自動(dòng)控制系統(tǒng)教程7

第七章非線性系統(tǒng)的分析§1控制系統(tǒng)中的非線性§2典型非線性特性及其對(duì)控制系統(tǒng)的影響§3非線性特性的描述函數(shù)法§4相平面法及相平面圖1§1控制系統(tǒng)中的非線性一、非線性系統(tǒng)的特殊性二、研究非線性系統(tǒng)的一般方法

21．系統(tǒng)的的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)與輸入信號(hào)及初始條件有關(guān)。一、非線性系統(tǒng)的特殊性對(duì)某一輸入信號(hào)或某一初始條件系統(tǒng)穩(wěn)定，對(duì)另一輸入信號(hào)或另一初始條件系統(tǒng)就可能不穩(wěn)定，所以在考慮系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，不僅要考慮其內(nèi)在結(jié)構(gòu)，還要考慮輸入信號(hào)及初始條件。3解得，例1：一非線性系統(tǒng)

4討論:③

2.自激振蕩(極限環(huán))對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的等幅振蕩臨界穩(wěn)定狀態(tài)，非線性系統(tǒng)則可能存在著一定的范圍，在此范圍內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)趨于一種穩(wěn)定的且具有一定幅值和周期的等幅振蕩，這種耗能振蕩沒(méi)有外力強(qiáng)制作用，故稱(chēng)為自激振蕩。如正弦振蕩器。①②53．多值響應(yīng)和跳躍諧振同一頻率對(duì)應(yīng)兩值（2，3）（5，6）有跳躍，點(diǎn)隨頻率不同方向。64.分析波諧振

非線性正弦輸入下，輸入頻率是輸出頻率的整數(shù)倍。

另外還有混亂現(xiàn)象，頻率本引，停滯等。這些特殊點(diǎn)，使非線性系統(tǒng)更加復(fù)雜，分析方法也和線性系統(tǒng)大有區(qū)別，為了能揚(yáng)長(zhǎng)避短，下面將用非線性理論對(duì)某系統(tǒng)進(jìn)行研究。7二．研究非線性系統(tǒng)的一般方法

由于非線性系統(tǒng)類(lèi)型繁多，問(wèn)題復(fù)雜，處理中不能使用通用的方法。而只能針對(duì)具體問(wèn)題（類(lèi)型）采用不同方法，常具有一定的局限性，下面為工程上常采用的幾種方法：

1.線性化或小信號(hào)分析法

如果系統(tǒng)中僅存在可以線性化的非線性環(huán)節(jié)，并且系統(tǒng)工作在小偏差范圍內(nèi)，這種情況下，可以通過(guò)線性化方法處理。

2.分段線性化分別求出各線性段的解，然后連在一起獲得整個(gè)系統(tǒng)的解。分段線性化結(jié)果精確，不受階次限制，計(jì)算時(shí)可借助計(jì)算機(jī)。83.描述函數(shù)法

對(duì)滿(mǎn)足一定條件的非線性環(huán)節(jié)，它對(duì)正弦信號(hào)的響應(yīng)可以用其輸出的一次諧波來(lái)近似表示。依照頻率響應(yīng)可以找到一個(gè)非線性元件的描述函數(shù)，這樣就可以將頻率特性法用于非線性系統(tǒng)的分析。

主要分析：①系統(tǒng)穩(wěn)定范圍②自振蕩條件③振幅與頻率。缺陷：對(duì)時(shí)間響應(yīng)提供的信息不夠確切。

發(fā)展：雙輸入（正弦、直流或隨機(jī)輸出）響應(yīng)。95.Lyapunov第二方法

用它分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。但找其函數(shù)困難?，F(xiàn)有找函數(shù)方法：克拉索夫斯基、變量梯度法。

