高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章空間向量與立體幾何（市一等獎(jiǎng)）

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________.【解析】∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.【答案】22．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))兩兩的夾角均為60°，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up8(→))|＝3，則|eq\o(AC1,\s\up8(→))|等于________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390077】【解析】設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，則eq\o(AC1,\s\up8(→))＝a＋b＋c，eq\o(AC1,\s\up8(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此|eq\o(AC1,\s\up8(→))|＝5.【答案】53．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(AC,\s\up8(→))的夾角為________．【解析】eq\o(AB,\s\up8(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1,1,0)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(3,3\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝60°.【答案】60°4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b【解析】a·b＝2×3×cos60°＝3，∴|2a－3b|＝eq\r(4|a|2－12a·b＋9|b|2)＝eq\r(4×4－12×3＋81)＝eq\r(61).【答案】eq\r(61)5．如圖3-1-32,120°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長(zhǎng)為________．圖3-1-32【解析】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0.又∵二面角為120°，∴〈eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))〉＝60°，∴eq\o(CD2,\s\up8(→))＝|eq\o(CD,\s\up8(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→)))2＝eq\o(CA,\s\up8(→))2＋eq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(BD,\s\up8(→))2＋2(eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→)))＝164，∴|eq\o(CD,\s\up8(→))|＝2eq\r(41).【答案】2eq\r(41)6．如圖3-1-33，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF＝AB＝BC＝FE＝eq\f(1,2)AD，則異面直線BF與ED所成角的大小是________．圖3-1-33【解析】分別以AB，AD，AF為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2))).則eq\o(BF,\s\up8(→))＝(－1,0,1)，eq\o(ED,\s\up8(→))＝(0,1，－1)，∴cos〈eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(BF,\s\up8(→))·\o(ED,\s\up8(→)),|\o(BF,\s\up8(→))|·|\o(ED,\s\up8(→))|)＝eq\f(0＋0－1,\r(2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴〈eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→))〉＝120°.所以異面直線BF與ED所成角的大小為180°－120°＝60°.【答案】60°7．如圖3-1-34所示，已知直線AB⊥平面α，BC?α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D與A在α的同側(cè)，若AB＝BC＝CD＝2，則A，D兩點(diǎn)間的距離為________．圖3-1-34【解析】∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))，∠DCF＝30°，DF⊥平面α，∴∠CDF＝60°，∴|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))2＝4＋4＋4＋2×2×2×cos120°＝8，∴|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)8．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－4,6，－1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，a⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，則a＝________.【解析】設(shè)a＝(x，y，z)，由題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·\o(AB,\s\up8(→))＝0，,a·\o(AC,\s\up8(→))＝0，,|a|＝1，))代入坐標(biāo)可解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,13)，,y＝\f(4,13)，,z＝\f(12,13)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,13)，,y＝－\f(4,13)，,z＝－\f(12,13).))【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,13)，\f(4,13)，\f(12,13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,13)，－\f(4,13)，－\f(12,13)))二、解答題9.如圖3-1-35，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，CD′與DC′相交于點(diǎn)O，連接AO，求證：圖3-1-35(1)AO⊥CD′；(2)AC′⊥平面B′CD′.【證明】(1)因?yàn)閑q\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DO,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))，因?yàn)閑q\o(CD′,\s\up8(→))＝eq\o(DD′,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))，所以eq\o(AO,\s\up8(→))·eq\o(CD′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→)))·(eq\o(DD′,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up8(→))·eq\o(DD′,\s\up8(→))－eq\o(DD′,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))·eq\o(DD′,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(DD′,\s\up8(→))－2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(|eq\o(DD′,\s\up8(→))|2－|eq\o(DC,\s\up8(→))|2)＝0，所以eq\o(AO,\s\up8(→))⊥eq\o(CD′,\s\up8(→))，故AO⊥CD′.(2)因?yàn)閑q\o(AC′,\s\up8(→))·eq\o(B′C,\s\up8(→))＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→)))·(eq\o(B′B,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))，可知eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＝0，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＝0，eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|2，eq\o(CC′,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8(→))＝－|eq\o(CC′,\s\up8(→))|2，eq\o(CC′,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，所以eq\o(AC′,\s\up8(→))·eq\o(B′C,\s\up8(→))＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|2－|eq\o(CC′,\s\up8(→))|2＝0，所以eq\o(AC′,\s\up8(→))⊥eq\o(B′C,\s\up8(→))，所以AC′⊥B′C.同理可證，AC′⊥B′D′.又B′C，B′D′?平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.10.如圖3-1-36，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)，G分別為AB，SC，SD的中點(diǎn)．若AB＝a，SD＝b，圖3-1-36(1)求|eq\o(EF,\s\up8(→))|；(2)求cos〈eq\o(AG,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉．【解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(b,2)))，eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2)))，eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2)))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－a,0,0)．(1)|eq\o(EF,\s\up8(→))|＝eq\r(－a2＋02＋\f(b2,4))＝eq\f(\r(4a2＋b2),2).(2)cos〈eq\o(AG,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AG,\s\up8(→))·\o(BC,\s\up8(→)),|\o(AG,\s\up8(→))|·|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(a2,\r(a2＋\f(b2,4))·a)＝eq\f(2a,\r(4a2＋b2)).能力提升]1．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390078】【解析】b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝eq\r(1＋t2＋2t－12)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5))，∴當(dāng)t＝eq\f(1,5)時(shí)，|b－a|取得最小值eq\f(3\r(5),5).【答案】eq\f(3\r(5),5)2．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，則以eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))為邊的平行四邊形的面積為________．【解析】由題意可得，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(1，－3，2)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq\f(7,14)＝eq\f(1,2).∴sin〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\r(3),2)，∴以eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))為邊的平行四邊形的面積S＝2×eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·sin〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝14×eq\f(\r(3),2)＝7eq\r(3).【答案】7eq\r(3)3．如圖3-1-37所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于________．圖3-1-37【解析】法一：因?yàn)閑q\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))，所以eq\o(PC,\s\up8(→))2＝eq\o(PA,\s\up8(→))2＋eq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(BC,\s\up8(→))2＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，所以|eq\o(PC,\s\up8(→))|＝12，即PC＝12.法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,6)，C(0,6eq\r(3)，0)，∴PC＝eq\r(6\r(3)2＋62)＝12.【答案】124．如圖3-1-38所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．圖3-1-38(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)