數(shù)字信號(hào)處理第4章 快速傅里葉變換

第四章快速傅里葉變換

FastFourierTransform——FFT離散傅里葉變換(DFT)

計(jì)算量太大(與N的平方成正比），很難實(shí)時(shí)地處理問(wèn)題，因此引出了快速傅里葉變換(FFT)。FFT并不是一種新的變換形式，它只是DFT的一種快速算法。并且根據(jù)對(duì)序列分解與選取方法的不同而產(chǎn)生了FFT的多種算法。

FFT在離散傅里葉反變換、線性卷積和線性相關(guān)等方面也有重要應(yīng)用。一、說(shuō)明二、本章主要內(nèi)容1.直接計(jì)算DFT算法存在的問(wèn)題及改進(jìn)途徑。2.多種DFT算法(時(shí)間抽取算法DIT算法，頻率抽取算法DIF算法，線性調(diào)頻Z變換即CZT法)3.FFT的應(yīng)用§4.1快速傅里葉變換一、DFT的運(yùn)算特點(diǎn)（計(jì)算量）正反變換的差別只在于WN的指數(shù)符號(hào)不同，以及差一個(gè)比例因子1/N，運(yùn)算量是一樣的。1、比較DFT與IDFT之間的運(yùn)算量計(jì)算一個(gè)X(k)值(一個(gè)頻率成分)，運(yùn)算量為2、以DFT為例，計(jì)算DFT的復(fù)數(shù)運(yùn)算量例k=1則要進(jìn)行N次復(fù)數(shù)乘法和(N-1)次復(fù)數(shù)加法所以，要完成整個(gè)DFT運(yùn)算，其計(jì)算量為：k從1取到N-1共N個(gè)值N*N次復(fù)數(shù)相乘和N*(N-1)次復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)運(yùn)算要比實(shí)數(shù)運(yùn)算復(fù)雜，需要的運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。一個(gè)復(fù)數(shù)乘法包括4個(gè)實(shí)數(shù)乘法和2個(gè)實(shí)數(shù)加法。3、一次復(fù)數(shù)乘法換算成實(shí)數(shù)運(yùn)算量4次實(shí)數(shù)乘法2次實(shí)數(shù)加法(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)4、計(jì)算DFT需要的實(shí)數(shù)運(yùn)算量每運(yùn)算一個(gè)X(k)的值，需要進(jìn)行：4N次實(shí)數(shù)乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次實(shí)數(shù)加法.整個(gè)DFT運(yùn)算量為：4N2次實(shí)數(shù)乘法和2N(2N-1)次實(shí)數(shù)加法.N次復(fù)數(shù)乘法和(N-1)次復(fù)數(shù)加法N*N次復(fù)數(shù)乘法和N*(N-1)次復(fù)數(shù)加法一次復(fù)數(shù)乘法包括4次實(shí)數(shù)乘法和2次實(shí)數(shù)加法一次復(fù)數(shù)加法包括2次實(shí)數(shù)加法可見(jiàn)計(jì)算DFT時(shí)，乘法次數(shù)和加法次數(shù)與N2成正比，當(dāng)N很大時(shí)，運(yùn)算量很大，所以要改進(jìn)DFT的算法，減少運(yùn)算次數(shù)。

1、對(duì)稱(chēng)性2、周期性（時(shí)域和頻域均具有周期性）

二、出發(fā)點(diǎn)（基本途徑）

例:利用以上特性改進(jìn)DFT的運(yùn)算:1）利用對(duì)稱(chēng)性合并DFT運(yùn)算中的某些項(xiàng)；2）利用周期性和對(duì)稱(chēng)性使長(zhǎng)序列的DFT分解為短序列的DFT。

（1）利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行合并對(duì)虛實(shí)部分別有：根據(jù)：有：結(jié)論：由此找出其它各項(xiàng)的類(lèi)似歸并方法，則乘法次數(shù)可以減少一半。例：（2）利用對(duì)稱(chēng)性和周期性將長(zhǎng)序列DFT分解為短序列DFT

