二元一次方程應(yīng)用題

二元一次方程組應(yīng)用探索用代入法解二元一次方程組的步驟：(1).求表達(dá)式：從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將此方程中的一個(gè)未知數(shù)，如y，用含x的代數(shù)式表示;(2).把這個(gè)含x的代數(shù)式代入另一個(gè)方程中，消去y，得到一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程；(3).解一元一次方程，求出x的值;(4).再把求出的x的值代入變形后的方程，求出y的值.1.行程問題:1.相遇問題:甲的路程+乙的路程=總的路程(環(huán)形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈長(zhǎng)2.追及問題:快者的路程-慢者的路程=原來相距路程(環(huán)形跑道):快者的路程-慢者的路程=一圈長(zhǎng)3.順逆問題:順?biāo)?靜速+水(風(fēng))速逆速=靜速-水(風(fēng))速二.列二元一次方程組解應(yīng)用題1.某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由甲地趕往乙地,如果他以每小時(shí)50千米的速度行駛,就會(huì)遲到24分鐘,如果他以每小時(shí)75千米的速度行駛,就會(huì)提前24分鐘到達(dá)乙地,求甲、乙兩地間的距離.、解：設(shè)甲、乙兩地間的距離為S千米，規(guī)定時(shí)間為t小時(shí),根據(jù)題意得方程組2.甲、乙二人以不變的速度在環(huán)形路上跑步,如果同時(shí)同地出發(fā),相向而行,每隔2分鐘相遇一次;如果同向而行,每隔6分鐘相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每分鐘各跑多少圈?解：設(shè)甲、乙二人每分鐘各跑x、y圈，根據(jù)題意得方程組解得答:甲、乙二人每分鐘各跑、圈，某學(xué)?，F(xiàn)有甲種材料3５㎏,乙種材料29㎏,制作A.B兩種型號(hào)的工藝品,用料情況如下表:需甲種材料需乙種材料1件A型工藝品0.9㎏0.3㎏1件B型工藝品0.4㎏1㎏(1)利用這些材料能制作A.B兩種工藝品各多少件?(2)若每公斤甲.乙種材料分別為8元和10元,問制作A.B兩種型號(hào)的工藝品各需材料多少錢?2.圖表問題年底，國(guó)內(nèi)各汽車企業(yè)展開價(jià)格大戰(zhàn)，汽車價(jià)格大幅下降，有些型號(hào)的汽車供不應(yīng)求。某汽車生產(chǎn)廠接受了一份訂單，要在規(guī)定的日期內(nèi)生產(chǎn)一批汽車，如果每天生產(chǎn)35輛，則差10輛完成任務(wù)，如果每天生產(chǎn)40輛，則可提前半天完成任務(wù)，問訂單要多少輛汽車，規(guī)定日期是多少天？3.總量不變問題解:設(shè)訂單要輛x汽車，規(guī)定日期是y天,根據(jù)題意得方程組解這個(gè)方程組，得答：訂單要220輛汽車，規(guī)定日期是6天4.銷售問題:標(biāo)價(jià)×折扣=售價(jià)售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)利潤(rùn)率=已知甲.乙兩種商品的標(biāo)價(jià)和為100元,因市場(chǎng)變化,甲商品打9折,乙商品提價(jià)5﹪,調(diào)價(jià)后,甲.乙兩種商品的售價(jià)和比標(biāo)價(jià)和提高了2﹪,求甲.乙兩種商品的標(biāo)價(jià)各是多少?答：甲種商品的標(biāo)價(jià)是20元，乙種商品的標(biāo)價(jià)是80元.解：設(shè)甲、乙兩種商品的標(biāo)價(jià)分別為x、y元，根據(jù)題意，得解這個(gè)方程組，得某車間每天能生產(chǎn)甲種零件120個(gè)，或者乙種零件100個(gè)，或者丙種零件200個(gè)，甲，乙，丙3種零件分別取3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，才能配一套，要在30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，問甲，乙，丙3種零件各應(yīng)生產(chǎn)多少天？5、配套問題補(bǔ)充練習(xí)題1.A、B兩地相距36千米.甲從A地出發(fā)步行到B地,乙從B地出發(fā)步行到A地.兩人同時(shí)出發(fā),4小時(shí)相遇,6小時(shí)后,甲所余路程為乙所余路程的2倍,求兩人的速度.解:設(shè)甲、乙的速度分別為x千米/小時(shí)和y千米/小時(shí).依題意可得:解得

