面z=C的截面都是圓，且越往上開口半徑越大等值面7定義

設(shè)非空點(diǎn)集是自變量

;是因變量，顯然，一個n元向量值函數(shù)y=f(x)對應(yīng)于m

個n

元數(shù)量值函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元向量值函數(shù),也可記作8為運(yùn)算方便，有時把其中與中的向量寫成列向量，在這種情況下n

元向量值函數(shù)也可記作9例

我們知道,空間中曲線的參數(shù)方程為它可以看做是從

到的一個映射，即一元其中向量值函數(shù)10二、多元函數(shù)的極限和連續(xù)性定義2.3設(shè)n

元函數(shù)點(diǎn)

,則稱a

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當(dāng)n=2時,記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)a,對一記作都有對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切11例1.

設(shè)求證:證:故總有要證12例2.

設(shè)求證：證：故總有要證13如圖xx0xx注：當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限以不同方式趨于不存在.函數(shù)說明：

14xoX0XD對二元函數(shù)f(X),如圖有點(diǎn)X以任何方式趨近于X0時,f(X)的極限都存在且為A.Dz=f(x,y)Xf(X)MX0Ayzxo15例3.設(shè)f(x,y)=證明

f(x,y)在(0,0)點(diǎn)的極限不存在.證:

只須證明當(dāng)X沿不同的線路趨于(0,0)時,函數(shù)

f(x,y)對應(yīng)的極限也不同即可.16考察X=(x,y)沿平面直線y=kx

趨于(0,0)的情形.如圖對應(yīng)函數(shù)值xoy17從而,當(dāng)X=(x,y)沿y=kx

趨于(0,0)時,函數(shù)極限當(dāng)k不同時,極限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的極限不存在.請考察當(dāng)X=(x,y)沿x

軸,沿y

軸趨于(0,0)的情形.18沿x

軸,y=0.函數(shù)極限=0沿y

軸,x=0.函數(shù)極限=0但不能由此斷定該二重極限為0(注).19例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故20例

.

求累次極限解：和二元函數(shù)還可以定義兩個累次極限

和累次極限21僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.注.二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.例322注：多元數(shù)量值函數(shù)極限的概念可推廣到多元向量值函數(shù)的情形定義：

設(shè)D為一點(diǎn)集則稱a

為函數(shù)為一n元向量值函數(shù)對一記作都有對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切是D的聚點(diǎn)23多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果下式成立否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點(diǎn)

.則稱n

元函數(shù)連續(xù).連續(xù),24例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).(一切初等函數(shù)，在定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù).)25定理：設(shè)是緊集，

是

A

上的

(2)f在

A

上可取得最大值M及最小值m;(最值定理)對任意(介值定理)三.多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):的連續(xù)函數(shù)，則(有界性定理)(1)f在A上有界;(3)當(dāng)A為連通的緊集時，26定理：設(shè)是緊集，

是

A

上連續(xù),f必在A上一致連續(xù)

,即(證明略)時，恒有注：有界閉區(qū)域都是連通的緊集，故上述定理對有界閉區(qū)域上的連續(xù)都成立。(一致連續(xù)性定理)27解:原式例5.求例6.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:28內(nèi)容小結(jié)1.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)29有2.多元函數(shù)的極限3.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P61題

2;4;5(3),(5)(畫圖

);8P129題

3;*4思考與練習(xí)30解答提示:P61題2.稱為二次齊次函數(shù).P61題4.P61題5(3).定義域P61題5(5).定義域31P62題8.間斷點(diǎn)集P129題3.定義域P129題*4.令y=kx

，若令,則可見極限不存在32

P615(2),(4),(6)6(2),(3),(5),