6．波波夫法

Lyapunov第二方法在頻率域中的推廣。4.相平面法

它是針對(duì)一、二階系統(tǒng)的圖解法，對(duì)二階特別有用，既能提供穩(wěn)定性信息，又能提供時(shí)間響應(yīng)信息（不同初始條件、非周期信號(hào)輸入）10§2典型非線性特性及其對(duì)控制系統(tǒng)影響系統(tǒng)固有非線性，飽和、死區(qū)、間隙、滯環(huán)、靜（庫(kù)侖）摩擦人為非線性繼電器一、飽和特性

磁放大器、電子放大器、行程限制、流通孔徑限制等，如下圖：11

KX1|X|<=a輸入X1,輸出X2X2=KaX1>=a線性范圍：a-KaX<=-a線性增益：K飽和特性對(duì)系統(tǒng)特性的影響為：降低振蕩性，有利于穩(wěn)定性。但使動(dòng)態(tài)過(guò)程加長(zhǎng)，增大隨動(dòng)系統(tǒng)的跟蹤過(guò)程。

特點(diǎn)：輸入絕對(duì)值超出一定范圍后，輸出不再隨其變化。二、死區(qū)（不靈敏區(qū)）1、定義：零點(diǎn)附近輸出不隨輸入變化的區(qū)域。122．影響

2、對(duì)動(dòng)態(tài)特性，有時(shí)引起不穩(wěn)定，有時(shí)會(huì)使系統(tǒng)穩(wěn)定。3、消除輸入端的幅值干擾信號(hào)增加抗擾性4、消除系統(tǒng)可能造成輸出滯后輸入。1、造成穩(wěn)態(tài)誤差。13三、滯環(huán)（回環(huán)）特性1.輸入輸出非單值性關(guān)系，輸出與輸入有關(guān)，還與自身有關(guān)。輸出特性構(gòu)成一種閉合曲線2．影響：1、引起系統(tǒng)不穩(wěn)定式自振蕩。2、使穩(wěn)態(tài)誤差加大。3、使響應(yīng)速度變慢。

14四、庫(kù)侖摩擦和靜摩擦1.線性系統(tǒng)中的阻尼正比于速度稱(chēng)為粘（滯）性摩擦。非線性系統(tǒng)的摩擦有庫(kù)侖動(dòng)摩擦與速度方向相反的恒定阻力。靜摩擦是由靜到動(dòng)的最小阻力。2.影響（1）使響應(yīng)過(guò)程加長(zhǎng)，穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生。（2）小信號(hào)輸入時(shí)，隨動(dòng)系統(tǒng)（小功率）低速爬升。15

五、繼電器特性：1.定義：雙倍非線性特點(diǎn)

2.影響：正確使用將改善系統(tǒng)性能。否則，相反。

注意：實(shí)際中可能是多種特性的組合。16§3非線性特性的描述函數(shù)法一描述函數(shù)的基本概念：

它是一種諧波分解的線性化近似的方法。1.基本原理和應(yīng)用條件：

（1）滿(mǎn)足條件a)正弦波輸入，輸出為同頻率信號(hào)。b）輸出平均值為零，不產(chǎn)生支流項(xiàng)即要求非線元件輸入輸出特性斜對(duì)稱(chēng)。c)系統(tǒng)線性部分有較好的低通濾波特性。

17（2）基本原理在滿(mǎn)足上述條件下用非線性系統(tǒng)中元件輸出的一次諧波分量去代替正弦作用下的實(shí)際輸出，忽略高次諧波分量。這樣就可以把非線性元件作為一個(gè)基本環(huán)節(jié)，用某描述函數(shù)代替它的傳函之后，用頻率特性對(duì)正弦進(jìn)行分析。

2.描述函數(shù)：就是非線性元件輸出的一次諧波分量與正弦輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)之比，即18

設(shè)輸入輸出傅氏展開(kāi)

3.非線性元件輸出信號(hào)的諧波分解

為非線性元件,為其描述函數(shù)

為正弦輸入信號(hào)幅值。

為非線性元件輸出的一次諧波分量的振幅。

為非線性元件輸出的一次諧波分量的相角。19式中若非線性元件斜對(duì)稱(chēng)，則,一次諧波為由描述函數(shù)定義：

20

二、典型非線性元件的描述函數(shù)