答:甲、乙的速度分別為4千米/小時(shí)和5千米/小時(shí).2.下表是某一周甲、乙兩種股票的收盤價(jià)（股票每天交易結(jié)束時(shí)的價(jià)格）星期一星期二甲12乙13.5

張師傅在該周內(nèi)持有若干甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天收盤價(jià)計(jì)算（不計(jì)手續(xù)費(fèi)、稅費(fèi)等），該人賬戶中星期二比星期一多獲利200元，星期三比星期二多獲利1300元，試問張師傅持有甲、乙股票各多少股？12.513.3星期三星期四星期五星期六12.913.912.4513.412.7513.15休盤休盤解：設(shè)張師傅持有甲種股票x股，乙種股票y股，根據(jù)題意，得解得答：張師傅持有甲種股票1000股，乙種股票1500股.3.某中學(xué)組織初一學(xué)生春游,原計(jì)劃租用45座客車若干輛,但有15人沒有座位;若租用同樣數(shù)量的60座客車,則多出了一輛車,且其余客車恰好坐滿.已知45座客車日租金為每輛220元,60座客車日租金為每輛300元,試問:(1)初一年級(jí)的人數(shù)是多少?原計(jì)劃租用45座客車多少輛?(2)若租用同一種車,要使每位同學(xué)都有座位,怎樣租用更合算?4.打折前,買60件A商品和30件B商品用了1080元,買50件A商品和10件B商品用了840元.打折后,買500件A商品和500件B商品用了9600元.問:比不打折少花多少錢?24.某車間每天能生產(chǎn)甲種零件120個(gè)，或者乙種零件100個(gè)，或者丙種零件200個(gè)，甲，乙，丙3種零件分別取3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，才能配一套，要在30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，問甲，乙，丙3種零件各應(yīng)生產(chǎn)多少天？25某市為更有效地利用水資源，制定了用水標(biāo)準(zhǔn)：如果一戶三口之家每月用水量不超過M立方米，按每立方米水1.30元收費(fèi)；如果超過M立方米，超過部分按每立方米水2.90元收費(fèi)，其余仍按每立方米水1.30元計(jì)算。小紅一家三人，一月份共用水12立方米，支付水費(fèi)22元。問該市制定的用水標(biāo)準(zhǔn)M為多少？小紅一家超標(biāo)使用了多少立方米水？分析：M+超標(biāo)使用的水量=12立方米；沒超標(biāo)部分的水費(fèi)+超標(biāo)部分的水費(fèi)=22元解：設(shè)小紅一家超標(biāo)使用了X立方米水解得26.長(zhǎng)風(fēng)樂園的門票價(jià)格規(guī)定如下表所列。某校初一(1)、(2)兩個(gè)班共104人去游長(zhǎng)風(fēng)樂園，其中(1)班人數(shù)較少，不到50人，(2)班人數(shù)較多，有50多人。經(jīng)估算，如果兩班都以班為單位分別購(gòu)票，則一共應(yīng)付1240元；如果兩班聯(lián)合起來，作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，則可以節(jié)省不少錢。問兩班各有多少名學(xué)生？購(gòu)票人數(shù)1—50人51—100人100人以上每人門票價(jià)13元11元9元分析：(1)班人數(shù)+(2)班人數(shù)=104人；(1)班單獨(dú)購(gòu)票的價(jià)錢+(2)班單獨(dú)購(gòu)票的價(jià)錢=1240元解：設(shè)(1)班有x人，(2)班有y人例1甲、乙兩人從相距36米的兩地相向而行。如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后經(jīng)2.5小時(shí)相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng)3小時(shí)相遇；求甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？36千米甲先行2時(shí)走的路程乙出發(fā)后甲、乙2.5時(shí)共走路程甲乙甲乙相遇相遇36千米甲出發(fā)后甲、乙3時(shí)共走路程乙先行2時(shí)走的路程甲出發(fā)后4時(shí)甲走的路程乙先行2時(shí)走的路程甲出發(fā)后乙4時(shí)走的路程AB追上AB相遇36千米甲出發(fā)后甲、乙3時(shí)共走路程乙先行1.5時(shí)走的路程做一個(gè)豎式盒子要用幾張長(zhǎng)方形紙板和幾張正方形紙板？里有1000張正方形紙板和2000張長(zhǎng)方形紙板，問兩種紙盒各做多少只，恰好使庫存的紙板用完？豎式紙盒展開圖橫式紙盒展開圖例2用如圖一中的長(zhǎng)方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖二中豎式和橫式的兩種無蓋紙盒?，F(xiàn)在倉(cāng)庫分析：正方形紙板張數(shù)長(zhǎng)方形紙板張數(shù)x只豎式紙盒中10002000y只橫式紙盒中合計(jì)x2y4x3y圖一圖二上題中如果改為庫存正方形紙板500張，長(zhǎng)方形紙板1001張，那么，能否做成若干只豎式紙盒和若干只橫式紙盒后，恰好把庫存紙板用完？練習(xí)正方形紙板張數(shù)長(zhǎng)方形紙板張數(shù)x只豎式紙盒中5001001y只橫式紙盒中合計(jì)x2y4x3y豎式紙盒展開圖橫式紙盒展開圖圖一圖二二元一次方程組是最簡(jiǎn)單的方程組，其應(yīng)用廣泛，尤其是生活、生產(chǎn)實(shí)踐中的許多問題，大多需要通過設(shè)元、布列二元一次方程組來加以解決，現(xiàn)講解常見的幾種題型，其他的問題可以參照解決。一、數(shù)字問題二、利潤(rùn)問題三、行程問題四、工程問題列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：（1）審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；（2）找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；（3）列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（4）解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（5）答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案.一、數(shù)字問題例1、一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的和大9；如果交換十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．分析：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字為x，個(gè)位上的數(shù)字為y，則這個(gè)兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：十位上的數(shù)個(gè)位上的數(shù)對(duì)應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)yｘ10y+x10y+x=10x+y+27解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字為x，個(gè)位上的數(shù)字為y，由題意，得10x+y=x+y+910y+x=10x+y+27解得x=1y=4因此，所求的兩位數(shù)是14點(diǎn)評(píng)：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對(duì)有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為x，或只設(shè)十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關(guān)于x的方程．一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問題，一般應(yīng)設(shè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)為“元”，然后列多元方程組解之．二、利潤(rùn)問題例2、一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價(jià)是多少？分析：商品的利潤(rùn)涉及到進(jìn)價(jià)、定價(jià)和賣出價(jià)，因此，設(shè)此商品的定價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為y元，則打九折時(shí)的賣出價(jià)為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時(shí)的賣出價(jià)為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解：設(shè)此商品的定價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為y元，由題意，得解得因此，商品定價(jià)為200元0.9x-y=20%y

