北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第五章復(fù)數(shù)

1.1復(fù)數(shù)的概念第五章復(fù)數(shù)課標(biāo)闡釋

1.了解數(shù)系的擴(kuò)充與引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其代數(shù)形式.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件及其應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥數(shù)的概念是不斷發(fā)展的.由于計數(shù)的需求產(chǎn)生了自然數(shù);為了使方程x+4=0有解,引入了負(fù)數(shù);為了使方程3x-2=0有解,引入了分?jǐn)?shù);為了使方程x2=2有解,引入了無理數(shù),數(shù)系擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)集;引進(jìn)無理數(shù)以后,我們已經(jīng)能使方程x2=a(a>0)永遠(yuǎn)有解,但是當(dāng)a<0時,方程x2=a(a<0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解,為了使方程x2=a(a<0)有解,就必須把實(shí)數(shù)概念進(jìn)一步擴(kuò)大,至此引入了復(fù)數(shù).這一節(jié)我們就學(xué)習(xí)一下復(fù)數(shù)的概念.激趣誘思知識點(diǎn)撥一、復(fù)數(shù)的概念形如a+bi(其中a,b∈R)的數(shù)叫作復(fù)數(shù),通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部,記作Rez,b稱為復(fù)數(shù)z的虛部,記作Imz.對于復(fù)數(shù)a+bi,當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,它是實(shí)數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時,它是實(shí)數(shù)0;當(dāng)b≠0時,叫作虛數(shù);當(dāng)a=0且b≠0時,叫作純虛數(shù).名師點(diǎn)析1.因?yàn)閕2=-1,所以虛數(shù)單位i實(shí)質(zhì)是-1的一個平方根,當(dāng)然i也可看做是方程x2=-1的一個根.2.對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),注意其虛部是b,而不是bi.激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考1兩個復(fù)數(shù)一定能比較大小嗎?提示不一定,只有當(dāng)這兩個復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時,才能比較大小.微思考2復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部是a,虛部是b嗎?提示不是,對于復(fù)數(shù)z=a+bi,只有當(dāng)a,b∈R時,才能得出z的實(shí)部為a,虛部為b,若沒有a,b∈R的條件,則不能說a,b就是z的實(shí)部與虛部.激趣誘思知識點(diǎn)撥二、復(fù)數(shù)的分類根據(jù)復(fù)數(shù)中a,b的取值不同,復(fù)數(shù)可以有以下的分類:全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱為復(fù)數(shù)集,記作C,顯然R?C.名師點(diǎn)析1.形如z=bi的數(shù)不一定是純虛數(shù),只有b∈R,且b≠0時,bi才是純虛數(shù),否則不一定是純虛數(shù).2.若z是純虛數(shù),可設(shè)z=bi(b∈R,b≠0);若z是虛數(shù),可設(shè)z=a+bi(b∈R,且b≠0);若z是復(fù)數(shù),可設(shè)z=a+bi(a,b∈R).激趣誘思知識點(diǎn)撥3.復(fù)數(shù)分類的集合表示如右圖所示.4.正整數(shù)集N+,自然數(shù)集N,整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q,實(shí)數(shù)集R,復(fù)數(shù)集C的關(guān)系為N+?N?Z?Q?R?C.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1若復(fù)數(shù)z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x的值為(

)A.-1

B.0C.1 D.-1或1答案A激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},若M∩P={3},則實(shí)數(shù)m的值為(

)A.-1

B.-1或4C.6 D.6或-1解析因?yàn)镸∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.所以m=-1.故選A.答案A激趣誘思知識點(diǎn)撥三、復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個復(fù)數(shù)a+bi與c+di(a,b,c,d∈R)相等定義為:它們的實(shí)部相等且虛部相等,即a+bi=c+di當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d.名師點(diǎn)析兩個復(fù)數(shù)不一定能比較大小1.若兩個復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù),則可以比較大小;反之,若兩個復(fù)數(shù)能夠比較大小,說明這兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù).2.當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時,就不能比較它們的大小,只能說它們相等還是不相等.3.根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件,如果a=c,b=d兩式中至少有一個不成立,那么就有a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)若(x+y)i=x-1,則實(shí)數(shù)x,y的值分別是(