對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)，由描述函數(shù)定義有： 211.飽和

22由正弦波特點(diǎn)可只看內(nèi)的變化代入（*）式23

描述函數(shù)基準(zhǔn)值

2．死區(qū)24

253.死區(qū)+飽和區(qū)（自學(xué)）264.回環(huán)（間隙）27

復(fù)變量與頻率無(wú)關(guān)285．繼電器（自學(xué)）

2930三．用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1．穩(wěn)定性分析

閉環(huán)頻特:

特征方程即：31假設(shè)1.高次諧波已充分衰減，可視為復(fù)比例環(huán)節(jié).2.系統(tǒng)滿(mǎn)足描函應(yīng)用條件，只與A有關(guān).與線性系統(tǒng)臨界點(diǎn)(－１，j0)相比，非線性系統(tǒng)臨界點(diǎn)是的整個(gè)軌跡。假設(shè)系統(tǒng)線性部分為最小相位系統(tǒng)，作出和

曲線，之后用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性如下：

32

1、

如果

曲線不包圍

軌跡，則系統(tǒng)穩(wěn)定，即不會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)或發(fā)散。2、若包圍，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，即沒(méi)有穩(wěn)態(tài)或平衡態(tài)。3、若相交，則系統(tǒng)可能出現(xiàn)持續(xù)振蕩的極限環(huán)。振蕩幅值為

軌跡上交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的幅值

振蕩頻率為

軌跡上交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率

穩(wěn)定極限環(huán)：在輕微干擾下，系統(tǒng)偏離原振蕩狀態(tài)后，如能收斂到原振蕩狀態(tài)，則該極限環(huán)稱(chēng)為穩(wěn)定極限環(huán)。否則，發(fā)散或消失稱(chēng)為不穩(wěn)定.33基準(zhǔn)描函負(fù)倒數(shù)軌跡與奈氏曲線圖如右時(shí)，B為不穩(wěn)定（C為穩(wěn)定），極限環(huán)。C點(diǎn)穩(wěn)定持續(xù)振蕩幅值為

頻率

例1

分析系統(tǒng)狀態(tài)？34解：1．畫(huà)出W1(S)奈氏曲線。2．求出基準(zhǔn)描函負(fù)倒數(shù)軌跡3．分析系統(tǒng)穩(wěn)定性條件穩(wěn)定：P持續(xù)振蕩，Q發(fā)散。例2、雙位爐溫控制系統(tǒng)，τ=0.1,T=2,X=15,ΔQ0=1,試分析系統(tǒng)穩(wěn)定工作狀態(tài)。35解：

時(shí)，

時(shí),

36③系統(tǒng)處于穩(wěn)定持續(xù)振蕩工作狀態(tài)A,如右，

溫度波動(dòng)幅度比預(yù)設(shè)略大，這是由溫度對(duì)象延遲特性引起。372、極限環(huán)的克服對(duì)繼電器控制系統(tǒng)元素來(lái)說(shuō)，極限環(huán)是正常工作狀態(tài)，但對(duì)大多數(shù)非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)卻都不希望其存在，應(yīng)設(shè)法消除。

由描函分析可知，消除極限環(huán)，就應(yīng)使系統(tǒng)頻率特性形狀不包圍軌跡，這就需要對(duì)線性系統(tǒng)引入校正裝置。通常有超前校正和速度反饋，以降低系統(tǒng)增益。放大系數(shù)增大，增大,若A增大ω減小,通常希望ω大一些。小結(jié)：描函法僅適用于：系統(tǒng)線性部分低通濾波特性且非線性元件Y=(X)對(duì)稱(chēng)函數(shù)特性，否則會(huì)導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。應(yīng)用于：非線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧自振蕩工作狀態(tài)。38§4相平面法及相平面圖

