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文檔簡介
第四章§1一、選擇題(每小題5分,共20分)1.下面對于函數y=x3-3x2-9x(-2<x<2)的判斷正確的是()A.極大值為5,極小值為-27B.極大值為5,極小值為-11C.極大值為5,無極小值D.極小值為-27,無極大值解析:y′=3x2-6x-9=3(x2-2x-3),令y′=0,可得x=3或x=-1.當-2<x<-1時,y′>0;當-1<x<2時,y′<0,故當x=-1時y取得極大值.答案:C2.若函數f(x)=x·2x在x0處有極小值,則x0等于()\f(1,ln2) B.-eq\f(1,ln2)C.-ln2 D.ln2解析:∵y=x·2x,∴y′=2x+x·2x·ln2=2x·(1+x·ln2).令y′=0可得:x=-eq\f(1,ln2).當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,ln2)))時,y′<0,當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,ln2),+∞))時,y′>0.∴x=-eq\f(1,ln2)為極小值點.故選B.答案:B3.已知函數f(x)=x3-px2-qx的圖像與x軸切于點(1,0),則f(x)的極值為()A.極大值為eq\f(4,27),極小值為0B.極大值為0,極小值為eq\f(4,27)C.極小值為-eq\f(4,27),極大值為0D.極大值為-eq\f(4,27),極小值為0解析:f′(x)=3x2-2px-q,根據題意,x=1是函數的一個極值點,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1=0,,f1=0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p=2,,q=-1,))所以f′(x)=3x2-4x+1.令f′(x)=0,得x=1或x=eq\f(1,3).易判斷x=eq\f(1,3)時,f(x)有極大值為eq\f(4,27),當x=1時,f(x)有極小值為0,故選A.答案:A4.函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數f′(x)在(a,b)內的圖像如圖所示,則函數f(x)在開區(qū)間(a,b)內有極小值點()A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析:函數在極小值點附近的圖像應有先減后增的特點,因此應該從左到右找在導函數的圖像上從x軸下方變?yōu)閤軸上方的點,這樣的點只有1個,所以函數f(x)在開區(qū)間(a,b)內只有1個極小值點,故選A.答案:A二、填空題(每小題5分,共10分)5.設a∈R,若函數y=ex+ax,x∈R,有大于零的極值點,則a的取值范圍為________.解析:y′=ex+a,由y′=0得x=ln(-a).由題意知ln(-a)>0,∴a<-1.答案:(-∞,-1)6.已知函數f(x)=ax3+bx2+cx,其導函數y=f′(x)的圖像如圖所示,則下列說法中不正確的是________.①當x=eq\f(3,2)時函數取得極小值;②函數有兩個極值點;③當x=2時函數取得極小值;④當x=1時函數取得極大值.解析:從圖像上可以看到:當x∈(-∞,1)時,f′(x)>0;當x∈(1,2)時,f′(x)<0;當x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,所以f(x)有兩個極值點1和2,當x=2時,函數取得極小值.當x=1時,函數取得極大值.所以只有①不正確.答案:①三、解答題(每小題10分,共20分)7.求函數f(x)=x2e-x的極值.解析:函數的定義域為R,f′(x)=2xe-x+x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)))′=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x,令f′(x)=0,得x=0或x=2,當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)04e-2由上表可以看出,當x=0時,函數有極小值,且f(0)=0.當x=2時,函數有極大值,且f(2)=4e-2.8.已知函數y=ax3+bx2,當x=1時函數有極大值3.(1)求a,b的值;(2)求函數y的極小值.解析:(1)y′=3ax2+2bx,當x=1時,y′=3a+2b=0,又y=a+b即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a+2b=0,,a+b=3,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-6,,b=9.))(2)y=-6x3+9x2,y′=-18x2+18x,令y′=0,得x=0或x=1.∴當x=0時,函數y取得極小值0.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9.(10分)求a為何值時,使方程x3-3x2-a=0恰有一個實根,兩個不等實根,三個不等實根,無實根.解析:令f(x)=x3-3x2,則f(x)的定義域為R.由f′(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.∴當x<0或x>2時,f′(x)>0;當0<x<2時,f′(x)<0.函數f(x)在x=0處有極大值0,在x=2處有極小值-4.如圖所示.方程x3-3x2-a=0的根即
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