)A.1,1

B.-1,1C.1,0 D.1,-1答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測對復(fù)數(shù)相關(guān)概念的理解例1(多選)下列命題中,錯誤的是(

)A.復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成B.若復(fù)數(shù)z=3m+2ni,則其實(shí)部與虛部分別為3m,2nC.在復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)D.若a∈R,且a≠0,則(a+3)i是純虛數(shù)解析A錯,復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成,在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù).B錯,只有當(dāng)m,n∈R時,才能說復(fù)數(shù)z=3m+2ni的實(shí)部與虛部分別為3m,2n.C正確,復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)為純虛數(shù)的條件是x=0且y≠0,只要x≠0,則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù).D錯,只有當(dāng)a∈R,且a≠-3時,(a+3)i才是純虛數(shù).答案ABD探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

判斷復(fù)數(shù)概念方面的命題真假的注意點(diǎn)1.正確理解復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)相等的概念,注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系;2.注意復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集中有關(guān)概念與性質(zhì)的不同;3.注意通過列舉反例來說明一些命題的真假.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1下列命題中,正確的是(

)A.1-ai(a∈R)是一個復(fù)數(shù)B.形如a+bi(b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)C.兩個復(fù)數(shù)一定不能比較大小D.若a>b,則a+i>b+i解析由復(fù)數(shù)的定義知A正確;當(dāng)a∈R,且b=0時a+bi(b∈R)表示實(shí)數(shù),故B錯誤;如果兩個復(fù)數(shù)同時是實(shí)數(shù)時,可以比較大小,故C錯誤;a+i與b+i不能比較大小,故D錯誤.答案A探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)分類及其應(yīng)用

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)的方法及注意事項1.利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時,首先應(yīng)將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),若不是這種形式,應(yīng)先化為這種形式,得到實(shí)部與虛部,再求解;2.要注意確定使實(shí)部、虛部的式子有意義的條件,再結(jié)合實(shí)部與虛部的取值求解;3.要特別注意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a=0,且b≠0.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知m∈R,復(fù)數(shù)z=lgm+(m2-1)i,當(dāng)m為何值時,(1)z為實(shí)數(shù)?(2)z為虛數(shù)?(3)z為純虛數(shù)?探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)相等的充要條件及其應(yīng)用例3已知關(guān)于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的值為

,方程的實(shí)根x為

.

解析設(shè)x=a是原方程的實(shí)根,則a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,由于a,m∈R,由復(fù)數(shù)相等的充要條件,探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等列方程組求解.(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題,為應(yīng)用方程思想提供了條件,同時這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn).探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究若將本例中的方程改為:x2+mx+2xi=-1-mi如何求解?探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測2.下列命題中:①若a∈R,則ai為純虛數(shù);②若a,b∈R,且a>b,則a+i>b+i;③兩個虛數(shù)不能比較大小;④x+yi的實(shí)部、虛部分別為x,y.其中正確命題的序號是

.

解析①當(dāng)a=0時,0i=0,故①不正確;②虛數(shù)不能比較大小,故②不正確;③正確;④x+yi中未標(biāo)注x,y∈R,故若x,y為復(fù)數(shù),則x+yi的實(shí)部、虛部未必是x,y,④不正確.答案③探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測3.設(shè)復(fù)數(shù)z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m),m∈R,如果z是純虛數(shù),求m的值.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義課標(biāo)闡釋

