高中數(shù)學北師大版5第二章幾個重要的不等式 學業(yè)分層測評9不等式的應用

學業(yè)分層測評(九)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、選擇題1．某商場中秋前30天月餅銷售總量f(t)與時間t(0<t≤30)的關(guān)系大致滿足f(t)＝t2＋10t＋16，則該商場前t天平均售出(如前10天的平均售出為eq\f(f10,10))的月餅最少為()A．18 B．27C．20 D．16【解析】平均銷售量y＝eq\f(ft,t)＝eq\f(t2＋10t＋16,t)＝t＋eq\f(16,t)＋10≥18.當且僅當t＝eq\f(16,t)，即t＝4∈1,30]等號成立，即平均銷售量的最小值為18.【答案】A2．爬山是一種簡單有趣的野外運動，有益于身體健康，但要注意安全，準備好必需物品，控制好速度．現(xiàn)有甲、乙兩人相約爬山，若甲上山的速度為v1，下山(原路返回)的速度為v2(v1≠v2)，乙上下山的速度都是eq\f(1,2)(v1＋v2)(兩人途中不停歇)，則甲、乙兩人上下山所用時間t1，t2的關(guān)系為()A．t1＞t2 B．t1＜t2C．t1＝t2 D．不能確定【解析】設s為上山路程，則下山路程亦為s.t1＝eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)＞2eq\r(\f(s2,v1v2))＝eq\f(2s,\r(v1v2))，t2＝eq\f(2s,\f(1,2)v1＋v2)＝eq\f(4s,v1＋v2)＜eq\f(4s,2\r(v1v2))＝eq\f(2s,\r(v1v2))，∴t1＞t2.【答案】A3．已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列總成立的是()A．V≥π B．V≤πC．V≥eq\f(1,8)π D．V≤eq\f(1,8)π【解析】設圓柱的底面半徑為r，則高h＝eq\f(6－4r,2)＝3－2r.∴V＝πr2(3－2r)＝πr·r(3－2r)≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,3)))eq\s\up12(3)＝π.【答案】B4．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10km處建倉庫，那么這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站()A．5km處 B．4km處C．3km處 D．2km處【解析】設倉庫到車站的距離為xkm，y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x.依題意，得2＝eq\f(k1,10)，8＝10k2，∴k1＝20，k2＝eq\f(4,5).令y＝y(tǒng)1＋y2＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x.∵eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，當且僅當eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5時，等號成立，∴當x＝5時，費用最少．【答案】A5．某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高，當住第n層樓時，上下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨樓層升高，環(huán)境不滿程度降低，設住第n層樓時，環(huán)境不滿意程度為eq\f(8,n)，則此人應選()A．1樓 B．2樓C．3樓 D．4樓【解析】此人不滿意程度越小，樓層越好，設y＝n＋eq\f(8,n)，可求出此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2eq\r(2))，增區(qū)間為2eq\r(2)，＋∞)，當n＝2時，y＝6，當n＝3時，y＝5eq\f(2,3)，因此3層樓不滿意度最小．【答案】C二、填空題6．若關(guān)于x的不等式x2－ax－6a＜0有解，且解集的區(qū)間長度不超過5個單位，則正實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】設不等式x2－ax－6a＜0的解集為(x1，x2)，則x1＋x2＝a，x1x2＝－6a.∴|x2－x1|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(a2＋24a)，依題意，0＜eq\r(a2＋24a)≤5,0＜a≤1.【答案】(0,1]7．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸.【導學號：94910027】【解析】一年購買eq\f(400,x)次，總運費是4·eq\f(400,x)＝eq\f(1600,x)萬元，總存儲費4x萬元．∴一年的總費用t＝4x＋eq\f(1600,x)取最小值時，有4x＝eq\f(1600,x)，∴x＝20.【答案】208．在如圖1-5-3所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________(m)．圖1-5-3【解析】設矩形花園的寬為ym，則eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花園的面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，當x＝20m時，面積最大．【答案】20三、解答題9．某種商品原來每件售價為25元，年銷售量8萬件．(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最高為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入eq\f(1,6)(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入eq\f(1,5)x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，并求出此時商品的每件定價．【解】(1)設每件定價為x元，依題意，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(x－25,1)×)x≥25×8，整理得x2－65x＋1000≤0，解得25≤x≤40.∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最高為40元．(2)依題意，x>25時，不等式ax≥25×8＋50＋eq\f(1,6)(x2－600)＋eq\f(1,5)x有解，等價于x>25時，a≥eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x＋eq\f(1,5)有解，∵eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x≥2eq\r(\f(150,x)·\f(1,6)x)＝10(當且僅當x＝30時，等號成立)，∴a≥.∴當該商品明年的銷售量a至少應達到萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．10．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．【解】(1)由題設，隔熱層厚度為xcm時，每年能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費用為C1(x)＝6x.∴隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f(x)＝eq\f(800,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋2(3x＋5)－10≥2eq\r(1600)－10＝70，當且僅當eq\f(800,3x＋5)＝2(3x＋5)，即x＝5時取最小值．∴當隔熱層修建5cm厚時，總費用最小為70萬元．能力提升]1．某城市為控制用水，計劃提高水價，現(xiàn)有四種方案，其中提價最多的方案是(已知0＜q＜p＜1)()A．先提價p%，再提價q%B．先提價q%，再提價p%C．分兩次都提價eq\r(\f(q2＋p2,2))%D．分兩次都提價eq\f(p＋q,2)%【解析】eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≥ab，由題可知，A，B兩次提價均為(1＋p%)(1＋q%)相等，C提價eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(p2＋q2),2)%))eq\s\up12(2)，D提價eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,2)%))eq\s\up12(2)，eq\f(p＋q,2)＜eq\r(\f(p2＋q2,2))?(1＋p%)(1＋q%)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,2)%))eq\s\up12(2)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(\f(p2＋q2,2))%))eq\s\up12(2)，則提價最多為C.【答案】C2．已知M是△ABC內(nèi)的一點，且eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為eq\f(1,2)，x，y，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是()A．20 B．18C．16 D．19【解析】由eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|·|eq\o(AC,\s\up12(→))|cos30°＝2eq\r(3)得|eq\o(AB,\s\up12(→))|·|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝4，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up12(→))|·|eq\o(AC,\s\up12(→))|sin30°＝1，由eq\f(1,2)＋x＋y＝1，得x＋y＝eq\f(1,2).所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))·(x＋y)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥2×(5＋2×2)＝18.【答案】B3．設a＞0，b＞0，稱eq\f(2ab,a＋b)為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖1-5-4所示，C為線段AB上的點，且AC＝a，CB＝b，O為AB中點，以AB為直徑作半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD.過點C作OD的垂線，垂足為E.則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段________的長度是a，b的幾何平均數(shù)，線段________的長度是a，b的調(diào)和平均數(shù)．圖1-5-4【解析】在Rt△ABD中，CD是斜邊AB上的高，所以CD2＝AC·CB，所以CD＝eq\r(AC·CB)＝eq\r(ab)，所以線段CD的長度是a，b的幾何平均數(shù)．在Rt△OCD中，因為CE⊥OD，所以eq\f(DE,CD)＝eq\f(CD,OD)，所以線段DE＝eq\f(CD2,OD)＝eq\f(ab,\f(a＋b,2))＝eq\f(2ab,a＋b).所以線段DE的長度是a，b的調(diào)和平均數(shù)．【答案】CDDE4．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)【解】(1)由題意，當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b，則由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0≤x<20，,\f(1,3)200－x，20≤x≤200.))(2)依題意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x，0≤x<20，,\f(1,3)x200－x，20≤x≤200.))當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當x＝20時，f(x)取得最大值為60×20＝12