--思路因?yàn)镈FT的運(yùn)算量與N2成正比如果一個(gè)大點(diǎn)數(shù)N的DFT能分解為若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合，則顯然可以達(dá)到減少運(yùn)算量的效果。--方法把N點(diǎn)數(shù)據(jù)分成兩半：其運(yùn)算量為：再分二半：=+=+++這樣一直分下去，剩下兩點(diǎn)的變換。--結(jié)論快速傅里葉變換(FFT)就是在此特性基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，并產(chǎn)生了多種FFT算法。按抽取方法分：時(shí)間抽取法(DIT);頻率抽取法(DIF)按“基數(shù)”分：基-2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法其它方法：線性調(diào)頻Z變換(CZT法)§4.2按時(shí)間抽取的FFT算法Decimation-In-Time(DIT)一、算法原理設(shè)輸入序列長(zhǎng)度為N=2M（M為正整數(shù)），將該序列按時(shí)間順序(n)的奇偶分解為越來(lái)越短的子序列，稱(chēng)為基-2按時(shí)間抽取的FFT算法。若序列長(zhǎng)度不滿足N=2M這個(gè)條件，則人為地加上若干零值（補(bǔ)零加寬）使其達(dá)到N=2M例:0123456789101112131415nx(n)設(shè)一序列x(n)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=9，應(yīng)補(bǔ)零加寬為N=24=16，應(yīng)補(bǔ)7個(gè)零值。二、算法步驟先將x(n)按n的奇偶分為兩組，作變量置換:當(dāng)n=偶數(shù)時(shí)，令n=2r；當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)，令n=2r+1；得到：x1(r)=x(2r)；x2(r)=x(2r+1)；r=0…N/2-11、分組，變量置換2、代入DFT中得：結(jié)論1一個(gè)N點(diǎn)的DFT被分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT。合成一個(gè)N/2點(diǎn)的DFT，即N點(diǎn)的DFT的前半部分，k=0,1…N/2-1;X1(k),X2(k)這兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT按照：再應(yīng)用W系數(shù)的周期性，求出用X1(k),X2(k)表示的后半部分的X(k+N/2)的值。3、求出后半部的表示式看出：后半部的k值所對(duì)應(yīng)的X1(k),X2(k)完全重復(fù)了前半部分的k值所對(duì)應(yīng)的X1(k),X2(k)的值。結(jié)論2頻域中的N個(gè)點(diǎn)頻率成分為：只要求出（0~N/2-1）區(qū)間內(nèi)的各個(gè)整數(shù)k值所對(duì)應(yīng)的X1(k),X2(k)值，即可求出(0~N-1)整個(gè)區(qū)間內(nèi)全部X(k)值，這就是FFT能大量節(jié)省計(jì)算的關(guān)鍵。結(jié)論3由于N=2M，因此N/2仍為偶數(shù)，可以依照上面方法進(jìn)一步把每個(gè)N/2點(diǎn)子序列按輸入n的奇偶分解為兩個(gè)N/4點(diǎn)的子序列，按這種方法不斷劃分下去，直到最后剩下的是2點(diǎn)DFT，兩點(diǎn)DFT實(shí)際上只是加減運(yùn)算。三、蝶形運(yùn)算流圖上面頻域中前/后半部分表示式可以用蝶形信號(hào)流圖表示。作圖要素：(1)左邊兩路為輸入(2)右邊兩路為輸出(3)中間以一個(gè)小圓表示加、減運(yùn)算（右上路為相加輸出、右下路為相減輸出)(4)如果在某一支路上信號(hào)需要進(jìn)行相乘運(yùn)算，則在該支路上標(biāo)以箭頭，將相乘的系數(shù)標(biāo)在箭頭旁。(5)當(dāng)支路上沒(méi)有箭頭及系數(shù)時(shí)，則該支路的傳輸比為1。X1(k)X2(k)蝶形運(yùn)算流圖的另一種表示方法X1(k)X2(k)-1例：求N=23=8點(diǎn)FFT先將N=8點(diǎn)DFT分解成2個(gè)4點(diǎn)DFT：可知：時(shí)域上：x(0),x(2),x(4),x(6)為偶子序列