1.了解復(fù)平面的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)平面內(nèi)的向量之間的對應(yīng)關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握復(fù)數(shù)模的概念,會求復(fù)數(shù)的模.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.掌握共軛復(fù)數(shù)的概念及幾何意義.(數(shù)學(xué)抽象)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥19世紀(jì)末20世紀(jì)初,著名的德國數(shù)學(xué)家高斯在證明代數(shù)基本定理時,首次引進(jìn)“復(fù)數(shù)”這個名詞.他把復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)起來,創(chuàng)立了復(fù)平面,依賴平面內(nèi)的點(diǎn)或有向線段(向量)建立了復(fù)數(shù)的幾何基礎(chǔ).復(fù)數(shù)的幾何意義,從形的角度表明了復(fù)數(shù)的“存在性”,為進(jìn)一步研究復(fù)數(shù)奠定了基礎(chǔ).激趣誘思知識點(diǎn)撥一、復(fù)平面如圖,點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用點(diǎn)Z(a,b)表示.這個通過建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面,x軸稱為實(shí)軸,y軸稱為虛軸.顯然,實(shí)軸的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).微思考虛軸上的點(diǎn)都對應(yīng)著唯一的純虛數(shù)嗎?提示不是.激趣誘思知識點(diǎn)撥二、復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).2.復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)如圖,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的

也是一一對應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi

平面向量

.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)表示,復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的坐標(biāo)是(a,b),而非(a,bi).也就是說復(fù)平面內(nèi)的虛軸上的單位長度是1,而不是i.2.復(fù)數(shù)與平面向量建立一一對應(yīng)關(guān)系的前提是向量的起點(diǎn)是原點(diǎn).若起點(diǎn)不是原點(diǎn),則復(fù)數(shù)與向量就不能建立一一對應(yīng)關(guān)系.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)A.(1,2)

B.(-1,2)C.(-1,-2) D.(1,-2)答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥三、復(fù)數(shù)的模

激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1已知0<a<2,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a,虛部為1,則|z|的取值范圍是(

)A.(1,5)

B.(1,3)答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2復(fù)數(shù)z=-3+2i的模為(

)A.1 B.3答案C激趣誘思知識點(diǎn)撥四、共軛復(fù)數(shù)若兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,而虛部互為相反數(shù),則稱這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用

表示.當(dāng)z=a+bi(a,b∈R)時,=a-bi.顯然,在復(fù)平面內(nèi),表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱,并且它們的模相等.另外,當(dāng)復(fù)數(shù)z=a+bi的虛部b=0時,有

=z.也就是說,任意一個實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身,反之亦然.名師點(diǎn)析1.已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則z1,z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是a=c且b=-d.2.共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn)(1)在復(fù)平面內(nèi),表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離相等.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1(多選)下列互為共軛復(fù)數(shù)的是(

)A.1+i與1-i

B.2i與-2iC.2與2 D.3+2i與-3+2i解析A中,1+i與1-i滿足實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù);B中,2i與-2i的實(shí)部都是0,虛部互為相反數(shù);C中,2與2的實(shí)部相等都是2,虛部都是0,互為相反數(shù);D中,3+2i與-3+2i的實(shí)部不相等,虛部也不是互為相反數(shù),不是互為共軛復(fù)數(shù).綜上,故選ABC.答案ABC微練習(xí)2若x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互為共軛復(fù)數(shù),則x=

,y=

.

答案-1

1探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系例1求實(shí)數(shù)a分別取何值時,復(fù)數(shù)

+(a2-2a-15)i(a∈R)對應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件:(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi).(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系的解題步驟(1)找對應(yīng)關(guān)系:復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)來表示,是解決此類問題的根據(jù).(2)列出方程:此類問題可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測延伸探究(1)本例中題設(shè)條件不變,求復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)在x軸上時,實(shí)數(shù)a的值.(2)本例中條件不變,如果點(diǎn)Z在直線x+y+7=0上,求實(shí)數(shù)a的值.解(1)因?yàn)辄c(diǎn)Z在x軸上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5時,點(diǎn)Z在x軸上.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對應(yīng)例2在復(fù)平面上,點(diǎn)A,B,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+4i,-3i,2,O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn).探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

1.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量2.復(fù)平面內(nèi)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)可以通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得.3.一個向量不管怎樣平移,它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是不變的,但其起點(diǎn)與終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)改變.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形,A,B,C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,-i,2+i.(1)求點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)求△ABC的邊BC上的高.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用