0.8x-y=10x=200y=150點(diǎn)評(píng)：商品銷售盈利百分?jǐn)?shù)是相對(duì)于進(jìn)價(jià)而言的，不要誤為是相對(duì)于定價(jià)或賣出價(jià)．利潤(rùn)的計(jì)算一般有兩種方法，一是：利潤(rùn)=賣出價(jià)-進(jìn)價(jià)；二是：利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率（盈利百分?jǐn)?shù)）．特別注意“利潤(rùn)”和“利潤(rùn)率”是不同的兩個(gè)概念．三、行程問題例3、在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個(gè)加油站，兩個(gè)加油站間的距離為120千米。分別在A、C兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪團(tuán)伙作案后同時(shí)以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場(chǎng)，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個(gè)加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來的團(tuán)伙在1小時(shí)后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過3小時(shí)后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的速度各是多少？解：設(shè)巡邏車、犯罪團(tuán)伙的車的速度分別為x、y千米/時(shí)，由題意，得X+y=120

x-y=40因此，巡邏車的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車的速度是40千米/時(shí)．點(diǎn)評(píng)：“相向而遇”和“同向追及”是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個(gè)相等關(guān)系，這個(gè)關(guān)系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時(shí)間，具體表現(xiàn)在：“相向而遇”時(shí)，兩者所走的路程之和等于它們?cè)瓉淼木嚯x；“同向追及”時(shí)，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們?cè)瓉淼木嚯x．X+y=120