x(1),x(3),x(5),x(7)為奇子序列頻域上：X(0)~X(3)，由X(k)給出X(4)~X(7),由X(k+N/2)給出（1）先按N=8→N/2=4，做4點(diǎn)的DFT：(a)比較N=8點(diǎn)直接DFT與分解2個(gè)4點(diǎn)DFT的FFT運(yùn)算量N=8點(diǎn)的直接DFT的計(jì)算量為：N2次(64次）復(fù)數(shù)相乘，N(N-1)次(8＊(8-1)=56次)復(fù)數(shù)相加，共計(jì)120次。(b)求一個(gè)蝶形結(jié)需要的運(yùn)算量要運(yùn)算一個(gè)蝶形結(jié)，需要一次乘法，兩次加法。(c)分解為兩個(gè)N/2=4點(diǎn)的DFT的運(yùn)算量偶數(shù)其復(fù)數(shù)相乘為復(fù)數(shù)相加為奇數(shù)其復(fù)數(shù)相乘為復(fù)數(shù)相加為(d)用2個(gè)4點(diǎn)來(lái)求N=8點(diǎn)的FFT所需的運(yùn)算量再將N/2點(diǎn)(4點(diǎn))合成N點(diǎn)(8點(diǎn))DFT時(shí)，需要進(jìn)行N/2個(gè)蝶形運(yùn)算還需N/2次（4次）乘法及次(8次）加法運(yùn)算。(e)將N=8點(diǎn)分解成2個(gè)4點(diǎn)的DFT的信號(hào)流圖X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)偶數(shù)序列x1(r)奇數(shù)序列x2(r)x(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)4點(diǎn)DFT4點(diǎn)DFTX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)(2)N/2(4點(diǎn))N/4(2點(diǎn))FFT即分別將x1(r)和x2(r)按r的奇/偶分解成兩個(gè)N/4點(diǎn)（2點(diǎn)）的子序列。(a)先將4點(diǎn)分解成2點(diǎn)的DFT：(b)求2點(diǎn)的DFT(c)將一個(gè)4點(diǎn)分解成2個(gè)2點(diǎn)的DFT的蝶形流圖2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(0)x(4)x(2)x(6)X3(0)X3(1)X4(0)X4(1)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)(d)另一個(gè)蝶形流圖同理：2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(1)x(5)x(3)x(7)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)(3)將N/4點(diǎn)（2點(diǎn)）DFT再分解成2個(gè)1點(diǎn)的DFT一點(diǎn)DFT就等于輸入信號(hào)本身，所以兩點(diǎn)DFT可用一個(gè)蝶形結(jié)表示。取x(0)、x(4)為例。(a)求2個(gè)一點(diǎn)的DFT(b)一個(gè)2點(diǎn)的DFT蝶形流圖

1點(diǎn)DFTx(0)1點(diǎn)DFTx(4)X3(0)X3(1)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：x(0)x(4)X3(0)X3(1)(4)一個(gè)N=8完整的按時(shí)間抽取FFT的運(yùn)算流圖x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)m=0m=1m=2四、FFT算法中一些概念