反思感悟

1.計算復(fù)數(shù)的模時,應(yīng)先確定其實(shí)部與虛部,再套用公式計算.2.兩個復(fù)數(shù)不一定能夠比較大小,但兩個復(fù)數(shù)的模一定可以比較大小.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測答案1+2i或-1-2i探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用例4(2019全國Ⅱ高考)設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由z=-3+2i,得

=-3-2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對應(yīng)的點(diǎn)(-3,-2)位于第三象限,故選C.答案C反思感悟

本節(jié)內(nèi)容對共軛復(fù)數(shù)的要求有兩點(diǎn):一是會利用定義寫出已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù);二是明確互為共軛的兩個復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)的對稱關(guān)系.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=1+i,則

的實(shí)部與虛部之和為(

)A.1 B.0 C.-2 D.2解析

=1-i,實(shí)部為1,虛部為-1,所以實(shí)部與虛部之和為1+(-1)=0.答案B探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測1.(多選)已知復(fù)數(shù)z=1+i,則下列命題中正確的為(

)A.|z|=B.=1-iC.z的虛部為iD.z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限解析復(fù)數(shù)z=1+i,則|z|=.故A正確;=1-i,故B正確;z的虛部為1,故C錯誤;z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),在第一象限,故D正確.故選ABD.答案ABD探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測2.若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是2+3i,則|z|=

.

答案92.1復(fù)數(shù)的加法與減法課標(biāo)闡釋

1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算法則.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算的幾何意義.(數(shù)學(xué)抽象)3.能夠利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算法則及幾何意義解決問題.(數(shù)學(xué)抽象)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥乘飛機(jī)從上海到香港約2.5小時,從香港到臺北約4小時,因此從上海經(jīng)香港轉(zhuǎn)航到臺北約6.5小時.在兩岸同胞的共同努力下,現(xiàn)在實(shí)現(xiàn)兩岸直航,上海到臺北只需約90分鐘,比直航前節(jié)省約5小時.有關(guān)航行節(jié)時的多少,體現(xiàn)了實(shí)數(shù)集內(nèi)的代數(shù)運(yùn)算.復(fù)數(shù)集內(nèi)可進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算嗎?激趣誘思知識點(diǎn)撥一、復(fù)數(shù)加、減法的運(yùn)算法則與運(yùn)算律1.兩個復(fù)數(shù)的和仍是一個復(fù)數(shù).兩個復(fù)數(shù)的和的實(shí)部是它們的實(shí)部的和,兩個復(fù)數(shù)的和的虛部是它們的虛部的和.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2.兩個復(fù)數(shù)的差仍是一個復(fù)數(shù).兩個復(fù)數(shù)的差的實(shí)部是它們的實(shí)部的差,兩個復(fù)數(shù)的差的虛部是它們的虛部的差.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3.復(fù)數(shù)加法運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律(1)結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(2)交換律:z1+z2=z2+z1.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.復(fù)數(shù)的加、減法是一種規(guī)定,減法是加法的逆運(yùn)算,可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加減.2.當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部為零時,與實(shí)數(shù)的加、減法完全一致.3.實(shí)數(shù)加法的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍然成立.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=3-4i,則z1+z2等于(

)A.8i B.6C.6+8i D.6-8i解析z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6,故選B.答案B微練習(xí)2若復(fù)數(shù)z滿足z+i-3=3-i,則z等于(

)A.0 B.2iC.6 D.6-2i解析因?yàn)閦+i-3=3-i,所以z=3+3-i-i=6-2i,故選D.答案D激趣誘思知識點(diǎn)撥二、復(fù)數(shù)加法的幾何意義

名師點(diǎn)析復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的幾何意義類似于向量加法運(yùn)算的平行四邊形法則.激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考兩個復(fù)數(shù)的和是個什么數(shù),它的值唯一確定嗎?提示是復(fù)數(shù),唯一確定.微練習(xí)解析(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.答案0激趣誘思知識點(diǎn)撥三、復(fù)數(shù)減法的幾何意義

