北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊復(fù)習(xí)資料

PAGE21PAGEPAGE18北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊復(fù)習(xí)資料一、易錯點梳理數(shù)學(xué)中的隱含條件往往最容易被忽視，這些隱含條件通常被稱為題中的“陷阱”，解題過程中一不小心就會掉進(jìn)去。本文列舉出了課本中一些常見的易錯點，希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中引以為戒。一、三角函數(shù)易錯點1求解時忽略角的范圍【問題】1:在中，=,=，求，的值。錯解：cosA=±，sinB=±剖析：基礎(chǔ)不實，忽視開方時符號的選取。正確答案：cosA=，sinB=【問題】2:在中，為銳角，且，求的值。錯解：先求出sin()=，∵，∴剖析：知識殘缺，由于為銳角，所以。又由于正弦函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，所以本題不宜求sin()，宜改求cos()或tan()。正確答案：【問題】1:在中，已知a=,b=,B=,求角A錯解：用正弦定理求得，∴剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視隱含條件出錯。正確答案：反思：三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是易錯點之一。解題時，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進(jìn)行定號”。易錯點2求關(guān)于最值時忽視正、余弦函數(shù)值域【問題】:已知，求的最大值。錯解：令，得，通過配方、作圖解得的最大值為剖析：本題雖注意到的值域，但未考慮到與相互制約，即由于-1≤siny≤1，∴必須同時滿足。正確答案：反思：求關(guān)于最值的常規(guī)方法是通過令（或cosx）將三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)問題求解。但由于正、余弦函數(shù)值域限制，只能在某一特定范圍內(nèi)取值，解題時務(wù)必要注意此點。易錯點3三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤【問題】:已知函數(shù)y=cos(-2x)，求它的單調(diào)減區(qū)間。錯解：≤-2x≤剖析：概念混淆，錯因在于把復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與基本函數(shù)的單調(diào)性概念相混淆。應(yīng)化成y=cos(2x-)求解正確答案：反思：對于函數(shù)來說，當(dāng)時，由于內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)的單調(diào)性來解決；但當(dāng)時，內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)的單調(diào)性來解決。一般來說，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對于帶有絕對值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。易錯點4圖象變換的方向把握不準(zhǔn)【問題】:要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A向右平移個單位 B向右平移個單位C向左平移個單位D向左平移個單位錯解一：C剖析：知識殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。錯解二：D剖析：基礎(chǔ)不牢，弄錯了平移方向。正確答案：A反思：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，平移的量為，平移的量為。二．平面向量及其應(yīng)用易錯點1忽視平面向量基本定理的成立條件【問題】：下列各組向量中，可以作為基底的是①=（0，0），=（1，-2）;②=（-1，2），=（5，7）;③=（3，5），=（6，10）;④=（2，-3），=（4，-6）;錯解：選①或③或④正確答案：=2\*GB3②剖析：概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底。反思：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這部分知識時，務(wù)必要注意這兩個定理的作用和成立條件。易錯點2忽視“向量數(shù)量積運算”與“實數(shù)運算”區(qū)別【問題】：已知向量的夾角為鈍角，求實數(shù)x的取值范圍為錯解：剖析：概念模糊，錯誤地認(rèn)為為鈍角正確答案：反思：為鈍角不共線三、立體幾何易錯點1不會將三視圖還原為幾何體【問題】：若某空間幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體積。錯解：如圖該幾何體是底面為邊長正方形，高為1的棱柱，∴該幾何體的體積為剖析：識圖能力欠缺，由三視圖還原幾何體時出錯。正確答案：V=1反思：在由三視圖還原空間幾何體時，要根據(jù)三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為實線。在還原幾何體形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮。易錯點2空間點、線、面位置關(guān)系不清【問題】：給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中為真命題的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④錯解：A剖析：①空間想象能力欠缺，不會借助身邊的幾何體作出判斷；②空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉或定理用錯。