將N點(diǎn)DFT先分成兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT，再分成四個(gè)N/4點(diǎn)DFT…直至N/2個(gè)兩點(diǎn)DFT。每分一次稱(chēng)為一“級(jí)”運(yùn)算。因?yàn)镹=2M所以N點(diǎn)DFT可分成M級(jí)如上圖所示依次m=0,m=1….M-1共M級(jí)（1）“級(jí)”（2）“組”每一級(jí)都有N/2個(gè)蝶形單元。例如：N=8，則每級(jí)都有4個(gè)蝶形單元。每一級(jí)的N/2個(gè)蝶形單元可以分成若干組，每一組具有相同的結(jié)構(gòu)，相同的因子分布，第m級(jí)的組數(shù)為：例：N=8=23，分3級(jí)。m=0級(jí),分成四組,每組系數(shù)為m=1級(jí),分成二組,每組系數(shù)為m=2級(jí),分成一組,每組系數(shù)為（3）因子的分布結(jié)論：每由后向前（m由M-1→0級(jí)）推進(jìn)一級(jí)，則此系數(shù)為后級(jí)系數(shù)中偶數(shù)序號(hào)的那一半。（4）按時(shí)間抽取法2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)4點(diǎn)DFT兩個(gè)4點(diǎn)DFT兩個(gè)N/2點(diǎn)DFTX1(k)…...X2(k)X(k)每一步分解都是基于在每級(jí)按輸入時(shí)間序列的次序是偶數(shù)還是奇數(shù)來(lái)分解為兩個(gè)更短的序列，所以稱(chēng)為“按時(shí)間抽取法”。x(n)五、按時(shí)間抽取的FFT算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較由前面介紹的按時(shí)間抽取的FFT運(yùn)算流圖可見(jiàn)：每級(jí)都由N/2個(gè)蝶形單元構(gòu)成，因此每一級(jí)運(yùn)算都需要N/2次復(fù)乘和N次復(fù)加（每個(gè)結(jié)加減各一次）。這樣（N=2M)M級(jí)運(yùn)算共需要：復(fù)乘次數(shù)：復(fù)加次數(shù)：結(jié)論：按時(shí)間抽取法所需的復(fù)乘數(shù)和復(fù)加數(shù)都是與

成正比。而直接計(jì)算DFT時(shí)所需的復(fù)乘數(shù)與復(fù)加數(shù)則都是與N2成正比。(復(fù)乘數(shù)md=N2,復(fù)加數(shù)ad=N(N-1)≈N2)例子N=8點(diǎn)和N=1024點(diǎn)時(shí)直接計(jì)算DFT與用基2-按時(shí)間抽取法FFT的運(yùn)算量。看出：當(dāng)N較大時(shí)，按時(shí)間抽取法將比直接法快一、二個(gè)數(shù)量級(jí)之多。六、按時(shí)間抽取FFT算法的特點(diǎn)1、原位運(yùn)算（in-place)2、碼位倒置1、原位運(yùn)算（in-place)原位運(yùn)算的結(jié)構(gòu)，可以節(jié)省存儲(chǔ)單元，降低設(shè)備成本。定義：當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲(chǔ)器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，仍然存放在這同一組存儲(chǔ)器中直到最后輸出。x(0)x(4)X3(0)X3(1)例：N=8FFT運(yùn)算,輸入:x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)=X(0)A(1)=X(1)A(2)=X(2)A(3)=X(3)A(4)=X(4)A(5)=X(5)A(6)=X(6)A(7)=X(7)R1R1R1R1R1R2R1R1R2R2R3R4看出：用原位運(yùn)算結(jié)構(gòu)運(yùn)算后，A(0)…A(7)正好順序存放X(0)…X(7),可以直接順序輸出。