激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.復(fù)數(shù)減法的幾何定義的實(shí)質(zhì)(1)根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義知,兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的差所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是這兩個復(fù)數(shù)的差.(2)在確定兩復(fù)數(shù)的差所對應(yīng)的向量時,應(yīng)按照“首同尾連向被減”的方法確定.2.由復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可得結(jié)論:||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1-z2>0,能否認(rèn)為z1>z2?提示不能,如3+2i-2i>0,但3+2i與2i不能比較大小.微練習(xí)A.2+4i

B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算

答案1+i(2)解(方法一)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的方法技巧1.可把復(fù)數(shù)運(yùn)算類比實(shí)數(shù)運(yùn)算.若有括號,先計算括號里面的;若沒有括號,可以從左到右依次進(jìn)行.2.當(dāng)利用交換律、結(jié)合律抵消掉某些項的實(shí)部或虛部時,可以利用運(yùn)算律簡化運(yùn)算,注意正負(fù)號法則與實(shí)數(shù)相同,不能弄錯.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1(1)計算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=

.

(2)若(1-3i)+z=6+2i,則復(fù)數(shù)z=

.

解析(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.答案(1)-2-4i

(2)5+5i探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用向量加法“首尾相接”和向量減法“指向被減向量”的特點(diǎn),在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復(fù)數(shù).注意向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是zB-zA(終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)).探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)模的最值問題

反思感悟

復(fù)數(shù)模的問題求解策略|z1-z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1,z2對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì),可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題,數(shù)形結(jié)合把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究若本例中條件改為已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值.解因?yàn)閨z|=1且z∈C,如圖:所以|z-2-2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為|OP|-1=2-1.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.若復(fù)數(shù)z滿足z+i-3=3-i,則z等于(

)A.0 B.2iC.6 D.6-2i解析z=3-i-(i-3)=6-2i.答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測答案C探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測3.若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=3,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡所圍成的圖形的面積為

.

解析由條件知|z-i|=3,所以點(diǎn)Z的軌跡是以點(diǎn)(0,1)為圓心,以3為半徑的圓,故其面積為S=9π.答案9π4.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,求|z1-z2|.2.2

復(fù)數(shù)的乘法與除法

*2.3

復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探課標(biāo)闡釋

1.掌握復(fù)數(shù)的乘法與除法,能夠進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.掌握虛數(shù)單位i冪值的周期性,能進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解有關(guān)方程問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥我們知道,兩個實(shí)數(shù)的乘法對加法來說滿足分配律,即a,b,c∈R時,有(a+b)c=ac+bc,而且,實(shí)數(shù)的正整數(shù)次冪滿足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均為正整數(shù),那么,復(fù)數(shù)的乘法應(yīng)該如何規(guī)定,才能使得類似的運(yùn)算法則仍成立呢?激趣誘思知識點(diǎn)撥一、復(fù)數(shù)的乘法及其運(yùn)算律1.定義復(fù)數(shù)的乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律,即對任意z1,z2,z3∈C,有(1)交換律:z1·z2=z2·z1;(2)結(jié)合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);(3)乘法對加法的分配律:z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3.3.對復(fù)數(shù)z,z1,z2和正整數(shù)m,n有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=4.互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)的乘積是實(shí)數(shù),等于這個復(fù)數(shù)(或其共軛復(fù)數(shù))模的平方.即若z=a+bi(a,b∈R),則z·=|z|2=||2=a2+b2.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.對復(fù)數(shù)乘法的三點(diǎn)說明(1)類比多項式運(yùn)算:復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項式乘法運(yùn)算很類似,可仿多項式乘法進(jìn)行,但結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開(i2換成-1).(2)運(yùn)算律:多項式乘法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)乘法中仍然成立,乘法公式也適用.(3)常用結(jié)論:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.2.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1復(fù)數(shù)i(2-i)=(