正確答案：D反思：空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對空間點、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程度的重要題型。解決這類問題的基本思路有兩條：一是逐個尋找反例作出否定的判斷，逐個進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷，但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確，考慮問題全面細(xì)致。易錯點3平行關(guān)系定理使用不當(dāng)【問題】：正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，P在對角線BD1上，且，給出下列四個命題：（1）；（2）C1Q//面APC；（3）A，P，M三點共線；（4）面MNP//面APC.正確序號為（）A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（3）（4）錯解：A、B、D剖析：空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC內(nèi)而導(dǎo)致錯誤。正確答案：C反思：證明空間平行關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸，但要正確應(yīng)用定理并注意定理的應(yīng)用條件。如在證明直線a//平面α?xí)r，不能忽略直線a在平面α外。證明有關(guān)線線，線面，面面平行時使用定理應(yīng)注意找足條件，書寫規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)。易錯點4垂直關(guān)系定理使用不當(dāng)【問題】：已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點。①證明：CM⊥SN；②求SN與平面CMN所成角的大小.剖析：①在利用線面垂直的判定定理證明兩個平面互相垂直時，只證明了該直線垂直于這個平面內(nèi)的兩條直線，沒有說明這兩條直線是否相交，不符合定理的條件；②在求線面角時，沒有說明找角的過程。反思：證明空間垂直關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸。如在證明線線垂直時，可先把其中一條直線視為某平面內(nèi)的直線，然后再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明另一條直線垂直于這個平面，進(jìn)而達(dá)到證明線線垂直的目的。易錯點5利用空間向量求線面角幾種常見錯誤【問題】：如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點,若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的余弦值。剖析：本題在求得平面DCEF的一個法向量=（0，0，2）及=(－1,1,2)后，可得cos<,>=·可能出現(xiàn)的錯誤為：;正確答案：反思：若直線與平面所成的角為，直線的方向向量為，平面的法向量為，則sin=|cos<,>|。容易出錯的是①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了加絕對值；③不清楚線面角的范圍。易錯點6二面角概念模糊【問題】：如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點在側(cè)棱上，。①證明：是側(cè)棱的中點；②求二面角的余弦值。剖析：本題在求得平面、的法向量=(，1，1)，=(，0，2)后，然后計算出cos=；接著可能錯誤地以為二面角余弦值為，其實本題中的二面角是鈍角，僅為其補角。正確答案：反思：若兩個平面的法向量分別為，，若兩個平面所成的銳二面角為，則；若兩個平面所成二面角為鈍角，則。總之，在解此類題時，應(yīng)先求出兩個平面的法向量及其夾角，然后視二面角的大小而定。利用空間向量證明線面位置關(guān)系基本步驟為①建立空間坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)；②用向量表示相應(yīng)的直線；③進(jìn)行向量運算；④將運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的位置關(guān)系。解此類問題常見錯誤有①不會將空間問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②不會建系，不會用向量表示直線，③計算錯誤，④使用定理出錯，⑤書寫不規(guī)范。二、數(shù)學(xué)公式一．三角函數(shù)1.三角函數(shù)的定義：正弦：；余弦：；正切：；其中：2.誘導(dǎo)公式：倍加減名不變，符號只需看象限；半加減名要變，符號還是看象限。3.和差公式：①（傘科科傘，符號不反）②（科科傘傘，符號相反）③（上同下相反）4.二倍角公式：①②③5.降冪公式：①.②.③.6.輔助角公式:7.正弦定理：8.余弦定理：①②③9.三角形最值原理：三角形中一個角及其對邊已知時、另外兩邊或兩角相等時周長取得最小值，面積取得最大值；二．平面向量1.向量加法的作圖：上終下起，中間消去；2.向量減法的作圖：起點相同，倒回來讀；3.向量平行的判定：(1)向量法:;(2)向量法:4.向量垂直的判定：(1)向量法:;(2)向量法:5.向量的數(shù)量積公式：(1)向量法:;(2)向量法:6.向量的夾角公式：(1)向量法:;(2)向量法:7.方向上的單位向量:(1)向量法:;(2)向量法:8.證明A、B、C三點共線兩種方法：(1)兩個向量共線且有一個公共點A；(2)三．立體幾何初步1.多面體的內(nèi)切球半徑：2.長方體的外接球半徑：3.直棱錐的外接球半徑：4.正棱錐的外接球半徑：5.正三角形的性質(zhì)：高：，面積：6.正三角形與圓：內(nèi)切圓半徑：，外接圓半徑：，且7.正四面體的高：斜高：，正高：8.正四面體與球：內(nèi)切球半徑，外接球半徑，且且三、數(shù)學(xué)知識點匯總?cè)呛瘮?shù)角度與弧度制一個圓,弧長和半徑相等時所對應(yīng)的角度是1弧度.弧度和角度的換算關(guān)系:

弧度*180/(2*π)=角度誘導(dǎo)公式

常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：

公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)函數(shù)類型

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

正弦

+

+

—

—

余弦

+

—

—

+

正切

+

—

+

—

余切

+

—

+

—三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.正弦函數(shù)正弦函數(shù)的性質(zhì)：解析式：y=sinx正弦函數(shù)的圖像波形圖像（由單位圓投影到坐標(biāo)系得出）定義域：R(實數(shù))值域：[-1，1]最值：①最大值：當(dāng)x=(π/2)+2kπ時，y(max)=1②最小值：當(dāng)x=-(π/2)+2kπ時，y(min)=-1零值點：(kπ,0)對稱性：1)對稱軸：關(guān)于直線x=(π/2)+kπ對稱2)中心對稱：關(guān)于點(kπ,0)對稱周期：2π奇偶性：奇函數(shù)單調(diào)性：在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]上是增函數(shù)，在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]上是減函數(shù)2余弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)：

余弦函數(shù)圖像：波形圖像定義域：R值域：[-1，1]最值：

1）當(dāng)x=2kπ時,y(max)=1

2）當(dāng)x=2kπ+π時,y(min)=-1

零值點：(π/2+kπ,0)對稱性：1）對稱軸：關(guān)于直線x=kπ對稱

2）中心對稱：關(guān)于點(π/2+kπ,0)對稱周期：2π奇偶性：偶函數(shù)單調(diào)性：在[2kπ-π,2kπ]上是增函數(shù)

在[2kπ,2kπ+π]上是減函數(shù)3正切函數(shù)正切函數(shù)的性質(zhì)：正切函數(shù)的圖像：定義域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}

值域：R

最值：無最大值與最小值

零值點：(kπ,0)

對稱性：

軸對稱：無對稱軸

中心對稱：關(guān)于點(kπ,0)對稱

周期：π

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上都是增函數(shù)二．平面向量向量有關(guān)概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；

（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量；

（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記作：a‖b，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。虎苋c共線；

（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。坐標(biāo)表示法平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成a，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作a=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。在數(shù)學(xué)中，我們通常用點表示位置，用射線表示方向．在平面內(nèi)，從任一點出發(fā)的所有射線，可以分別用來表示平面內(nèi)的各個方向

向量的表示向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示．

向量a的大小，也就是向量a的長度(或稱模)，記作|a|長度為0的向量叫做零向量，記作0．長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，記作a∥b∥c．0向量長度為零，是起點與終點重合的向量，其方向不確定，我們規(guī)定0與任一向量平行．

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a與b相等，記作a=b．零向量與零向量相等．任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．向量的運算1、向量的加法：

AB+BC=AC

設(shè)a=（x,y）b=(x',y')

則a+b=(x+x',y+y')

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量加法的性質(zhì)：

交換律：

a+b=b+a

結(jié)合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的減法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

則a=eb

則xy`-x`y=0

若a垂直b

則ab=0

則xx`+yy`=0

3、向量的乘法

設(shè)a=（x,y）b=(x',y')

a·b(點積）=x·x'+y·y'=|a|·|b|*cos夾角平面向量的應(yīng)用步驟1.

在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點D

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=CD=2R

類似可證其余兩個等式。正弦定理的變形公式

(1)a=2RsinA,

b=2RsinB,

c=2RsinC;

(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc證明：

∵如圖，有a+b=c

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）

再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。三.三角恒等變換同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：

平方關(guān)系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

積的關(guān)系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

倒數(shù)關(guān)系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1兩角和差公式

兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβtan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα萬能公式

⒌萬能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的相等.（）復(fù)數(shù)的模（或絕對值）==.復(fù)數(shù)的四則運算法則(1);(2);(3);(4).復(fù)數(shù)的乘法的運算律對于任何，有交換律:.結(jié)合律:.分配律:.復(fù)平面上的兩點間的距離公式（，）.向量的垂直非零復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則的實部為零為純虛數(shù)(λ為非零實數(shù)).實系數(shù)一元二次方程的解實系數(shù)一元二次方程，①若,則;②若,則;③若，它在實數(shù)集內(nèi)沒有實數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個共軛復(fù)數(shù)根.五．立體幾何初步1、常見幾何體的面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.圓柱的側(cè)面積S側(cè)