它是一種求解二階微分方程的圖解法設(shè)有二階常微分方程其解有兩種表達(dá)式⑴時(shí)間響應(yīng)過(guò)程形式x=F(t)它直接揭示了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程.⑵相軌跡形式,即狀態(tài)變量描述形式任一動(dòng)態(tài)過(guò)程都可用相應(yīng)的狀態(tài)變量來(lái)描述.狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于微分方程階數(shù),如二階系統(tǒng)兩個(gè)狀態(tài)變量,實(shí)際中可對(duì)應(yīng)于(位移,速度),(壓力,壓強(qiáng)),(E,E程度變化率).一、相平面的基本概念391.相平面:以x和為橫軸和縱軸構(gòu)成的坐標(biāo)平面.2.相點(diǎn):相平面上任一點(diǎn)3.相軌跡:對(duì)二階系統(tǒng)來(lái)講，從某一初始狀態(tài)出發(fā)，以時(shí)間t為參變量，便可畫(huà)出一條連續(xù)變化的相軌跡。4.相軌跡特點(diǎn):⑴與初始點(diǎn)(狀態(tài))密切相關(guān).⑵可以不直接求出微分方程而獲得系統(tǒng)所有運(yùn)動(dòng)狀態(tài).5.相軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性40二、相平面圖繪制方法1.解析法:適用于微分方程簡(jiǎn)單(二階)或可分段線性化.41設(shè)二階系統(tǒng)(*)

若令則可積,便解出相軌跡方程,并由此畫(huà)出相軌跡。以t為參變量（或消去t）也能畫(huà)出相軌跡。

例：如無(wú)阻尼二階系統(tǒng)

只考慮暫態(tài)解故取常數(shù)0。令則

，設(shè)初始條件為整理上式并積分

當(dāng)然，若能直接通過(guò)（*）式求得，再求出。42

其中當(dāng)然還可解出

消去t可得上式表示一族封閉橢圓，說(shuō)明:ξ=0時(shí)的狀態(tài)為臨界穩(wěn)定，但實(shí)際中不存在，將隨時(shí)間不是發(fā)散就是收斂。43例:

庫(kù)侖摩擦二階隨動(dòng)系統(tǒng)

設(shè)時(shí)

有方程

令

則上式有解

式中A,B為實(shí)常數(shù)與初始條件有關(guān)相軌跡分別為以為圓心的橢圓族.44由圖可見(jiàn)

⑴時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)停止于橫軸上，如⑵若以為縱軸將變成圓族。初始點(diǎn)1出發(fā),經(jīng)2，3點(diǎn)到橫軸上4點(diǎn)，與0點(diǎn)有穩(wěn)態(tài)偏差.45⒉圖解法之一：等斜線法它多用于解析法中求解微分方程困難的情況。由（x,y）平面上斜率其中這便是相軌跡上等斜線方程若令⑴畫(huà)圖原理：據(jù)不同的斜率c可畫(huà)出等斜線方向場(chǎng)（分布）可證明不同c不相交，則對(duì)確定初始點(diǎn)沿等斜率切線變化規(guī)律唯一。這樣便可畫(huà)出相軌跡（近似）46⑵畫(huà)圖步驟：ii.作等斜線分布圖iii.從初始點(diǎn)出發(fā),沿相鄰等斜線間的平均斜率依次作短直線便可畫(huà)得。說(shuō)明：等斜線未必都是直線，另外，為保證精度，等斜線分布要有適當(dāng)密度，密度可不一樣。i.求出等斜線方程47例如令48等斜線方程:

等斜線分布圖.相軌跡

A點(diǎn)直線段交c=1.2線于B.三、相軌跡之特征⒈奇點(diǎn)（平衡點(diǎn)）：系統(tǒng)的速度和加速度都為零有一個(gè)不為零，系統(tǒng)就未達(dá)到平衡狀態(tài)，將繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。這樣的點(diǎn)叫普通點(diǎn)。

結(jié)論：

⑴奇點(diǎn)是非線性系統(tǒng)唯一可能的平衡狀態(tài)。

49

⑶利用系統(tǒng)特征方程根確定奇點(diǎn)位置及特征

如二階系統(tǒng)