3(x-y)=120整理，得解得x=80y=40六、工程問題例4、某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個(gè)服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？45解：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得x=150y

x+25=200（y-1）解得x=3375y=18點(diǎn)評(píng)：工程問題與行程問題相類似，關(guān)鍵要抓好三個(gè)基本量的關(guān)系，即“工作量=工作時(shí)間×工作效率”以及它們的變式“工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間”．其次注意當(dāng)題目與工作量大小、多少無關(guān)時(shí)，通常用“1”表示總工作量．1、在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)期間，凡購(gòu)買指定家用電器的農(nóng)村居民均可得到該商品售價(jià)13%的財(cái)政補(bǔ)貼.村民小李購(gòu)買了一臺(tái)A型洗衣機(jī)，小王購(gòu)買了一臺(tái)B型洗衣機(jī)，兩人一共得到財(cái)政補(bǔ)貼351元，又知B型洗衣機(jī)售價(jià)比A型洗衣機(jī)售價(jià)多500元.求：（1）A型洗衣機(jī)和B型洗衣機(jī)的售價(jià)各是多少元？（2）小李和小王購(gòu)買洗衣機(jī)除財(cái)政補(bǔ)貼外實(shí)際各付款多少元？練習(xí)2、某旅游商品經(jīng)銷店欲購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品，若用380元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品7件，B種紀(jì)念品8件；也可以用380元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品6件。求A、B兩種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)分別為多少？若該商店每銷售1件A種紀(jì)念品可獲利5元，每銷售1件B種紀(jì)念品可獲利7元，該商店準(zhǔn)備用不超過900元購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品40件，且這兩種紀(jì)念品全部售出候總獲利不低于216元，問應(yīng)該怎樣進(jìn)貨，才能使總獲利最大，最大為多少？3、某停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：中型汽車的停車費(fèi)為6元/輛，小型汽車的停車費(fèi)為4元/輛.現(xiàn)在停車場(chǎng)有50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費(fèi)230元，問中、小型汽車各有多少輛？4、一群學(xué)生前往灘坑電站建設(shè)工地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，男生戴白色安全帽，女生戴紅色安全帽.休息時(shí)他們坐在一起，大家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，每位男生看到白色與紅色的安全帽一樣多，而每位女生看到白色的安全帽是紅色的2倍.根據(jù)這些信息，請(qǐng)你推測(cè)這群學(xué)生共有多少人？5、為滿足市民對(duì)優(yōu)質(zhì)教育的需求，某中學(xué)決定改變辦學(xué)條件，計(jì)劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.計(jì)劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方米，在實(shí)施中為擴(kuò)大綠地面積，新建校舍只完成了計(jì)劃的80%，而拆除舊校舍則超過了計(jì)劃的10%，結(jié)果恰好完成了原計(jì)劃的拆、建總面積.（1）求：原計(jì)劃拆、建面積各是多少平方米？（2）若綠化1平方米需200元，那么在實(shí)際完成的拆、建工程中節(jié)余的資金用來綠化大約是多少平方米？銷售方式直接銷售粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利（元）1002504506、某蔬菜公司收購(gòu)蔬菜進(jìn)行銷售的獲利情況如下表所示：現(xiàn)在該公司收購(gòu)了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸（兩種加工不能同時(shí)進(jìn)行）．（1）如果要求在18天內(nèi)全部銷售完這140噸蔬菜，請(qǐng)完成下列表格：銷售方式全部直接銷售全部粗加工后銷售盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利（元）（2）如果先進(jìn)行精加工，然后進(jìn)行粗加工，要求在15天內(nèi)剛好加工完140噸蔬菜，則應(yīng)如何分配加工時(shí)間？7、某校師生到甲、乙兩個(gè)工廠參加勞動(dòng)，如果從甲廠抽9人到乙廠，則兩廠的人數(shù)相同；如果從乙廠抽5人到甲廠，則甲廠的人數(shù)是乙廠的2倍，到兩個(gè)工廠的人數(shù)各是多少？8、小蘭在玩具工廠勞動(dòng)，做4個(gè)小狗、7個(gè)小汽車用去3小時(shí)42分，做5個(gè)小狗、6個(gè)小汽車用去3小時(shí)37分，平均做1個(gè)小狗、1個(gè)小汽車各用多少時(shí)間？9、甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小時(shí)可追上乙；相向而行，1小時(shí)相遇。二人的平均速度各是多少？10、通訊員要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)某地,他每小時(shí)走15千米,則可提前24分鐘到達(dá)某地;如果每小時(shí)走12千米,則要遲到15分鐘.求通訊員到達(dá)某地的路程是多少千米和原定的時(shí)間為多少小時(shí)12、甲乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)從兩地同時(shí)出發(fā)相向而