2、碼位倒置從輸入序列的序號(hào)及整序規(guī)律得到碼位倒讀規(guī)則。由N=8蝶形圖看出：原位計(jì)算時(shí)，F(xiàn)FT輸出的X(k)的次序正好是順序排列的，即X(0)…X(7)，但輸入x(n)都不能按自然順序存入到存儲(chǔ)單元中，而是按x(0),x(4),x(2),x(6)….的順序存入存儲(chǔ)單元即為亂序輸入，順序輸出。這種順序看起來(lái)相當(dāng)雜亂，然而它是有規(guī)律的。即碼位倒讀規(guī)則。以N=8為例：01234567000001010011100101110111自然順序n二進(jìn)制碼表示碼位倒讀碼位倒置順序n’00010001011000110101111104261537看出：碼位倒讀后的順序剛好是數(shù)據(jù)送入計(jì)算機(jī)內(nèi)的順序。作業(yè)：習(xí)題4.2按時(shí)間抽取§4.4離散傅里葉反變換的快速算法以上所討論的FFT的運(yùn)算方法同樣可用于IDFT的運(yùn)算，簡(jiǎn)稱(chēng)為IFFT。即快速傅里葉反變換。從IDFT的定義出發(fā)，可以導(dǎo)出下列兩種利用FFT來(lái)計(jì)算IFFT的方法。一、利用FFT計(jì)算IFFT的思路將下列兩式進(jìn)行比較二、注意利用FFT計(jì)算IFFT時(shí)命名應(yīng)為：(1)把FFT的時(shí)間抽取法，用于IDFT運(yùn)算時(shí)，由于輸入變量由時(shí)間序列x(n)改成頻率序列X(k)，原來(lái)按x(n)的奇、偶次序分組的時(shí)間抽取法FFT，現(xiàn)在就變成了按X(k)的奇偶次序抽取了，即為頻率抽取的IFFT。(2)頻率抽取的FFT運(yùn)算用于IDFT運(yùn)算時(shí)，則應(yīng)變?yōu)闀r(shí)間抽取的IFFT。IFFT的基本蝶形運(yùn)算ABAB(a)頻率抽取IFFT的蝶形運(yùn)算(b)時(shí)間抽取IFFT的蝶形運(yùn)算三、直接利用FFT流圖的方法前面IFFT算法，編程方便，但要改動(dòng)FFT的程序和參數(shù)才能實(shí)現(xiàn)。推導(dǎo)此為DFT可用FFT程序(1)將X(k)的虛部乘以-1，即先取X(k)的共軛，得X*(k)。(2)將X*(k)作為FFT程序的輸入，即可得出Nx*(n)。(3)再對(duì)運(yùn)算結(jié)果取一次共軛，并乘以常數(shù)1/N，即可求出x(n)的值。此時(shí)則可以完全不必改動(dòng)FFT程序。步驟：§4.5實(shí)序列的快速傅里葉變換前面介紹的FFT是以x(n)作為復(fù)序列進(jìn)行討論的，而實(shí)際信號(hào)都是實(shí)序列；由于實(shí)序列可以看做是虛部為零的復(fù)序列，所以同樣可以利用FFT計(jì)算實(shí)序列的傅里葉變換。但是這樣處理后，存儲(chǔ)器增加了一倍，造成了浪費(fèi)，所以要做一下變換，利用N個(gè)樣值的復(fù)序列的FFT程序來(lái)計(jì)算2N個(gè)樣點(diǎn)的實(shí)序列的變換。1、將長(zhǎng)度為2N的實(shí)序列x(n)按n的奇偶分為兩個(gè)子序列x1(n)和x2(n)的變換分別為X1(k)和X2(k)用一個(gè)N點(diǎn)的FFT計(jì)算一個(gè)2N點(diǎn)的實(shí)序列的DFTx(n)的變換X(k)可以表示為：2、將x1(n)和x2(n)分別作為N個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)序列的實(shí)部和虛部，即令y(n)=x1(n)+jx2(n)，調(diào)用復(fù)序列的FFT計(jì)算程序fft(y)，求出其變換Y(k)。則Y(k)=Yr(k)+jYi(k)即為所求？X1(k)!=Yr(k),X2(k)!=Yi(k)Y(k)=Yr(k)+jYi(k)不是最終結(jié)果3、建立X1(k)、X2(k)和Yr(k)、Yi(k)之間的關(guān)系4、將用Yr(k)、Yi(k)表示的X1(k)、