常令解出x.i.共軛復(fù)根在s左半平面 :穩(wěn)定焦點(diǎn)

⑵線性系統(tǒng)有唯一奇點(diǎn)零輸入條件下就在原點(diǎn)，非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)若在原點(diǎn)不確定，則相軌跡會(huì)在該點(diǎn)相交.50ii．共俄復(fù)根在s右半平面:不穩(wěn)定焦點(diǎn)iii.一對(duì)負(fù)實(shí)根穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，

臨界穩(wěn)定。iv.一對(duì)正實(shí)根

不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)

51V一對(duì)共軛虛根ξ＝０——中心點(diǎn)等幅振蕩Vi一對(duì)共軛實(shí)根（正反饋）——鞍點(diǎn)（不穩(wěn)定）52可見(jiàn)，當(dāng)定出奇點(diǎn)的特征，那么它附近導(dǎo)流的運(yùn)動(dòng)也相應(yīng)確定下來(lái)。④特征區(qū)：奇點(diǎn)周?chē)嘬壽E具有共性的區(qū)域，共性是指普通點(diǎn)（描述點(diǎn)）在該區(qū)域內(nèi)不是沿相軌跡趨于奇點(diǎn)（吸引）就是沿相軌跡離開(kāi)奇點(diǎn)（發(fā)散），他們對(duì)應(yīng)的區(qū)域分別稱(chēng)為吸引區(qū)、發(fā)散區(qū)。利用這一特征可判斷系統(tǒng)品質(zhì)。因?yàn)樵谄纥c(diǎn)附近某一特征區(qū)域內(nèi)畫(huà)出一條相軌跡，即可知道其他初始條件下導(dǎo)流運(yùn)況。這也為畫(huà)相軌跡提供了理論依據(jù)。,例：試?yán)L制由下列方程描述的非線性系統(tǒng)的相平面圖。

53解：①確定奇點(diǎn)令

則原方程為奇點(diǎn)有兩個(gè)②分析奇點(diǎn)性質(zhì)

(0,0)奇點(diǎn)，由線性化方程為有穩(wěn)定焦點(diǎn)（–2,0）奇點(diǎn)，坐標(biāo)變換，令得54

在y=0,=0線性化得有s2+0.5s–2=0鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定陰影為穩(wěn)定區(qū)

2.極限環(huán)（1）．定義：相平面中孤立，封閉相軌跡（奇線），自持振蕩（穩(wěn)定）。（二階無(wú)阻尼系統(tǒng)就不是）環(huán)內(nèi)環(huán)外兩個(gè)區(qū)域內(nèi)部特征相同，不可穿越。55四．非線性系統(tǒng)的相平面分析1．分析思路:

用若干分段線性系統(tǒng)近似原非線性系統(tǒng)，把相平面表示一個(gè)線性系統(tǒng)的相平面圖，在分區(qū)域的邊界上，把各段相軌跡銜接起來(lái)，就得到所謂的相軌跡，即代表了整個(gè)非線性系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律。每個(gè)分段線性系統(tǒng)都有一個(gè)奇點(diǎn)，若它位于本身分區(qū)域內(nèi)稱(chēng)為奇點(diǎn)，否則就是虛奇點(diǎn)。2．分析步驟：56設(shè)有帶飽和非線性的控制系統(tǒng)，開(kāi)始處于靜態(tài)，試用相平面法分析階躍輸入r(t)=R和斜坡輸入r(t)=vt作用下的系統(tǒng)響應(yīng)特性。例：a)劃分線性區(qū)域。b)確定每個(gè)分區(qū)域上奇點(diǎn)類(lèi)型。c)作出各分區(qū)域相軌跡。d)連接各分區(qū)域相軌跡構(gòu)成“合成相軌跡”。57解：1.由飽和非線性特性得：區(qū)域劃分

2.奇點(diǎn)類(lèi)型：系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：由e=r-y可得誤差形式的系統(tǒng)方程：