)A.1+2i

B.1-2iC.-1+2i D.-1-2i解析i(2-i)=1+2i.答案A微練習(xí)2如果復(fù)數(shù)(m2+i)(1+mi)是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)m等于(

)A.1 B.-1解析因?yàn)?m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是實(shí)數(shù),m∈R,所以得m3+1=0,即m=-1.答案B激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)3A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i答案A激趣誘思知識點(diǎn)撥二、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的解法

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根名師點(diǎn)析復(fù)數(shù)集內(nèi)一元二次方程的解法類型實(shí)系數(shù)一元二次方程復(fù)系數(shù)一元二次方程Δ的作用可以用來判斷根的情況不能用來判斷根的情況求根公式適用適用韋達(dá)定理適用適用激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1若關(guān)于x的方程x2+(1-2i)x+a-i=0(a∈R)有實(shí)數(shù)根,則這個實(shí)數(shù)根等于(

)答案B激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2已知1+i是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的一個根(b,c為實(shí)數(shù)),則b,c的值分別為(

)A.-2,2 B.2,-2C.-1,1 D.1,-1解析因?yàn)?+i是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的一個根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.答案A激趣誘思知識點(diǎn)撥三、復(fù)數(shù)的除法

激趣誘思知識點(diǎn)撥激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1答案B激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)2答案D激趣誘思知識點(diǎn)撥四、in的周期性激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1i2020=

.

解析i2

020=i4×505=1.答案1激趣誘思知識點(diǎn)撥*五、復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探

探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算例1計算下列各題:解(1)(1-2i)(3+6i)=3+6i-6i+12=15;(2)(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=25-20i-4=21-20i;探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測反思感悟

1.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的技巧(1)復(fù)數(shù)乘法與實(shí)數(shù)多項式乘法類似,在計算兩個復(fù)數(shù)的乘積時,先按照多項式的乘法展開,再將i2換成-1,最后合并同類項.(2)三個或三個以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算,混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致.(3)在復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算時,若符合乘法公式,則可直接運(yùn)用公式計算.例如(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.(4)對于復(fù)數(shù)的高次乘方運(yùn)算,可以利用公式

=zmn(m,n∈Z)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測2.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的技巧(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法,通過分子、分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù),使“分母實(shí)數(shù)化”,這個過程與“分母有理化”類似.(2)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的結(jié)果要進(jìn)行化簡,通常要寫成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,即實(shí)部與虛部要完全分開的形式.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測i的乘方的周期性及應(yīng)用例2(1)i為虛數(shù)單位,i607的共軛復(fù)數(shù)為(

)A.i B.-i C.1 D.-1(2)計算i1+i2+i3+…+i2019+i2020=

.

解析(1)因?yàn)閕607=i4×151+3=i3=-i,所以其共軛復(fù)數(shù)為i.故選A.(2)因?yàn)閕1+i2+i3+i4=0,所以i1+i2+i3+…+i2

019+i2

020=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2

013+i2

014+i2

015+i2

016)+(i2

017+i2

018+i2

019+i2

020)=0.答案(1)A

(2)0反思感悟

虛數(shù)單位i的周期性(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+),n也可以推廣到整數(shù)集.(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+).探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程問題例3設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有實(shí)數(shù)根,則銳角θ以及實(shí)數(shù)根分別為(

)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測答案C反思感悟

與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程問題,一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化進(jìn)行求解,此時根與系數(shù)的關(guān)系仍適用,但判別式“Δ”不再適用.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實(shí)根b,求實(shí)數(shù)a,b的值.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探

反思感悟

求解此類題目關(guān)鍵是要理解所求復(fù)數(shù)表示的向量是如何由已知復(fù)數(shù)所表示的向量旋轉(zhuǎn)得到的,可利用數(shù)形結(jié)合的方法,將已知或所求復(fù)數(shù)所表示的向量在復(fù)平面內(nèi)表示出來,可直觀地觀察旋轉(zhuǎn)的角度.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測延伸探究若將z3后面表達(dá)式中的3變?yōu)?,其結(jié)果如何?探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測1.對于非零復(fù)數(shù)a,b,有以下四個命題②(a+b)2=a2+2ab+b2.③若|a|=|b|,則a=±b.④若a2=ab,則a=b.則一定為真的有(