X2(k)分別帶入X(k)的表達(dá)式，即得所求即得2N點(diǎn)的實(shí)序列的傅里葉變換總結(jié)：1、將長(zhǎng)度為2N的實(shí)序列x(n)的偶數(shù)單元和奇數(shù)單元作為兩個(gè)獨(dú)立的子序列x1(n)和x2(n)；2、y(n)=x1(n)+jx2(n)，調(diào)用復(fù)序列的FFT計(jì)算程序four1，求出其變換Y(k)。得Y(k)=Yr(k)+jYi(k)；3、建立X1(k)、Yr(k)和X2(k)、Yi(k)之間的關(guān)系；4、將用Yr(k)、Yi(k)表示的X1(k)、

X2(k)分別帶入X(k)的表達(dá)式，即得所求；雙道組合法同時(shí)計(jì)算兩個(gè)長(zhǎng)度為N的實(shí)函數(shù)的FFT類(lèi)似于用一個(gè)N點(diǎn)的復(fù)序列的FFT計(jì)算一個(gè)2N點(diǎn)的實(shí)序列的FFT雙道組合：將x1(n)和x2(n)分別作為N個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)序列y(n)的實(shí)部和虛部，即令y(n)=x1(n)+jx2(n)

步驟：（思想）1、將x1(n)和x2(n)分別作為N個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)序列y(n)的實(shí)部和虛部，即y(n)=x1(n)+jx2(n)，調(diào)用復(fù)序列的FFT程序fft(y)，求出其變換Y(k)，得Y(k)=Yr(k)+Yi(k)；

2、Y(k)=DFT[x1(n)+jx2(n)]=X1(k)+jX2(k)；建立X1(k)、Yr(k)和X2(k)、Yi(k)之間的關(guān)系；3、用Yr(k)、Yi(k)表示X1(k)、

X2(k)即得所求；建立X1(k)、Yr(k)和X2(k)、Yi(k)之間的關(guān)系§4.8信號(hào)處理中快速傅里葉變換的應(yīng)用即DFT本身的特性所產(chǎn)生的影響1、連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜分析中的混疊失真2、頻譜泄漏（1）周期序列（2）非周期序列3、柵欄效應(yīng)與頻率分辨力一、連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜分析中的混疊失真時(shí)域抽樣～頻域周期延拓有限時(shí)間信號(hào)的頻譜是無(wú)限的混疊是必然的對(duì)于限帶信號(hào)（滿足抽樣定理）抽樣頻率大于信號(hào)最高頻率的兩倍fs2fm混疊影響信號(hào)的恢復(fù)減小或消除混疊，就要減小Ts=1/fs頻譜混疊

非周期連續(xù)函數(shù)抽樣后的幅頻曲線0Ts

n0N/2N(b)頻域一個(gè)周期內(nèi)在N/2（折疊頻率）附近出現(xiàn)混疊(a)時(shí)域按周期Ts采樣二、頻率泄漏截?cái)嘁饡r(shí)域乘積～頻域卷積頻率泄漏：矩形窗函數(shù)的頻譜是抽樣函數(shù)，它與周期序列頻譜卷積的結(jié)果使原來(lái)集中的頻譜展寬，稱(chēng)為…選取頻譜的旁瓣較小的窗函數(shù)進(jìn)行截?cái)啵詼p輕泄漏的影響。周期信號(hào)的截?cái)嘤捎谥芷谛蛄惺菬o(wú)限長(zhǎng)時(shí)間序列，因此對(duì)其進(jìn)行頻譜分析時(shí)，要先進(jìn)行截?cái)啵捎贒FT隱含有周期性，實(shí)際上還要作周期延拓。如果截?cái)鄥^(qū)間剛好就是該序列周期的整數(shù)倍，那么在進(jìn)行周期延拓后，將還原出原來(lái)的周期序列，由此可以較精確地計(jì)算出的該周期序列的頻譜。反之，如果截?cái)鄥^(qū)間并不是該序列周期的整數(shù)倍，那么在進(jìn)行周期延拓后，就不可能還原出原來(lái)的周期序列，由此計(jì)算出的頻譜與該周期序列的頻譜存在誤差，而且誤差的大小與截?cái)鄥^(qū)間的選取直接相關(guān)。這種誤差是由于周期序列與矩形截?cái)嘈蛄邢喑嗽陬l域產(chǎn)生二者的頻譜卷積形成的周期信號(hào)截?cái)嗪蟮念l譜信號(hào)截?cái)?，相?dāng)于信號(hào)和矩形窗相乘：時(shí)域兩個(gè)序列相乘后，頻域?yàn)閮蓚€(gè)信號(hào)頻譜的卷積相頻幅頻

主瓣第一旁瓣矩形窗的頻譜頻譜特點(diǎn)：抽樣函數(shù)除了主瓣內(nèi)集中了大部分能量外，旁瓣也分散了一部分能量對(duì)周期信號(hào)頻譜的影響：由于抽樣函數(shù)的特點(diǎn)，使得周期信號(hào)截?cái)嗪蟮玫降男盘?hào)的頻譜在原信號(hào)頻率位置附近出現(xiàn)極大值，在整個(gè)頻率區(qū)間呈現(xiàn)某種分布態(tài)勢(shì)，即抽樣函