)A.②④ B.①③ C.①② D.③④解析對于①,取a=-i,則a+=0,①不正確;對于②,對于任意復(fù)數(shù)a,b,一定有(a+b)2=a2+2ab+b2,②正確;對于③,取a=1,b=i,|a|=|b|,但a≠±b,③錯誤;對于④,由a2=ab及a≠0,得a=b,命題④正確.所以正確的命題是②④,故選A.答案A探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測答案B探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測答案-1-2i答案1+I3.1復(fù)數(shù)的三角表示式

3.2復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的幾何意義課標(biāo)闡釋

1.通過復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)的三角表示.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式之間的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)3.了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點(diǎn)撥建筑表皮設(shè)計是地產(chǎn)黃金十年期間的熱門領(lǐng)域.在眾多新建筑和國際設(shè)計競賽中,建筑表皮設(shè)計或是成為建筑方案的特點(diǎn)之一,或是成為建筑師的創(chuàng)意核心.建筑表皮設(shè)計古已有之,并不是近年涌現(xiàn)的新生事物.從古代宗教建筑的立面裝飾處理到密斯設(shè)計的玻璃幕墻立面都屬于建筑表皮設(shè)計.20世紀(jì)后半葉,現(xiàn)代建筑的一元化局面遭遇挑戰(zhàn),建筑表皮開始呈現(xiàn)多元化傾向.那么,復(fù)數(shù)有哪些表現(xiàn)形式呢?除了坐標(biāo)表示,還有什么表示方法呢?激趣誘思知識點(diǎn)撥一、復(fù)數(shù)的三角表示式

激趣誘思知識點(diǎn)撥于是,任何復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以表示為z=r(cosθ+isinθ),其中這個式子稱為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分,a+bi稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡稱代數(shù)形式.當(dāng)z=r(cosθ+isinθ)≠0時,z的輻角有無窮多個值,這些值相差2π的整數(shù)倍.為確定起見,將滿足條件0≤θ<2π的輻角值,稱為輻角的主值,記作argz,即0≤argz<2π.每一個非零復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且可由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個非零復(fù)數(shù)相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.顯然當(dāng)a>0時,arga=0,arg(-a)=π,arg(ai)如果z=0,那么與它對應(yīng)的向量

縮成一個點(diǎn)(零向量),它的方向是任意的,所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.激趣誘思知識點(diǎn)撥名師點(diǎn)析(1)復(fù)數(shù)的三角形式的特征:①模r≥0.②括號內(nèi)需滿足:前余弦,后正弦,角相同.③cos

θ與isin

θ之間用加號連結(jié).簡單地說,復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是:模非負(fù),角相同,余弦前,加號連.不符合條件的都不是三角形式.(2)在復(fù)數(shù)的三角形式中,幅角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z).但為了簡單起見,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式時,一般將θ寫成主值.激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考(1)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量是如何一一對應(yīng)的?提示根據(jù)復(fù)平面的建立原則,復(fù)數(shù)a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對應(yīng)的,與平面向量

=(a,b)也是一一對應(yīng)的.(2)若角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸非負(fù)半軸上,已知終邊上一點(diǎn)P(x,y),如何表示角θ的三角函數(shù)?(3)終邊相同的角有什么關(guān)系?提示終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍.激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)1寫出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:激趣誘思知識點(diǎn)撥答案A激趣誘思知識點(diǎn)撥二、復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則與幾何意義1.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1z2=r1r2·[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].兩個復(fù)數(shù)相乘,積的模等于它們模的積,積的輻角等于它們輻角的和.簡單地說,兩個復(fù)數(shù)三角形式相乘的法則為:模數(shù)相乘,幅角相加.2.復(fù)數(shù)乘法